数学教学内容的非线性结构及其教学策略

维普资讯 http://www.cqvip.com 教膏导刊２００２年８、９月暑上半月　数学教学内容韵菲线牲结构及其教学策路　林少杰　（摘要］数学教材呈现教学内容时的逻辑顺序更多地是从严谨性、系统性和连贯性等方面　去考虑的，这种以阶梯递进的连续的线性结构使教学内容的表述表现为“演绎叙述式”。教师　应当把教学内容重组为适合于学生认知方式的“非线性主干结构”，从而提高教学的效益。　（关键词］数学非缌陛、结构、教学内容。　一、“非线性结构”的理念　然而，现代学习理论的研究和大量的教学实践表　明：人的学习过程是个体经验、知识和能力的构建过　程；学生的认知不是一次完成而是在不断反复循环中　数学的学科逻辑特征和教材的传统规范，决定了　数学教材的编写要做到内容铺排的的阶梯性和连贯　性、文字表述的严谨性和简明性。在这种以阶梯连贯　的“线性”排列的知识点为主线的、以“演绎叙述”　实现的；在学习材料以整体——局部——整体的方式　呈现的状态下，学生的感悟才会形成，学习效益才会　更高；学生的能力不是靠按部就班听教师讲解过程和　结论都已经完备的材料，在逐步模仿中累积形成的，　而是在从实际背景中提炼构造数学问题、解决过程和　结论都未必完备的问题，靠独自领悟或合作探索的认　知实践去形成的。　为主要形式的内容呈现方式中，知识构筑于严密的逻　辑网络里，环环相扣，由低级到高级，由简单到复　杂，由局部到整体（没有讲等式之前不能讲方程，没　有讲一元方程之前不能讲二元方程……）；在这种表　达规范下，所有数学概念、定理、法则及题例的表述　都是严谨精练的，不可或缺的（学习解方程和学习怎　样检验方程的解，孤立地看很难说谁更重要・…・・），　它便于严谨准确、系统完备地表述数学内容，成为传　统和现实的数学教材中内容组织的基本范型。这种系　统化（非零散）、阶梯化（非跳跃）、线性化（非间　可见，高效益的学习要求学生对学习内容的认知　方式与教材呈现内容的“线性演绎叙述”方式有很大　的不同。因此，在教学实践中，教师们进行教学设计　时，所做的大量工作是把教材内容处理成更有利于学　生学习的方式。不少成功的做法已被概括，已成为教　师共识。例如，　“创设问题情境”，把教材中要学习　的问题包含在精心创设的情境之中，调动学生的学习　兴趣以克服教材内容呈现“演绎叙述”方式的枯燥；　断）的内容呈现方式在总体下提供了有利于班级授课　制下学生进行有效学习的材料蓝本。　会接纳，学会包容，学会汲取，以有效实现教学的价　值目标。　（五）讲究新颖性　课堂学习评价的新颖性包括内容新颖和形式新　颖。内容新颖主要是评价的着眼点新，内容风趣幽　默，如一位老师在下雨天表扬学生发言声音响亮时　说：　“你的发言足以与窗外的雨声抗衡。”一位老师　在教《赤壁之战》时评价一个同学的发言，说：　“你　的话迎合了曹操的心理，若曹操听了也会欢喜得不得　了。”根据特定的教学环境、教学过程随机引发评价，　是指评价不仅可采用有声语言，如：真诚的话语，鼓　励的言辞，还可以是亲切的体态语言，象翘起大拇　指，与学生握握手，拍拍肩膀，摸摸头，甚至于一个　友好的微笑，一束鼓励的目光等；更可以是形象的图　案语言，如一朵红花．一张卡通贴纸等等。　总之，新颖、生动、形象，别具匠心的评价．能　促使学生的心理常常处于一种“跃跃欲试”的积极状　态，恰到好处地推进教学过程，使教学不知不觉地形　成一个又一个高潮。　（作者单位：广州市中星小学　责任编辑：李柏　宁）　使评价的内容成为教学的有机组成。形式新颖，主要　维普资讯 http://www.cqvip.com 又如，设置认识上的“最近发展区”，把教材内容的　连贯、渐进的局部逻辑呈现方式改造成合理的跳跃、　突进的整体逻辑呈现方式，促使学生独立探索领悟，　形成知识结构；再如，　“展现知识的发生、形成过　程”，把教材中表面上以结论形式出现为主（过程都　是以不出现曲折和艰苦的最简练、最顺利的形式出　现）的内容，改造成过程（以有意识展现思维过程的　矛盾的形式出现）与结论并重的呈现形式，促使学生　在思考中形成能力，发展良好的素质。　二、“非线性结构”的构建与施教策略　数学教材内容呈现的“线性演绎叙述式”是某种　意义的必然，内容的重点或“主干与非重点或“枝　叶”在呈现的篇幅和顺序上的差异往往是不明显的，　而学生的数学认知过程却首先是“非线性”的，归　纳、类比、猜想等非演绎的逻辑方式使思想必须呈跳　跃、反复、循环、扩散态，这些重要的心理元素的活　动都极具个人特征。