高中高一数学必修1集合学习知识点总结复习学习资料

高一数学必修 1 集合知识点复习资料

高一数学必修一集合知识点复习资料 一. 知识归纳：

1. 集合的有关概念。

1) 集合( 集) ：某些指定的对象集在一起就成为一个集合 ( 集). 其中每一个对象叫元素

注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性 (a?A 和 a?A，二者必居其一 ) 、互异

性 ( 假设 a?A，b?A，那么 a≠b) 和无序性 ({a,b} 与{b,a} 表示同一个集合 ) 。

③集合具有两方面的意义，即：但凡符合条件的对象都是它的元

素 ; 只要是它的元素就必须符号条件

2) 集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3) 集合的分类：有限集，无限集，空集。 4) 常用数集： N，Z，Q，R，N*

2. 子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1) 子集：假设对 x∈A都有 x∈B，那么 AB(或 AB); 2) 真子集： AB且存在 x0∈B但 x0A; 记为 AB(或，且 ) 3) 交集： A∩B={x|x ∈A且 x∈B} 4) 并集： A∪B={x|x ∈A或 x∈B} 5) 补集： CUA={x|xA但 x∈U} 注意：①?A，假设 A≠?，那么 ?A;

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②假设，， ;

③假设且， A=B(等集 )

3. 弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的 和符号， 特 要注意以下的符号： (1) 与、 ?的区 ;(2) 与的区 ;(3) 与的区 。

4. 有关子集的几个等价关系

①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB; ④A∩CuB=空集 CuAB;⑤CuA∪B=IAB。

5. 交、并集运算的性

①A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A; ②A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A;

③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB;

6. 有限子集的个数： 集合 A 的元素个数是 n， A有 2n 个子集， 2n-1 个非空子集， 2n-2 个非空真子集。

二. 例 解：

【例 1】集合

M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=,n ∈Z},P={x|x=,p ∈Z} ， M,N,P 足关

系

A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM

分析一：从判断元素的共性与区 入手。

解答一： 于集合 M：{x|x=,m ∈Z}; 于集合 N：{x|x=,n ∈Z}

于集合 P：{x|x=,p ∈Z} ，由于 3(n-1)+1 和 3p+1 都表示被 3 除余 1 的数，而 6m+1表示被 6 除余 1 的数，所以 MN=P，故 B。

分析二： 列 集合中的元素。

解答二： M={⋯，，⋯ } ，N={⋯， ,, ，⋯ } ，P={⋯， , ，⋯ } ， 不要急于判断三个集合 的关系， 分析各集合中不同的元素。

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=∈N，∈ N，∴ MN，又 =M，∴ MN，

=P，∴ NP又∈ N，∴ PN，故 P=N，所以 B。

点 ：由于思路二只是停留在最初的 假 ，没有从理 上解决 ，因此提倡思路一，但思路二易人手。

式： 集合，， (B)

A.M=NB.MNC.NMD. 解：

当 ， 2k+1 是奇数， k+2 是整数， B

【例 2】定 集合 A*B={x|x ∈A且 xB}，假设 A={1,3,5,7},B={2,3,5} ， A*B 的子集个数

A)1B)2C)3D)4

分析：确定集合 A*B 子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合 A={a1，a2，⋯， an} 有子集 2n 个来求解。

解答：∵ A*B={x|x ∈A且 xB} ，∴ A*B={1,7} ，有两个元素，故 A*B 的子集共有 22 个。 D。

式 1：非空集合

那么集合 M的个数

M{1,2,3,4,5} ，且假设 a∈M， 6?a∈M，

A)5 个 B)6 个 C)7 个 D)8 个

式

2： {a,b}A{a,b,c,d,e},

求集合 A.

解：由，集合中必 含有元素

a,b.

集合 A 可能是

{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

析本 集合 A 的个数 集合 {c,d,e} 的真子集的个数，所以共有个 .

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【例 3】集合 A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},

A∩B={1},A ∪B={?2,1,3}, 求实数 p,q,r 的值。

且

解答：∵ A∩B={1} ∴1∈B∴12?4×1+r=0,r=3.

∴ B={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2B, ∴?2∈A

∵A∩B={1} ∴1∈A∴方程 x2+px+q=0的两根为 -2 和 1， ∴∴

变式：集合 A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0}, 且 A∩B={2},A ∪B=B，求实数 b,c,m 的值 .

