◇辅助线--构造等腰与直角三角形√

构造等腰、直角三角形

一、构造等腰（边）三角形：当问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰（边）三角形；出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰（边）三角形。通过构造等腰（边）三角形，应用等腰（边）三角形的性质得到一些边角相等关系，达到求证（解）的目的。

典型例题：

例1.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC的平分线与AB 的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是 ．

例2.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF． （1）求证：四边形EFCD是平行四边形； （2）若BF=EF，求证：AE=AD．

例3.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE．联结BF、CD、AC．

（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；

2

（2）如果DE＝BE·CE，求证四边形ABFC是矩形．

二、构造直角三角形：通过构造直角三角形，应用直角三角形的性质得到一些边角关系（勾股定理，两锐角互余，锐角三角函数），达到求证（解）的目的。

典型例题：

例2.已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为225 （即cosC=5），则AC边上的中线长是 ． 55例3.如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，

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◇辅助线--构造等腰与直角三角形√

折痕为MN，连结CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰4，则

A．2 B．4 C．25

000

例4.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90，∠CED=45，∠DCE=90，DE=2，BE=22．求CD的长和四边形ABCD的面积．

例5.某市规划局计划在一坡角为16º的斜坡AB上安装一球形雕塑，其横截面示意图如图所示．已知支架AC与斜坡AB的夹角为28º，支架BD⊥AB于点B，且AC、BD的延长线均过⊙O的圆心，AB＝12m，⊙O的半径为1.5m，求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离(结果精确到0.01m，参考数据：cos28º≈0.9，sin62º≈0.9，sin44º≈0.7，cos46º≈0.7)．

例6.周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）．小船从P处出发，沿北偏东60°划行200米到达A处，接着向正南方向划行一段时间到达B处．在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到米）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）

例7.如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6．将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在 AB上点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积．

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MN的值为【 】 BMD．26

◇辅助线--构造等腰与直角三角形√

构造等腰、直角三角形

一、构造等腰（边）三角形：当问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰（边）三角形；出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰（边）三角形。通过构造等腰（边）三角形，应用等腰（边）三角形的性质得到一些边角相等关系，达到求证（解）的目的。

典型例题：

例1.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是 50．

【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出∠OBC＝40°，以及∠OBC＝∠OCB＝40°，再利用翻折变换的性质得出EO＝EC，∠CEF＝∠FEO，进而求出即可：

连接BO，

∵AB＝AC，AO是∠BAC的平分线，∴AO是BC的中垂线。∴BO＝CO。 ∵∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O， ∴∠OAB＝∠OAC＝25°。

∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°。 ∴∠OBC＝65°－25°＝40°。∴∠OBC＝∠OCB＝40°。 ∵点C沿EF折叠后与点O重合，∴EO＝EC，∠CEF＝∠FEO。

00

∴∠CEF＝∠FEO＝（180－2×40）÷2＝50°。 例2.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF． （1）求证：四边形EFCD是平行四边形； （2）若BF=EF，求证：AE=AD． 【答案】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°。

∵∠EFB=60°，∴∠ABC=∠EFB。∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行）。 ∵DC=EF，∴四边形EFCD是平行四边形。 （2）连接BE。

∵BF=EF，∠EFB=60°，∴△EFB是等边三角形。 ∴EB=EF，∠EBF=60°。 ∵DC=EF，∴EB=DC。

∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AB=AC。 ∴∠EBF=∠ACB。∴△AEB≌△ADC（SAS）。∴AE=AD。

例3.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE．联结BF、CD、AC．

（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；

2

（2）如果DE＝BE·CE，求证四边形ABFC是矩形． 【答案】解：（1）证明：连接BD。

∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴AC=BD，∠ACB=∠DBC ∵DE⊥BC，EF=DE，∴BD=BF，∠DBC=∠FBC。

