上海市青浦区高考数学一模试卷
一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.
2．（4分）已知复数3．（4分）不等式24．（4分）函数f（x）=
（i为虚数单位），则＞（）3
（x﹣1）
= ．
的解集为 ．
sinxcosx+cos2x的最大值为 ．
5．（4分）在平面直角坐标系xOy中，以直线y=±2x为渐近线，且经过椭圆x2+
成6．（4分）将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积
7．（5分）设等差数列{an}的公差d不为0，a1=9d．若ak是a1与a2k的等比中项，则k= ．
8．（5分）已知（1+2x）6展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则= ．
您高9．（5分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于4的概率为 ．
10．（5分）已知函数f（x）=的取值范围是 ．
考马为 ．
祝11．（5分）已知Sn为数列{an}的前n项和，a1=a2=1，平面内三个不共线的向量，
，满足
=（an﹣1+an+1）
+（1﹣an）
到右顶点的双曲线的方程是 ．
有三个不同的零点，则实数a
，n≥2，n∈N*，若A，B，C在
同一直线上，则S2018= ．
12．（5分）已知函数f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）和g（x）=3x﹣3同时满足以
功！=1
1．（4分）设全集U=Z，集合M={1，2}，P={﹣2，﹣1，0，1，2}，则P∩CUM ．
，
下两个条件：
①对任意实数x都有f（x）＜0或g（x）＜0；
②总存在x0∈（﹣∞，﹣2），使f（x0）g（x0）＜0成立． 则m的取值范围是 ．
二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13．（5分）“a＞b”是“（
）2＞ab”成立的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
x+
14．（5分）已知函数f（x）=2sin（），若对任意实数x，都有f（x1）≤f
（x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值是（ ） A．π
B．2π C．2
D．4
15．（5分）已知和是互相垂直的单位向量，向量n∈N*，设θn为和
的夹角，则（ ）
考马到满足：
，
，
A．θn随着n的增大而增大
祝您高
B．θn随着n的增大而减小
C．随着n的增大，θn先增大后减小 D．随着n的增大，θn先减小后增大
16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知两圆C1：x2+y2=12和C2：x2+y2=14，又点A坐标为（3，﹣1），M、N是C1上的动点，Q为C2上的动点，则四边形AMQN能构成矩形的个数为（ ） A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个
三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，
成功！
PA=AD=2AB=2，E是PB的中点． （1）求三棱锥P﹣ABC的体积；
（2）求异面直线EC和AD所成的角（结果用反三角函数值表示）．
18．（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
19．（14分）如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C．值班室A在值班室B的
（1）保安甲沿CA从值班室出发行至点P处，此时PC=1，求PB的距离； （2）保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含
祝您高3千米），试问有多长时间两人不能通话？
20．（16分）设集合A，B均为实数集R的子集，记A+B={a+b|a∈A，b∈B}． （1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B； （2）设a1=，当n∈N*且n≥2时，曲线
+
=的焦距为an，如果A={a1，
考马
正北方向2千米处，值班室C在值班室B的正东方向2
到（2）求证：A为线段BM的中点．
成千米处．
A，B，其中O为原点．
功！
a2，…，an}，B={﹣，﹣，﹣}，设A+B中的所有元素之和为Sn，求Sn的值； （3）在（2）的条件下，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式Sm+Sn﹣λSk＞0恒成立，求实数λ的最大值．
21．（18分）对于定义在[0，+∞）上的函数f（x），若函数y=f（x）﹣（ax+b）满足：
g（x）=ax+b是函数f（x）的“逼进函数”． （1）判断函数g（x）=2x+5是不是函数f（x）=进函数”；
数”
（3）若g（x）=ax是函数f（x）=x+的值．
祝您高
考马到，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，求a
成（2）求证：函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函
功！，x∈[0，+∞）的“逼
①在区间[0，+∞）上单调递减，②存在常数p，使其值域为（0，p]，则称函数
上海市青浦区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5
一律得零分.
