著名机构初中数学培优讲义中考复习.相似.第10讲(通用讲).学生版

中考要求

内容 基本要求 了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的相似 比例关系求未知线段；了解黄金略高要求 会用比例的基本性质解决有关问题；会用相似多边形的性质解决简单的问题；能利用位似变换 较高要求 分割；知道相似多边形及其性质；将一个图形放大或缩小 认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系 会利用相似三角形的性质与判相似三角形 了解两个三角形相似的概念 定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决实际问题 相似多边形 知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似 会用相似多边形的性质解决简单问题 知识点睛

一、比例的性质

acadbc,这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式; bdacbd2．(反比定理);

bdacacabdc3．(或)(更比定理);

bdcdbaacabcd4．(合比定理); bdbdacabcd5．(分比定理); bdbdacabcd6．(合分比定理); bdabcd7． (等比定理). 二、相似多边形 1．

对应角相等、对应边成比例的多边形，叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比． 三、三角形相似的判定（除相似三角形的定义外）

1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似． 3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似． 5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）

7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似． 四、相似三角形的性质

1．相似三角形的对应角相等 2．相似三角形的对应边成比例

3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 4．相似三角形周长的比等于相似比． 5．相似三角形面积的比等于相似比的平方． 五、相似多边形的性质

1．相似多边形的对应角相等 2．相似多边形的对应边成比例 3．相似多边形周长的比等于相似比． 4．相似多边形面积的比等于相似比的平方．

例题精讲

【例1】在□ABCD中，E为BC延长线上一点，AE交CD于点F，若AB=7，CF=3，则

【例2】已知：如图，点P是边长为4的正方形ABCD内一点，PB3,BFBP于点B，试在射线BF上

找一点M，使得以点B,M,C为顶点的三角形与△ABP相似，作图并指出相似比k的值．

AD= ． CEAPDBCF

【例3】已知：如图四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC,CD于点P,Q．

APQB(1)写出图中各对相似的三角形相似比为1的除外． (2)求BP:PQ:QR的值．

DRC

【例4】在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，

OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点．

（Ⅰ）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；

（Ⅱ）若E、F为边OA上的两个动点，且EF＝2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．

y B D C y B D C O D′

E A x O A x （备用图） 【例5】如图1，在RtABC中，ACB90，半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，

连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P．

（1）当B30时，连结AP，若AEP与BDP相似，求CE的长；

A D B E C 图1

P

（2）若CE2，BDBC，求BPD的正切值；

A D E

B C 图2（备用）

P

（3）若tanBPD1，设CEx，ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式． 3

A D E C 图3（备用）

B P

【例6】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋1与x轴交于两点A（1，0），B（1，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点B作BD∥CA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；

（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MNx轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

y

C A O B x D

【例7】如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k＞1），且△ABC的三边长分别为a、b、c（a＞b＞c），

△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1． （1）若c＝a1，求证：a＝kc；

（2）若c＝a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；

（3）若b＝a1，c＝b1，是否存在△ABC和△A1B1C1，使得k＝2？请说明理由．

A

A1

bc c1 b1 A B aA

C

B1 a1 C1

【例8】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，点P以一定的速度沿AC边由A向C运

动，点Q以1cm/s的速度沿CB边由C向B运动，设P、Q同时运动，且当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．

3（1）若点P以cm/s的速度运动

4①当PQ∥AB时，求t的值；

②在①的条件下，试判断以PQ为直径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由．

（2）若点P以1cm/s的速度运动，在整个运动过程中，以PQ为直径的圆能否与直线AB相切？若能，请

求出运动时间t；若不能，请说明理由．

A A

P

C Q B

C 备用图

B

【例9】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，过点B作射线BBl∥AC．动点D从点A出

发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF上AC交射线BB1于F，G是EF中点，连结DG．设点D运动的时间为t秒．

（1）当t为何值时，AD＝AB，并求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值；

（3）以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后 的图形为A′C′．

3①当t＞时，连结C′C，设四边形ACC′A′的面积为S，

5求S关于t的函数关系式；

②当线段A′C′与射线BB1有公共点时，求t的取值范围 （写出答案即可）．

B H F G

B1 A C D E

【例10】如图，设抛物线C1：y＝a(x＋1)2－5，C2：y＝－a(x－1)2＋5，C1与C2的交点为A，B，点A的

坐标是（2，4），点B的横坐标是－2．

（1）求a的值及点B的坐标；

（2）点D在线段AB上，过D作x轴的垂线，垂足为点H，在DH的右侧作正三角形DHG．记过C2顶点M的直

线为l，且l与x轴交于点N．

①若l过△DHG的顶点G，点D的坐标为（1，2），求点N的横坐标； ②若l与△DHG的边DG相交，求点N的横坐标的取值范围． y y

C1 C1

A A

O O x x

B B C2 C2

备用图1 y C1 A O x B 备用图2 C2

课后作业

1． 如图在正方形ABCD中AD12，点E是边CD上的动点（点E不与端点C,D重合），AE的垂直平分

线FP分别交AD,AE,BC于点F,H,G，交AB的延长线于点P．

DFHECGAFH的值； HGBP

（1）设DEm(0＜m＜12)，试用含m的代数式表示（2）在（1）的条件下，当

FH1=时，求BP的长． HG22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(0,2)，点D在x轴的正半轴上，ODB30，OE为△BOD的中线，过B、E两点的抛物线yax2（1）求抛物线的解析式；

（2）等边△OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；

3xc与x轴相交于A、F两点（A在F的左侧）. 6（3）点P为△ABO内的一个动点，设mPAPBPO，请直接写出m的最小值,以及m取得最小值时，

线段AP的长.