∴AC=BF，∠ACB=∠CBF。∴AC∥BF。∴四边形ABFC是平行四边形；

（2）∵DE＝BE·CE，∴DECE。

2

BEDE∵∠DEB=∠DEC=90°，∴△BDE∽△DEC。∴∠CDE=∠DBE，

∴∠BFC=∠BDC=∠BDE＋∠CDE=∠BDE＋∠DBE=90°。∴四边形ABFC是矩形。

二、构造直角三角形：通过构造直角三角形，应用直角三角形的性质得到一些边角关系（勾股定理，两锐角互余，锐角三角函数），达到求证（解）的目的。

典型例题：

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◇辅助线--构造等腰与直角三角形√

例2.已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为22，则AC边上的中线长是 ． 5 （即cosC=5）55585【答案】a。 a或

1010【考点】解直角三角形，锐角三角函数定义，三角形中位线定理，勾股定理。 【分析】分两种情况：

①△ABC为锐角三角形时，如图1，BE为AC边的中线。 作△ABC的高AD，过点E作EF⊥BC于点F。

∵在Rt△ACD中，AC=a，cosC=∴CD=25， 552a 5a，AD=55∵在Rt△ABD中，∠ABD=45°，∴BD=AD=355a。∴BC=BD+CD=a

5551DC=a，25∵点E是AC的中点，EF∥AD，∴EF是△ACD的中位线。∴FC=EF=

521AD=a。∴BF=5a。 2105在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE217285 25BFEF5aa=a=a2010510222②△ABC为钝角三角形时，如图2，BE为AC边的中线。

作△ABC的高AD。

522a 5，∴CD=5a，AD=55555∵在Rt△ABD中，∠ABD=45°，∴BD=AD=a。∴BC= BD=a

5551∵点E是AC的中点，∴BE是△ACD的中位线。∴BE=AD=a

210585综上所述，AC边上的中线长是a。 a或

1010∵在Rt△ACD中，AC=a，cosC=例3.如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN，连结CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰4，则

A．2 B．4 C．25 【分析】过点N作NG⊥BC于G，由四边形ABCD是矩形，易得四边形CDNG是矩形，又由折叠的性质，可得四边形AMCN是菱形，由△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得DN：CM=1：4，然后设DN=x，由勾股定理可求得MN的长，从而求得答案：

过点N作NG⊥BC于G，

∵四边形ABCD是矩形，∴四边形CDNG是矩形，AD∥BC。 ∴CD=NG，CG=DN，∠ANM=∠CMN。

由折叠的性质可得：AM=CM，∠AMN=∠CMN，∴∠ANM=∠AMN。 ∴AM=AN。∴AM=CM，∴四边形AMCN是平行四边形。 ∵AM=CM，∴四边形AMCN是菱形。

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MN的值为【 】 BMD．26

◇辅助线--构造等腰与直角三角形√

∵△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，∴DN：CM=1：4。

设DN=x，则AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5x，CG=x。∴BM=x，GM=3x。 在Rt△CGN中，NGCN2CG2在Rt△MNG中，MNGM2NG2∴

4x2x215x，

3x215x=26x，

2MN26x==26。故选D。 BMx0

0

0

例4.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90，∠CED=45，∠DCE=90，DE=2，BE=22．求CD的长和四边形ABCD的面积． 解：过点D作DH⊥AC，

∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=2，∴EH=DH=1。 又∵∠DCE=30°，∴DC=2，HC=3。 ∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=22， ∴AB=AE=2。∴AC=2+1+3 =3+3。 ∴S四边形ABCD119332（33）1（33） 。 222例5.某市规划局计划在一坡角为16º的斜坡AB上安装一球形雕塑，其横截面示意图如图所示．已知支架AC与斜坡AB的夹角为28º，支架BD⊥AB于点B，且AC、BD的延长线均过⊙O的圆心，AB＝12m，⊙O的半径为1.5m，求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离(结果精确到0.01m，参考数据：cos28º≈0.9，sin62º≈0.9，sin44º≈0.7，cos46º≈0.7)．