1．（4分）设全集U=Z，集合M={1，2}，P={﹣2，﹣1，0，1，2}，则P∩CUM {﹣2，﹣1，0} ．
【解答】解：CUM={﹣2，﹣1，0}，故P∩CUM={﹣2，﹣1，0} 故答案为：{﹣2，﹣1，0}
2．（4分）已知复数【解答】解：复数∴=∴
=
， •．
=
（i为虚数单位），则
=
到故答案为
您高3．（4分）不等式2∞） ．
【解答】解：不等式22
＞23﹣3x，
祝即x2﹣4x﹣3＞3﹣3x， ∴x2﹣x﹣6＞0， 解得x＜﹣2或x＞3，
∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．
考马==，
＞（）3（x﹣1）的解集为 （﹣∞，﹣2）∪（3，+＞（）3（x﹣1）化为
成= ，
．
功！分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则
故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．
4．（4分）函数f（x）=【解答】解：函数f（x）==
sin2x+cos2x+
sinxcosx+cos2x的最大值为 sinxcosx+cos2x
．
当2x+即x=kπ+
=2kπ+，k∈Z，
，k∈Z，函数取得最大值1+=，
5．（4分）在平面直角坐标系xOy中，以直线y=±2x为渐近线，且经过椭圆x2+
到成=1
故答案为：．
【解答】解：设以直线y=±2x为渐近线的双曲线的方程为x2﹣
考马=1右顶点（1，0），
=1．
=1．
右顶点的双曲线的方程是 x2﹣=1 ．
祝您高∵双曲线椭圆x2+∴1=λ，
∴双曲线方程为：x2﹣
故答案为：x2﹣
6．（4分）将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为
．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π，∴r=1．
功！=λ（λ≠0），
=sin（2x+）+，
∴圆锥的高h=∴圆锥的体积V=故答案为：
．
=
．
．
7．（5分）设等差数列{an}的公差d不为0，a1=9d．若ak是a1与a2k的等比中项，则k= 4 ．
【解答】解：因为ak是a1与a2k的等比中项，
则ak2=a1a2k，[9d+（k﹣1）d]2=9d•[9d+（2k﹣1）d]， 又d≠0，则k2﹣2k﹣8=0，k=4或k=﹣2（舍去）． 故答案为：4．
您高则= 12 ．
8．（5分）已知（1+2x）6展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，
【解答】解：由题意可得a=再根据
，
祝解得，
即≤r≤，
×24=240；
∴r=4，此时b=
考马=20，
到成
功！
∴==12．
故答案为：12．
9．（5分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于4的概率为 ．
基本事件总数n=6×6=36，
两个点数之积小于4包含的基本事件（a，b）有：
（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），共5个， ∴两个点数之积不小于4的概率为p=1﹣故答案为：
10．（5分）已知函数f（x）=的取值范围是 [1，+∞） ．
．
=
．
【解答】解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增对数函数的部分， 函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=
，最多两个零点，
祝您高
如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交， 由对数函数过点（1，0），故需左移至少1个单位，故a≥1， 还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点
＜0，
考马到成有三个不同的零点，则实数a
功！【解答】解：同时掷两枚质地均匀的骰子，
解得a＜0或a＞，综合可得：a≥1， 故答案为：[1，+∞）．
11．（5分）已知Sn为数列{an}的前n项和，a1=a2=1，平面内三个不共线的向量，
，满足
=（an﹣1+an+1）
+（1﹣an）
，
，n≥2，n∈N*，若A，B，C在
同一直线上，则S2018= 2 ．
【解答】解：若A，B，C三点共线，则内三个不共线的向量
，
，
，满足
=x
+（1﹣x）
=（an﹣1+an+1）
得出an﹣1+an+1+1﹣an=1，∴an﹣1+an+1=an， ∵Sn为数列{an}的前n项和，a1=a2=1，
∴数列{an}为：1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，… 即数列{an}是以6为周期的周期数列，前6项为1，1，0，﹣1，﹣1，0， ∵2018=6×336+2，
∴S2018=336×（1+1+0﹣1﹣1+0）+1+1=2． 故答案为：2．
祝您高12．（5分）已知函数f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）和g（x）=3x﹣3同时满足以下两个条件：
①对任意实数x都有f（x）＜0或g（x）＜0；
②总存在x0∈（﹣∞，﹣2），使f（x0）g（x0）＜0成立． 则m的取值范围是 （﹣3，﹣2） ．
【解答】解：对于①∵g（x）=3x﹣3，当x＜1时，g（x）＜0， 又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0
∴f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＜0在x≥1时恒成立
则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面，
考马到成n∈N*，A，B，C在同一直线上，”
功！，∴根据条件“平面+（1﹣an）
，n≥2，
即，可得﹣3＜m＜0
又∵②x∈（﹣∞，﹣2），f（x）g（x）＜0 ∴此时g（x）=3x﹣3＜0恒成立
∴f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＞0在x∈（﹣∞，﹣2）有成立的可能，
（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣2，﹣m﹣2＞﹣2不成立， （ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣1＞﹣3，不成立，
（iii）当﹣3＜m＜﹣1时，较小的根为m，即m＜﹣2成立．
故答案为：（﹣3，﹣2）．
二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则
您高一律得零分.
