优秀参赛课件 《推理与证明》教学设计

教材：普通高中课程标准实验教科书·数学选修2-2（人教B版）

第二章《推理与证明》第1节

教学目标：

1.了解合情推理的含义；理解归纳推理的概念，能利用归纳的方法进行一些简单的推

理.

2.培养学生的归纳探索能力，提高学生的创新意识.

3.培养学生勇于创新而又不失严谨的思维习惯和在探索真理时锲而不舍的钻研精神.重点与难点：

本节课的教学重点是归纳推理的概念理解和应用；教学难点是提高学生从特殊到一般的归纳能力.教学方式：

本节课采用的是启发式教学，综合使用了讲授、问答、活动等多种教学方式.教学工具：

多媒体、圆纸片、硬币.教学过程：

教学设计

一.问题引入，激发兴趣华罗庚爷爷讲的小故事：

有位老师想辨别他的两个学生谁更聪明.他采用如

通过华先生的经典问题，启发

设计意图

下的方法：事先准备好两顶白帽子，一顶黑帽子，让学生学生思考，激发学生兴趣.（华们看到，然后让他们闭上眼睛.老师给他们戴上帽子，并把剩下的那顶帽子藏起来.最后让学生睁开眼睛，看着对

先生的原文为3个学生，5顶帽子.思维难度较大，作为引

方的帽子，说出自己所戴帽子的颜色.两个学生互相望了入不太合适，故改简单些.）望，犹豫了一小会儿，然后异口同声地说：“我们戴的是白帽子” .

聪明的各位，想想看，他们是怎么知道的？

学生发言，教师点评.这里的思维方式就是推理.二.实例递进，形成概念1.推理的概念形成幻灯片：生活中经常看到

切入主题.

(1)天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，我们会想到什从学生熟悉的生活经验出发，

么？

让学生体会推理的含义，逐步

(2)河面的冰融化，柳树发芽，草地泛青，我们又会想到总结其定义.

什么？

提问：什么是推理？学生发言，教师点评.

总结：根据一个或几个已知的事实（或假设）来确定一个引导学生归纳出推理的概念.新的判断的思维方式就叫推理.

从结构上说，推理一般由前提和结论两部分构成的.

2.合情推理的概念形成幻灯片：下面哪些是推理？

(1)我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的生活与数学结合的实例，使学

地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他生体会合情推理的含义，对各推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油；

(2)1856年，法国微生物学家巴斯德发现乳酸杆菌能使啤

酒变酸，接着他又发现细菌是引起蚕病的原因，据此，巴斯德推断人身上的一些传染病也是由细菌引起的；(3)三角形的内角和为180，四边形的内角和为

种推理有初步认识.

1802，五边形的内角和为1803，……，所以n

边形的内角和为180(n2)；(4)农谚说：瑞雪兆丰年.

提问分三步进行

一问：哪些是推理？学生发言，教师点评.二问：上述推理所得结论是否一定正确？

一问的目的是：巩固推理的概

总结：这种前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情念.推理.

二问的目的是：引导学生归纳

三问：对比（1）、（3）这两个推理，你能发现它们的相同合情推理的概念.点和不同点吗？

三问的目的是：引出归纳推理（不必出现类比推理这个名

3.归纳推理的概念形成

幻灯片：看下面的例子，试写出一般性结论.(1)1+3=4；

1+3+5=9；1+3+5+7=16.

(2)一元一次方程有一个实数根；

一元二次方程最多有两个实数根；一元三次方程最多有三个实数根.

纯数学的实例，使学生体会归纳推理的含义.词）.

提问：什么是归纳推理？学生发言，教师点评.

总结：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出该类事物的所有对象都具有这种性质的推理，称为归纳推理（简称归纳）.

引导学生概括归纳推理的概念.

回顾给出定义的过程，其本身就是归纳（从特殊到一般）的过程，所以可以说“我们归纳出了归纳”. （这两个“归纳”上有点区别，第一个重在归纳总结，第二个才是归纳推理.）

现学现用，而且这句话本身很有趣，有利于激发学生的兴趣.

三.经典探究，深化新知

幻灯片：汉诺塔问题

汉诺塔问题的探索，完整体现了归纳推理的过程，很具有代

如图，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.(1)每次只能移动1个金属片；

(2)较大的金属片不能放在较小的金属片上面.