如果说教材内容所提供的呈现方　式，侧重于促成学生演绎的、条理化、共性的、便于　记忆的整理性思维的发展，那么，教师的教学设计应　侧重于促进学生创造性思维的发展。　仔细分析现有教材，孤立地看，其中的内容都是　重要的，缺少了哪一部分都似乎不妥当；联系起来　看，却有主次干枝之分，削枝强干，淡化形式，把教　材内容进行整体处理，使之以更符合于学生的认知需　要的形式呈现，可能应当成为提高教学效益的基本策　略。为使教学内容形成非线性结构，我们把教学内容　按师生的活动方式进行如下处理。　１．把教材内容分为四类：　（１）工具类的内容（教师讲授为主）；　（２）非工具的重点内容（师生共同研究）；　（３）经验类（学生总结为主）；　（４）非重点内容（学生阅读为主）。　（注：以上分类并不是严格意义上的，况且对于　不同的学生，作为工具和作为重点的标准不同，这样　做的目的是要求教师尽量提炼出教学的重点和主干，　把“讲”的内容尽量压缩。）　例如，对于解二元一次方程组：　等式性质、代数运算，属工具类内容；用代人　法、加减消元解方程，属非工具类的学科重点内容；　先消哪个元，属经验类内容；怎样检验方程组的解，　属非学科重点内容。　２．以教材中的单元为单位，把前两类内容整合为　主干，略去后两类内容，组成以工具知识为主线的结　构，对课本中以阶梯连贯的线性形态呈现的内容削枝　强干，适当地舍去次要的内容，使知识点之间的联系　出现非线性的跳跃或网状发散，使知识呈现形成：整　体（先忽略细节与技巧，较粗糙）——局部——整体　（更精细）的循环上升结构。　３．对经验类和非学科重点类的知识，不讲或尽量　少讲，让学生在活动中形成经验和完善知识结构，教　师只在适当的时候点拨。　在这一意念下，每一单元教学内容的呈现是非线　性的，存在局部逻辑缺环的，但单元的主干结构却是　明显的、知识的层次是由低到高循环的。它能为教师　提供创设教学情境的有利条件，提供展现知识形成过　程的途径，为学生提供有效的“最近发展区”系列，　提供独立建构知识和发展能力的优势载体。　以“整式运算”为例，用传统的目光看，其中　“添括号”的教学是难点，教材和教参都在此给予了　足够的关注，教师们对此也颇感费力；但用本文的观　点看，　“添括号”是一种经验，是乘法分配率这一工　具的运用。对经验类的知识教师甚至可以不讲而让学　生自行总结。笔者曾要求广州市的某些普通中学的教　师进行如下尝试：在“整式加减”的教学中，仅用乘　法分配率做工具去教学生如何“去括号”，删去“添　括号”的内容不讲，练习中也先删去不练，只让学生　熟练“去括号”，至“整式加减”整章学完之后，直　接让学生去完成“添括号”的习题，居然十分顺利：　当问起学生为何“未学自通”时，都｛　“这有何难”，　仅为‘去括号’而已。”可见，教材中“线性”排布　的某些难点内容，完全可以用“非线性”的方式处　理，学生通过对问题的整体把握，能更有效地解决局　部，这对于改变课堂灌注式教学，实现启发式教学，　改变学生对教师亦步亦趋的模仿，提高学习自主性，　有着普遍而深刻的意义。　再以“全等三角形的判定”为例，教材的知识铺　排顺序是，讲了哪一条判定公理之后就只出现一批应　用该公理的相应练习，综合运用的练习出现在四条公　理都单独讲完之后。按这种“线性”的知识铺排去施　教，知识的结构是在相对长时间的局部堆积中形成，　知识问的联系在局部堆积的过程中无法建立，结果通　常是当学生在某一课只学习某一判定公理时，能顺利　地完成对应的习题（因　只需要模仿套用工具而不需　要考虑选择工具），但当分别学完作为工具的四条判　定公理后，面对需要正确选择工具才能完成的综合习　题，学生便觉得困难。笔者同样让教师对这一知识单　元进行改变教材内容“线性结构”的尝试，在同一节　课内用实验的方式学完四条判定公理（现行教材用实　验方式引出这些公理），让学生尽早形成知识结构，　并在下来几节课的例题和练习中分层次地让学生接触　需要选择判定公理才能完成的题目，也就是构建整　体——局部——整体的结构。这样做，知识“主干”　被突出呈现，知识“枝叶”被删节，　“工具”已齐备　维普资讯 http://www.cqvip.com 的学生自觉地打消或不自觉地被取消了对教师的依　赖，要尽早调动个人的潜能去面对任务，去补偿必须　学习的，被有意删节的知识“枝叶”。