13．（5分）“a＞b”是“（
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
）2＞ab得
＞ab，
祝【解答】解：由（即a2+2ab+b2＞4ab， 则a2﹣2ab+b2＞0，
即（a﹣b）2＞0，则a≠b， 则“a＞b”是“（
）2＞ab”成立的充分不必要条件，
考马
）2＞ab”成立的（ ）
到成综上可得①②成立时﹣3＜m＜﹣2．
功！则只要﹣2比x1，x2中的较小的根大即可，
故选：A．
14．（5分）已知函数f（x）=2sin（
x+
），若对任意实数x，都有f（x1）≤f
（x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值是（ ） A．π
B．2π C．2
D．4
≤f（x）≤f（x2），
则|x2﹣x1|的最小值为函数f（x）的半个周期， 即
=
=
=2，
故选：C．
15．（5分）已知和是互相垂直的单位向量，向量
到成满足：
，
，
的夹角，
A．θn随着n的增大而增大 B．θn随着n的增大而减小
C．随着n的增大，θn先增大后减小
祝您高=（0，1）， 设∵
=（xn，yn），
，
∴∵θn为和
D．随着n的增大，θn先减小后增大
【解答】解：分别以 和所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则=（1，0），
∴xn=n，yn=2n+1，n∈N*，
=（n，2n+1），n∈N*，
考马，n∈N*，
n∈N*，设θn为和的夹角，则（ ）
功！【解答】解：对于函数f（x）=2sin（x+
），若对任意实数x，都有f（x1）
∴tanθn===2+
∴y=tanθn为减函数， ∴θn随着n的增大而减小． 故选：B．
16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知两圆C1：x2+y2=12和C2：x2+y2=14，又点A坐标为（3，﹣1），M、N是C1上的动点，Q为C2上的动点，则四边形AMQN能构成矩形的个数为（ ） A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个
【解答】解：如图所示，任取圆C2上一点Q， 以AQ为直径画圆， 交圆C1与M、N两点， 则四边形AMQN能构成矩形，
故选：D．
您高祝
三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB=2，E是PB的中点． （1）求三棱锥P﹣ABC的体积；
考马
由作图知，四边形AMQN能构成矩形的个数为无数个．
到成功！
（2）求异面直线EC和AD所成的角（结果用反三角函数值表示）．
高PA=2，BC=AD=2，AB=1， ∴S△ABC=故VP﹣ABC=
=1．
=
．
（2）∵BC∥AD，∴∠ECB或其补角为异面直线EC和AD所成的角θ， 又∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥BC，又BC⊥AB， ∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB， 于是在Rt△CEB中，BC=2，BE=PB=tanθ=
=
，
∴异面直线EC和AD所成的角是arctan
考马
祝您高
18．（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A为线段BM的中点．
到， ．
成功！【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，
【解答】解：（1）∵y2=2px过点P（1，1）， ∴1=2p， 解得p=， ∴y2=x，
∴焦点坐标为（，0），准线为x=﹣，
y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2）， ∴直线OP为y=x，直线ON为：y=
x，
由题意知A（x1，x1），B（x1，），
由
，可得k2x2+（k﹣1）x+=0，
∴x1+x2=，x1x2=
∴y1+=kx1++
考马
=2kx1+
到=2kx1+
=2kx1+（1﹣k）
祝您高•2x1=2x1，
∴A为线段BM的中点．
19．（14分）如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C．值班室A在值班室B的
成功！（2）证明：设过点（0，）的直线方程为
正北方向2千米处，值班室C在值班室B的正东方向2千米处．
（1）保安甲沿CA从值班室出发行至点P处，此时PC=1，求PB的距离； （2）保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB=2，BC=2所以∠C=30°，
在△PBC中PC=1，BC=2由余弦定理可得
BP2=BC2+PC2﹣2BC•PCcos30° =（2即BP=
）2+1﹣2×2；
，
（2）在Rt△ABC中，BA=2，BC=2