解：∵ A∩B={2} ∴1∈B∴22+m?2+6=0,m=-5

∴B={x|x2 - 5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B∴

又∵ A∩B={2} ∴A={2} ∴b=- (2+2)=4,c=2 ×2=4

∴b=-4,c=4,m=-5

【例 4】集合 A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},

A∪B={x|x> -2} ，且 A∩B={x|1

集合 B 满足：

分析：先化简集合 A，然后由 A∪B和 A∩B分别确定数轴上哪些元素属于 B，哪些元素不属于 B。

解答： A={x|-21} 。由 A∩B={x|1 -2} 可知 [-1,1]B ，而 (- ∞,-

2) ∩B=ф。

综合以上各式有 B={x|- 1≤x≤5}

变式 1：假设 A={x|x3+2x2-8x>0} ，B={x|x2+ ax+b≤0}, A∪B={x|x> -4} ，A∩B=Φ, 求 a,b 。( 答案： a=-2 ，b=0)

点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。

变式 2：设 M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}

有满足条件的 a 的集合。

，假M∩N=N，求所 设

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解答： M={- 1,3}, ∵M∩N=N,∴NM

①当时， ax-1=0 无解，∴ a=0②

综①②得：所求集合为 {-1 ，0，}

【例 5】集合，函数 y=log2(ax2-2x+2) 的定义域为 Q，假设P∩Q≠Φ，求实数 a 的取值范围。

分析：先将原问题转化为不等式 ax2-2x+2>0 在有解，再利用参数别离求解。

解答： (1) 假设，在内有有解

令当时，

所以 a>-4, 所以 a 的取值范围是

变式：假设关于 x 的方程有实根 , 求实数 a 的取值范围。

解答：

三 . 随堂演练选择题

1. 以下八个关系式① {0}= ②=0③{} ④{} ⑤{0}

⑥0⑦{0} ⑧{} 其中正确的个数

(A)4(B)5(C)6(D)7

2. 集合{1 ，2，3} 的真子集共有

(A)5 个(B)6 个(C)7 个(D)8 个

3. 集合 A={x}B={}C={} 又那么有

(A)(a+b)A(B)(a+b)B(C)(a+b)C(D)(a+b)A

、B、C任一个

4. 设 A、B 是全集 U的两个子集，且 AB，那么以下式子成立的是 (A)CUACUB(B)CUACUB=U

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(C)ACUB=(D)CUAB=

5. 集合 A={} ，B={} 那么 A= (A)R(B){}

(C){}(D){}

6. 以下语句： (1)0 与{0} 表示同一个集合 ;(2) 由 1，2，3 组成的集合可表示为

{1 ，2，3} 或{3 ，2，1};(3) 方程(x-1)2(x-2)2=0 的所有解的集合可表示为 {1 ，1，2};(4) 集合 {} 是有限集，正确的选项是

(A) 只有 (1) 和(4)(B) 只有 (2) 和(3)

(C) 只有 (2)(D) 以上语句都不对

7. 设 S、T 是两个非空集合，且 ST，TS，令 X=S那么 S∪X= (A)X(B)T(C) Φ(D)S

8 设一元二次方程 ax2+bx+c=0(a<0) 的根的判别式，那么不等式 ax2+bx+c0 的解集为

(A)R(B)(C){}(D){} 填空题

9. 在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为

10. 假设 A={1,4,x},B={1,x2} 且 AB=B，那么 x=

11. 假设 A={x}B={x}, 全集 U=R，那么 A=

12. 假设方程 8x2+(k+1)x+k-7=0 有两个负根，那么 k 的取值范围是 13 设集合 A={},B={x},

且 AB，那么实数 k 的取值范围是。

14. 设全集 U={x 为小于 20 的非负奇数 } ，假设 A(CUB)={3，7，15} (CUA)B={13，17，19} ，又 (CUA)(CUB)=，那么 AB=

解答题

，

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15(8 分) 集合

A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1},

假AB={-

设

3} ，求实数 a。

16(12 分) 设 A=，B=，

其中 xR,如果 AB=B，求实数 a 的取值范围。

四. 习题答案

选择题

12345678

CCBCBCDD

填空题

9.{(x,y)}10.0,11.{x,

或 x3}12.{}13.{}14.{1,5,9,11}

解答题

15.a=-1

16. 提示： A={0，-4} ，又 AB=B，所以 BA

( Ⅰ)B=时， 4(a+1)2-4(a2-1)<0

，得 a<-1

( Ⅱ)B={0} 或 B={-4} 时， 0 得 a=-1

( Ⅲ)B={0 ， -4} ，解得 a=1

综上所述实数 a=1 或 a-1