2011、2012、2013年卓越联盟自主招生数学试题-免费下载

数学试题

分值: 分 时量: 分钟

一、选择题,

1.已知向量a,b为非零向量,(a2b)a,(b2a)b,则a,b夹角为( ) A.

 B. C. D. 6336tan()( )

tan()2.已知sin2(r)nsin2,则

A.

n1nnn1 B. C . D. n1n1n1n13.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱AA1的中点,F是棱A1B1上的点,且A1F:FB11:3,则异面直线EF与BC1所成角的正弦值为( ) A.

15 B. 35515 C. D.

355z22z24.i为虚数单位,设复数z满足|z|1,则的最大值为( )

z1i A.

21 B. 22 C. 21 D. 22 5.已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,ABC三个顶点都在抛物线上,且ABC的重心为抛物线的焦点,若BC边所在的直线方程为4xy200,则抛物线方程为( ) A.. y216x B. y28x C. y216x D. y28x

6.在三棱柱ABCA1B1C1中,底面边长与侧棱长均不等于2,且E为CC1的中点,则点C1到平面AB1E的距离为( ) A.

3 B. 2 C.

32 D. 22|x|kx2有四个不同的实数解,则k的取值范围为( ) x411 A. (0,1) B. (,1) C.(,) D. (1,)

448.如图,ABC内接于O,过BC中点D作平行于AC的直线l,l交AB于E,交O于G、F,交O在A点处的切线于P,若PE3,ED2,EF3,则PA的长为( )

7.若关于x的方程

A. 5 B. 6 C.7 D.22 l P A G E O D B F 第8题图 C 9.数列{ak}共有11项,a10,a114,且|ak1ak|1,k1,2,,10 满足这种条件的不同数列的个数为( )

A. 100 B. 120 C. 140 D. 160 10.设是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为

2的旋转,表示坐标平面关于y轴的镜7面反射.用表示变换的复合,先做,再做.用k表示连续k次的变换,则234是( )

A. 4 B. 5 C.2 D.2 二、解答题

11.设数列{an}满足a1a,a2b,2an2an1an. (1)设bnan1an,证明:若ab,则{bn}是等比数列; (2)若lim(a1a2an)4,求a,b的值;

n

12.在ABC中,AB2AC,AD是角A的平分线,且ADkAC. (1)求k的取值范围;

(2)若SABC1,问k为何值时,BC最短?

13.已知椭圆的两个焦点为F1(1,0),F2(1,0),且椭圆与直线yx3相切. (1)求椭圆的方程;

(2)过F1作两条互相垂直的直线l1,l2,与椭圆分别交于P,Q及M,N,求四边形PMQN面积的最大值与最小值.

14.一袋中有a个白球和b个黑球.从中任取一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复n次这样的操作后,记袋中白球的个数

为Xn. (1)求EX1;

(2)设P(Xnak)pk,求P(Xn1ak),k0,1,,b; (3)证明:EXn1(1

15.设f(x)xlnx. (1)求f(x);

1)EXn1. ab1b|lnxc|dx取得最小值;

baa(3)记(2)中的最小值为Ma,b,证明Ma,bln2.

参考答案:

一.选择题1.B2.D3.B4.C5.A6.D7.C8.B9.B10.D

(2)设0ab,求常数c,使得二.解答题

11.【解】(1)证:由a1a,a2b,2an2an1an,得2(an2an1)(an1an).

11令bnan1an,则bn1bn,所以{bn}是以ba为首项,以为公比的等比数列;

221(2)由(1) 可知bnan1an(ba)()n1(nN*),

211()n2,即aa2(ba)[1(1)n], 所以由累加法得an1a1(ba)n11321()221也所以有ana(ba)[1()n1](n2),n1时,a1a也适合该式;

3221所以ana(ba)[1()n1](nN*)

32也所

以

11()n22]na2(ba)n4(ba)4(ba)(1)n a1a2anna(ba)[n1339921224由于lim(a1a2an)4,所以a(ba)0,(ba)4,解得a6,b3.

n3912.【解】(1)过B作直线BEAC,交AD延长线于E,如图右. A BDAB2, CDACDEBEBD也所以有2,即BE2AC,AE3BD.

ADACDC在ABE中,有AE2AB2BE22ABBEcosEBA.

所以,

即(3AD)2(2AC)2(2AC)22(2AC2AC)cosA

C B D E 816所以,9(kAC)28AC28AC2cosA,即k2(1cosA)(0,)

994所以0k.

31(2)因为SABCABACsinAAC2sinA1

2在ABC中,有BC2AB2AC22ABACcosA5AC24AC2cosA记y54cosA

sinA54cosA,则ysinA4cosA5,y242sin(A)5

sinA当sin(A)1时,y2425y3 此时y取最小值,此时cosA3. 585时,BC取最小值3. 15x2y213.【解】设椭圆方程为221(ab0),因为它与直线yx3只有一个公共点,

ab故当kx2y2221,所以方程组a只有一解,整理得(a2b2)x223a2x3a2a2b20. byx3.所以(23a2)24(a2b2(3a2a2b2)0,得a2b23.