试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？

表性.使学生充分体验从个别情况看起，发现规律，归纳总结，做出推理的完整经过.

师生互动、生生合作

1.安排学生分组讨论，动手实践；

教师可事先准备一些硬币或圆纸片，但又故意不够数量，让喜欢动手的学生领取实物操作，让喜欢动脑的学生思考：在没有实物的情况下，如何简捷地表示移动过程，这本身就值得动动脑筋.2.学生发言，教师点评；3.鼓励学生课下完成证明.

证明不是本节课需要解决的问题，故课上不做要求，鼓励

总结归纳推理的一般步骤：

(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；

(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.

四.习题演练，巩固提升1.应用归纳推理猜测值.

学生课后尝试完成.

考虑到学生能力上的差异，鼓励他们采用不同的处理办法，爱动手的多实践，爱动脑的多思考.

1111222

2n个1

n个2

2(nN*)的通过练习，巩固归纳推理的步

骤，进一步学习其用法.所选两题分别为教材课后习

答：归纳发现111

2n个1

1222

n个2

2333

n个3

3.

题和课堂例题.力争把教材用好用足.

2.设f(n)n2n41,

nN*，计算

f(1),f(2),f(3),,f(10)的值，并归纳一般性结论.

强调归纳推理所得的结论不

练习2的处理：

(1)计算发现f(1),f(2),f(3),,f(10)都是质数，但由

此归纳推理得f(n)为质数确是错误的.

(2)题目本身是开放的，还可以得出很多结论，比如都是

奇数，相邻项之差为等差数列，等等.鼓励同学给出自己的结论，但要引导他们得出更深刻的结论.五.引导小结，设疑再思1.回顾小结

(1)引导学生从知识、方法、收获三个方面进行小结，明回顾小结.

确推理、合情推理、归纳推理的概念及彼此间关系.

(2)以问题的方式引导学生思考“推理”与“证明”的关提高认识（引导学生从“推

系，加深对概念的理解，强调推理的作用．2.布置作业：课本P56练习A、B.

理结论是否正确”和“推理的作用”两个方面理解它们之间的差异）.

此为教材例题，这里把它改为开放题处理似乎更合适.一定正确.

教学设计说明

一、本节课数学内容的本质、地位和作用的分析

推理是根据一个或几个已知的事实（或假设）来确定一个新的判断的思维方式.数学、哲学和心理学等学科对其都有研究，它更是人类思维的基本形式.人们在日常活动和科学研究中经常使用的推理有合情推理和演绎推理

.合情推理是人类发现新知的一

个重要途径.它既有猜测和发现结论的作用，又有探索和启发思路的作用.本节课所学习的归纳推理是合情推理的一种

.归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的思维过

程，通过归纳推理可以发现新知识，获得新结论.

推理与证明的内容属于数学思维方法的范畴，贯穿数学教学的始终，遍布数学知识的每个领域.旧教材将其渗透在具体的数学内容中分散处理，如：综合法和分析法放在“不等式”一章，“反证法”作为“简易逻辑”的一部分，“合情推理”更是很少涉及.新课程将其统一纳入教材，集中讲授，我认为这对学生系统掌握其方法是很有必要的.尤其是“合情推理”这一新加入内容，有助于学生从单纯的解答现成的问题，扩展到能够独立的提出一些问题.很多大数学家（比如拉格朗日，波利亚）都强调合情推理是他们发现新问题的重要手段，波利亚更是在其名著《数学与猜想》中拿出很多章节对合情推理的模式进行一一总结.如果学生掌握了这些方法，并能够在今后有意识的使用它们，不仅能培养其言之有据，论证有理的思维习惯，而且对开发学生创新性思维，为社会培养创新型人才都有很强的现实意义.

二、教学目标分析

新课程中，合情推理分为归纳推理和类比推理两讲，本节课是第一部分，对它是初步了解.所以我把教学重点放在对归纳推理的概念理解和应用上.而提高学生从特殊到一般的归纳能力则是本节课的教学难点，教学的关键是引导学生自己探索、观察、发现、归纳.

归纳推理作为发现新知的一种途径，有时探索的过程是漫长而曲折的，课堂上设置了有一定难度的“汉诺塔问题”，正是希望学生通过一番“辛苦”的努力才能得到结论.这样的安排有利于提高学生的数学素养和锻炼学生的意志品质.