教师集中讲课　的时间少了，个别辅导的时间多了，学生的局部模仿　少了，整体的联系和自主的探索多了，学生通过从简　单到复杂的多次循环去内化知识，研究性的学习得以　有效开展。于是，课堂呈现出一派学生主动学习的生　动活泼景象，教学效果不言而喻。　最后．以“二元一次方程组”的单元教学设计与　施教实践，去展现数学教学内容“非线性结构”的功　能（由笔者指导广州市天河中学游小蓉老师执教）。　１．内容处理概说　教材（义务教育人教版）内容的铺排及教参的课　时建议如下（共约６课时）：　引言、二元一次方程组的概念、二元一次方程组　的解的概念；习题：给出某数对，判断是否某二元一　次方程组的解（第１课时）。　代入法解二元一次方程组；习题：用代入法解二　元一次方程组（第２、３课时）。　加减法解二元一次方程组（至少有某未知数系数　的绝对值相同的类型）　（第４课时）。　加减法解二元一次方程组（未知数的系数的绝对　值相异的类型）（第５课时）。　复习、综合练习（第６课时）：　为构建非线性的内容呈现结构，对以上内容削枝　强干进行重组。　第１课时用实例介绍了什么是二元一次方程组之　后，就直接学习代入消元法解二元一次方程组（删去　引言不讲，改为学生阅读；删去给出某数对验证是否　某二元一次方程组的解的题目不做，改为在学习完代　入消元法后，介绍解的概念并略提如何检验，事实　上，当学生学会了整个单元的知识后，这一部分知识　在整体把握中自然内化）；　第２课时学习熟练运用代入解二元一次方程组；　第３课时学习用加减消元法解二元一次方程组　（包括至少有一未知数系数的绝对值相同的类型和未　知数系数的绝对值皆相异的类型，但系数限制在取较　简单的整数）；　第４课时学习正确选择合适的方法解二元一次方　程组（未知数的系数不做限制，习题可取课本Ａ组　题的难度），小结二元一次方程组的解法；　第５题时复习本单元内容，学生阅读讨论解法步　骤，查缺补漏，教师个别辅导，课内完成所有习题。　在以上教学设计中，教师尽早地把知识的结构交　给学生，先不在“学习概念和学习检验方程的解”、　“学习解系数复杂的方程组”这些地方纠缠；尽早地　把知识的整体交给学生，不把“用加减法解至少有某　未知数系数的绝对值相同的方程组”和“用加减法解　未知数系数的绝对值皆不相同的方程组”分别在两课　中学习，而是把两种类型方程的系数简单化之后放在　同一节课；尽早地把主干和工具交给学生，建构出主　干突出、循环上升的“非线性结构”。　２．教学实施过程简述　教学实施中，教师在强调了工具——等式性质之　后。对非工具的重点知识——解二元一次方程组，采　用师生共同研究解法的方式，让学生独立悟出“消　元”的意义；对经验类的知识——先消哪个元，则采　用学生练习尝试，教师巡视，个别点拨，学生总结的　做法；对非重点的知识，只要求学生在边学习重点内　容时边阅读，或学习完整个单元的主干内容后再阅　读，教师只对有需要的学生个别辅导。据笔者统计，　教师每节课讲授的时间累计不超过１５分钟，其中的　第３节课累计不超过１０分钟。课内大量的时间是学　生充分的思维活动的技能训练，课本中的所有习题几　乎全在课内完成，教师不用布置课外作业，教学效果　同样显著（把课余时间还给学生应是素质教育的重要　体现），学生在非线性结构所提供的一系列“最近发　展区”中不断获得成功，知识结构得以完善，技能和　能力得以提高，良好的个性心理品质得以育成，课堂　显得朝气蓬勃，取得很好的教学效益。　数学教学内容“非线性结构”的构建与施教，从　哲学的角度看，体现了一种“无为”的观念，教师只　在尽量小的范围和尽量低的程度上给学生以规范和提　示，尽量不去人为地干扰学生应有的自然发展的时　空。这种自然，是人类进行认知的本来面貌，学习不　应再是学生对教师的亦步亦趋，课堂不应再是教师对　书本的忠实演绎，既然学生的一切真知都离不开个性　的张扬、独立的探索和合作研究，那么教师的教学观　为什么不应走向正本清源、返璞归真？　参考文献　①郭思乐：　《繁荣教育科学促进教育创新》《教育　研究》１９９９年第９期。　②钟启泉编译：　《现代教学论发展》教育科学出版社　１９９２年ｌＯ月第２版。　③查有粱著：　《教育建模》广西教育出版社　１９９８年　１１月第１版。　④邵瑞珍主编：　《学与教的心理学》１９９０年１０月第１　版。　（作者单位：广州市教学研究室　责任编辑：李　柏宁）