又因为焦点为F1(1,0),F2(1,0),所以a2b21,联立上式解得a22,b21

x2所以椭圆方程为y21.

2(2)若PQ斜率不存在(或为0)时,则S四边形PMQN若PQ斜率存在时,设为k(k0),则MN为|PQ||MN|222212122.

1. k所以直线PQ方程为ykxk.设PQ与椭圆交点坐标为P(x1,y1),Q(x2,y2)

x22y1,联立方程2化简得(2k21)x24k2x2k220.

ykxk.4k22k22则x1x22 ,x1x222k12k1(1k2)[16k44(2k21)(2k21)]k21所以|PQ|1k|x1x2| 22222k12k12k21同理可得|MN|22 22k所以S四边形PMQN12k|PQ||MN|(k1)k2k11244444(4) 22222(2k)(2k1)2k5k222k5k222421k211 4(4)4()

24k10k2424k24110k2因为4k24141024k221018（当且仅当k21时取等号） 2kk所以,

14k24110k2(0,11116],也所以4()[,2] 1824k2411092k所以综上所述,S四边形PMQN的面积的最小值为

16,最大值为2. 9a;也可能abbaba2abb为a1个(即取出的是黑球),概率为,故EX1a. (a1)ababababa(2)首先,P(Xn1a0)P0;k1时,第n1次取出来有ak个白球的可能性有两种;

ab第n次袋中有ak个白球,显然每次取出球后,球的总数保持不变,即ab个白球(故此时

ak黑球有bk个),第n1次取出来的也是白球,这种情况发生的概率为Pk;

ab第n次袋中有ak1个白球,第n1次取出来的是黑球,由于每次球的总数为ab个,故

bk1此时黑球的个数为bk1.这种情况发生的概率为Pk1(k1).

abakbk1故P(Xn1ak)PkPk1(k1).

abab(3)第n1次白球的个数的数学期望分为两类:

14.【解】(1)n1时,袋中的白球的个数可能为a个(即取出的是白球),概率为

第n次白球个数的数学期望,即EXn.由于白球和黑球的总个数为ab,第n1次取出来的是白球,这种情况发生的概率是

EXn;第n1次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是ababEXn,此时白球的个数是EXn1.

abEXnabEXn(EXn)2EXn 故EXn1EXn(EXn1)(1)(EXn1)

abababab(EXn)2(EXn)2EXn)1 EXn1(1)EXn1

abababab115.(1)f(x)lnxxlnx1;

x(2)若clna,则|lnxc|lnxc,显然,当clna,lnxc取最小; 若clnb,则|lnxc|clnx,当clnb,clnx取最小.

故lnaclnb.

ecb1b1|lnxc|dx[(lnxc)dxec(clnx)dx] baabaaecb1{[(lnx1)(c1)]dxc[(c1)(lnx1)]dx}

ebaac由(1)知[(lnx1)(c1)]dxxlnx|ea(c1)(ea)

aeccbce [(c1)(lnx1)]dx(c1)(eca)xlnx|bec所以,

1b1|lnxc|dx(alnablnb2ecabacbc)() baaba记g(c)2ec(ab)calnablnbab,

则令g(c)2ecab0,得c即cab 2ab1b时,|lnxC|dx取最小值. aba2ab1ab(3)将c代入()式右边,Ma,b[alnablnb(ab)ln]ln2

ba22ab等价于(ab)lnalnablnb(ba)ln2(ab)ln(ab)alnablnb2bln2

2baaln(ab)alnabln(ab)blnb2bln2aln(1)bln(1)2bln2.

abaab由于0ab,12时,bln(1)bln2.所以下面只须证明aln(1)bln2即可.

bbababa又aln(1)bln2ln(1)ln2.令t(0,1),

ababab111则ln(1)tln(1)ln(1)t,注意到函数ln(1)t是单调递增的,且t1. battt11所以ln(1)tln(1)1ln2.得证.

t1天津大学等九所高校“卓越联盟”自主招生 学业水平测试试卷分析

对于数理知识测试中数学部分，专家评论道：数学考题考察的是高中数学的基本

知识、基本概念和基本技能，但只是考察的侧重点与高考不同，试题重点考察了学生的空间想象能力，要求学生能将“数”与“形”相结合来分析和解决问题。该份试卷从工科院校的特点出发，考察了学生应用基础知识求解几何与分析方面的（最大值或最小值）优化问题,能够延伸性地考察学生的数学能力。

对于数理知识测试中物理部分,专家评论道:物理题目涉及了力学、热学、光学、电磁学、振动、近代物理知识,体现了能力测试为主导,特别是考核学生综合运用基础知识,基本技能解决问题和分析问题的能力。选择题多数与高考题类型相似,主要考核学生对物理基本概念、基本思想的理解掌握程度和基本原理的运用能力。计算题主要考察了电学、热学和力学知识的综合应用能力。

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