解：如图，过点O作水平地面的垂线，垂足为点E。

在Rt△AOB中，cosOAB ∴OAAB12，即cos280， OAOA1213.333。 00.9cos280000

∵∠BAE=16，∴∠OAE=28＋16=44。

OEOE在Rt△AOE中，sinOAE，即sin440，

OA13.333∴OE13.333sin44013.3330.79.333 9.333＋1.5=10.833≈10.83（m）。

例6.周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）．小船从P处出发，沿北偏东60°划行200米到达A处，接着向正南方向划行一段时间到达B处．在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到米）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73） 解：作PD⊥AB于点D，

由已知得PA=200米，∠APD=30°，∠B=37°， 在Rt△PAD中，

3PD由cos30°=，得PD=PAcos30°=200×=1003（米）。

2PA在Rt△PBD中，

PD1001.73PD由sin37°=，得PB=。 288（米）00.6PBsin37答：小亮与妈妈的距离约为288米。

例7.如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6．将扇形OAB沿过点B的直线折叠，

5 / 9

12◇辅助线--构造等腰与直角三角形√

点O恰好落在 AB上点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积．

解：连接OD。

根据折叠的性质，CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，

∴OB=OD=BD。∴△OBD是等边三角形。∴∠DBO=60°。∴∠CBO=∵∠AOB=90°，∴OC=OB•tan∠CBO=6×∴SBDCSOBC1∠DBO=30°。 23=23。 311OBOC623=63， 22S扇形AOB9069062=9，AB==3

360180∴整个阴影部分的周长为：AC+CD+BD+AB==AC+OC+OB+AB=6+6+3π=12+3π。 整个阴影部分的面积为：S扇形AOBSBDCSOBC963639123。

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◇辅助线--构造等腰与直角三角形√

配套练习

练习题：

1、已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为 ．

2.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为 ．

3.如图，AB是半圆O的直径，点C为半径OB上一点，过点C作CD⊥AB交半圆O于点D，将△ACD沿AD折叠得到△AED，AE交半圆于点F，连接DF。

（1）求证：DE是半圆的切线；

（2）连接OD，当OC=BC时，判断四边形ODFA的形状，并证明你的结论。

4. 如图所示，△ABC的外接圆圆心O在AB上，点D是BC延长线上一点，DM⊥AB于M，交AC于N，且AC=CD．CP是△CDN的ND边的中线．

(1)求证：△ABC≌△DNC；

(2)试判断CP与⊙O的位置关系，并证明你的结论。

5. 如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC。将△ACD沿对角线AC翻折后，点D恰好与边AB的中点M重合．

(1)点C是否在以AB为直径的圆上?请说明理由; (2)当AB=4时，求此梯形的面积．

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◇辅助线--构造等腰与直角三角形√

练习题：

1，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=【 】。 2

1031033A． B． C． D．

5105102.如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22º时， 教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45º时，教学楼顶A在地面上的影

子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上)． (1)求教学楼AB的高度；

(2)学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离(结果保留整数)．

1523(参考数据：sin22º≈，cos22º≈，tan22º≈)

16581.已知△ABC中，∠C=90°，tanA=

3.在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD．如图，已知小明距假山的水平距离BD为12m，他的眼镜距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为【 】

A．（43+1.6）m B．（123+1.6）m C．（43+1.6）m D．43m

4.如图，将45的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将37的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为 cm

（结果精确到0.1 cm，参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）

5.如图，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是 ，cosA的值是 ．(结果保留根号) 6.如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东65方向，然后，他从凉亭A处沿湖岸向正东方向走了100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东45方向（点A、B、C在同一水平面上）．请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离（结果精确到1米）．

（参考数据：sin250.4226， cos250.9063，tan250.4663，sin650.9063，cos650.4226，tan652.1445）

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◇辅助线--构造等腰与直角三角形√

7.已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km，一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15min后达到C处，现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长(精确到0.1km)．(参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，2≈1.41，5≈2.24)

8.如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在码头西端M的正西方向30 千米处有一观察站O．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西30°方向，且与O相距千米的A处；经过40分钟，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距20千米的B处．

（1）求该轮船航行的速度； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．（参考数据：，）

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