数列求和-裂项相消专题

数列求和—裂项相消专题

裂项相消的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，以达到求和的目的. 常见的裂项相消形式有： 1. anan111 n(n1)nn11111()

n(n2)2nn21111()n(nk)knnk┈┈ an

an 2. anananp（分母可分解为n的系数相同的两个因式） 2AnBnC1111()

(2n1)(2n1)22n12n11111()

(2n1)(2n3)22n12n31111()

(6n5)(6n1)66n56n1 3. an

2n1114. ann1 (21)(2n1)2n112n11111

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)

2n11 ann(21)(2n+11)2n12n+11 ann22(n1)n111n(n1)2nn(n1)2nn2n1(n1)2n 1nn1n1n 5. ┈┈ 11 (n2n)

nn2211(nkn)nnkk

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1.在数列an中，an项的和.

212n，且bn，求数列bn的前naan1n1n1nn1bn2.已知数列an是首相为1，公差为1的等差数列，

证明：

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1，Sn为bn的前n项和，

anan213Sn. 34WORD格式 整理分享

23.等比数列an各项均为正数，且2a13a21,a39a2a6，

（1）求an的通项公式；

（2）设bnlog3a1log3a2log3an，求

4. 设数列an满足a10且（1）求an的通项公式； （2）设bn

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1的前n项和. bn111，

1an11an1an1n，记Snbk1nk，证明：Sn1.

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5. （安徽江南十校2015联考）已知各项为正数的数列an满足:

an22anan24an1an(nN),且a11,a24,

（1） 证明：数列（2） 设bn

6.已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d0,S54a36,且a1,a3,a9成等比数列， （1）求数列an的通项公式； （2）求数列

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a是等差数列 ;

n2n1，bn的前n项和为Sn，求证：Sn1. anan11的前n项和Tn. SnWORD格式 整理分享

7.等差数列an中，a1a36,a1121， （1）求数列an的通项公式； （2）设bn

8.(2010山东)已知等差数列an满足：a37,a5a726,an的前n项和为Sn， （1）求an及Sn； （2）令bn

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1n(an3)，求Snb1b2bn.

1(nN)，求数列bn的前n项和Tn. 2an1WORD格式 整理分享

9.（2013全国1）已知等差数列an的前n项和为Sn，满足S30,S55， （1）求an的通项公式； （2）求数列

210.(2013江西)正项数列an满足：an(2n1)an2n0，

1的前n项和.

aa2n12n1（1）求an的通项公式； （2）令bn

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1，求数列bn的前n项和Tn.

(n1)anWORD格式 整理分享

11.(2017全国3)设数列an满足a13a2(2n1)an2n， （1）求an的通项公式； （2）求数列

12.（2015安徽）已知数列an是递增的等比数列，且a1a49,a2a38， （1）求an的通项公式；

（2）设Sn为数列an的前n项和，bn

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an的前n项和. 2n1an1，求数列bn的前n项和.

SnSn1WORD格式 整理分享

13.（2014贵州适应性训练）已知数列an是等差数列，a12,a2,a3,a41成等比数列， （1）求an的通项公式； （2）设bn

14.（2013大连育明高中模拟）已知数列an是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为

2其前n项和，且满足anS2n1(nN)，数列bn满足bn2，求数列bn的前n项和Sn.

n(an2)11，Tn为数列bn的anan1前n项和，

（1）求a1,d和Tn；

（2）是否存在实数，使对任意的(nN)，不等式Tnn8恒成立？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.

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WORD格式 整理分享

215.Sn为数列an的前n项和，已知an0,an2an4Sn3，

（1）求an的通项公式； （2）设bn

16.已知等比数列an的公比q1，a1和a4的等比中项为33，a2和a3的等差中项为6，

5n4an)(nN)， 数列bn满足bnlog3(31，求数列bn的前n项和. anan1（1）求数列an和bn的通项公式； （2）设cn3m,Tn是数列cn的前n项和，求使的Tn对所有nN恒成立的最

bnbn120小整数m的值.

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