考马×1×
=7， ，
；
，AC=
到=4，
祝您高解得t＜所以0≤t≤
或t＞
设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0≤t≤4， 设甲在线段CA上的位置为点M，则AM=4﹣t，
①当0≤t≤1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，则AQ=2t， 如图所示，在△AMQ中，
由余弦定理得MQ2=（4﹣t）2+（2t）2﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=7t2﹣16t+7＞9，
②当1≤t≤4时，乙在值班室B处，在△ABM中，
由余弦定理得MB2=（4﹣t）2+4﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=t2﹣6t+12＞9，
成，
功！
解得t＜3﹣或t＞3+，又1≤t≤4，不合题意舍去． 时，甲乙间的距离大于3千米，
小时．
综上所述0≤t≤
所以两人不能通话的时间为
（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B； （2）设a1=，当n∈N*且n≥2时，曲线
到+
﹣
（3）在（2）的条件下，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式Sm+Sn﹣λSk＞0恒成立，求实数λ的最大值． 【解答】解：（1）∵A+B={a+b|a∈A，b∈B}； 当A={0，1，2}，B={﹣1，3}时，
您高（2）曲线
+
A+B={﹣1，0，1，3，4，5}；
=，即
=，在n≥2时表示双曲线，
祝故an=2
∴a1+a2+a3+…+an=
∵B={﹣，﹣，﹣}，
∴A+B中的所有元素之和为Sn=3（a1+a2+a3+…+an）+n（﹣﹣﹣）=3•（﹣﹣﹣）=n2，
考马=n，
a2，…，an}，B={﹣，﹣，﹣}，设A+B中的所有元素之和为Sn，求Sn的值；
成20．（16分）设集合A，B均为实数集R的子集，记A+B={a+b|a∈A，b∈B}．
=的焦距为an，如果A={a1，
功！+n
（3）∵∴Sm+Sn﹣λSk＞0恒成立⇔λ＜∵m+n=3k，且m≠n， ∴
=
=
＞，
=恒成立，
∴λ≤，
故实数λ的最大值为
21．（18分）对于定义在[0，+∞）上的函数f（x），若函数y=f（x）﹣（ax+b）
①在区间[0，+∞）上单调递减，②存在常数p，使其值域为（0，p]，则称函数g（x）=ax+b是函数f（x）的“逼进函数”．
（1）判断函数g（x）=2x+5是不是函数f（x）=
到（2）求证：函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”
（3）若g（x）=ax是函数f（x）=x+
考马进函数”；
，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，求a
您高的值．
【解答】解：（1）f（x）﹣g（x）=﹣（2x+5）=
成满足：
可得y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）递减，且x+2≥2， 0＜
≤，可得存在p=，函数y的值域为（0，]，
，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；
祝则函数g（x）=2x+5是函数f（x）=（2）证明：f（x）﹣g（x）=（）x﹣x， 由y=（）x，y=﹣x在[0，+∞）递减， 则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）递减，
则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）的最大值为1；
功！，x∈[0，+∞）的“逼
，
由x=1时，y=﹣=0，x=2时，y=﹣1=﹣＜0，
则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）的值域为（﹣∞，1]，
即有函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”； （3）g（x）=ax是函数f（x）=x+可得y=x+
，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，
﹣ax为[0，+∞）的减函数，
≤0在[0，+∞）恒成立，
可得导数y′=1﹣a+
可得a﹣1≥由x＞0时，
， =
≤1，
则a﹣1≥1，即a≥2； 又y=x+则
﹣ax在[0，+∞）的值域为（0，1]， ＞（a﹣1）x，
x=0时，显然成立； x＞0时，a﹣1＜
祝您高则a=2．
可得a﹣1≤1，即a≤2．
考马，
到成功！
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