根据以上想法，结合我校学生的实际情况，我制定了如下教学目标：

(1)了解合情推理的含义；理解归纳推理的概念，能利用归纳的方法进行一些简单的推

理.

(2)培养学生的归纳探索能力，提高学生的创新意识.

(3)培养学生勇于创新而又不失严谨的思维习惯和在探索真理时锲而不舍的钻研精神.

三、教学问题诊断分析

本节课的教学中，有几处需要注意：（1）结论的开放性

归纳推理很大程度上是一种创造性思维，教学中每个学生作出的推理可能并不一致，在这里有些时候结论是开放的，不是唯一的，只要“合情”，就应该认为是对的，应当鼓励学生积极地创造性的思维.当然面对推出的不同结论，可以比较哪些结论是更具有研究价值

的，哪些思考是更有深度的.（2）过程的复杂性

归纳推理有时不是一蹴而就的，并不是所有的问题只看三五个特殊情形，就能得出一般性结论，有些问题则需要多看几个，在归纳的同时也能培养学生在探究问题的过程中锲而不舍的精神.

（3）结论的正确性

归纳推理所得的结论不是一定都正确.课堂练习2就是这样的例子：课堂练习2：设f(n)n2n41,纳出一般性结论.

学生容易做出“f(n)为质数”的结论，但这是不对的，实际上f(40),f(41)都是合数.甚至有的问题很难举出反例说明它是错误的，也不容易证明结论的正确性，比如哥德巴赫猜想.课上有意安排这样的例子，目的是使学生能辩证地看待归纳推理这种方法.（4）处理好推理和证明的关系

数学上为保证结论正确，总是强调要证明结论，但合情推理部分重在“推理”，重在得出新结论，“证明”不是本节课要解决的问题.课上例题中的“汉诺塔问题”就是这样，学生在短时间内能够得出一般性的结论，已实属不易，若再要求证明，则难度过高，时间上也不允许，而且会让学生抓不住“推理”这个重点，所以处理上更宜放在课后让学有余力的学生思考.

nN*，计算f(1),f(2),,f(10)的值，并归

四、本节课的教法特点以及预期效果分析

本节课在教学设计中我主要关注了以下两个方面：

（1）紧扣教材又不拘泥于教材

因为授课所用教材为人教B版，所选实例、例题和练习题大部分都来自该教材，仅“汉诺塔问题”来自人教A版，原因是B版此处所举例题为学生熟知的哥德巴赫猜想，这样学生可能不能充分体验从特殊到一般这样一种自己发现结论的思维过程，故换之.

本节课在紧扣教材的基础上，又没有照搬教材，而是经过个人的思考，重新组合，适当调整.比如课堂练习2，我把它作为开放题处理，让学生充分发散思维，得出多种结论.

（2）“以学生为中心”

在教学设计时，我对每个教学环节都进行了仔细地推敲，看逻辑是否自然，是否符合学生的认知水平，学生能否接受，如何接受，能接受到什么程度.

首先，利用有趣的故事吸引学生的注意力，激发学习兴趣.改编自华罗庚先生猜帽子颜色的问题是很经典的推理问题，它能使学生很快进入情境，积极迅速地投入到课堂内容中来.当然华先生的原文为3个学生，5顶帽子.思维难度较大，作为引入不太合适.我将其改为2个学生，3顶帽子，使之更适应学生实际，更适合课堂教学.

接着从学生熟悉的实例出发，引出概念；以问题的形式启发学生思考，引导学生观察、发现、归纳；鼓励学生发言，允许学生犯错，对学生发言及时点评.这种教学方式顺应学生的思维习惯，概念形成过程更加自然，使学生觉得大部分内容都是自己想出来的，印象会更深刻.

“汉诺塔问题”作为数学上的经典问题，内容有趣，学生听完题就跃跃欲试；题意简单明确，学生容易上手；而过程却并不轻松，能很好地锻炼学生的能力.而且，我考虑到不同学生在动手实践能力和抽象思维能力上可能各有所长，鼓励学生采取不同的处理方式，这样最大程度地照顾到每个学生，让他们按照自己擅长的方式研究问题，感受数学发现的乐趣.

以上就是我对“归纳推理”这节课的教学设计进行的说明.不妥之处，恳请各位专家和老师批评、指正.