高一新生分班考试数学试卷含答案

（满分150分，考试时间120分钟）

题号 得分 一 二 三 总分 一、选择题（每题5分，共40分） 1．化简

aa2（）

2A．aB．aC．aD．a

x2x22．分式的值为0，则x的值为（）

|x|1A．1或2B．2 C．1D．2

3．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点。若EF＝2，BC＝5，CD＝3， 则tanC等于（） A．

4334B．C．D． 354500004．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，AC是直径，∠P=40°，则∠BAC=（） A．40B．80C．20D．10

ADA4张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则所取两卡5．在两个袋内，分别装着写有1、2、3、4四个数字的片上数字之积为偶数的概率是（） A．

1573B．C．D． 216164POFC边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为6．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使ABBBECAE，且EF=3，则AB的长为()

(3题图) (6题图) (4题图) A.6B.4 C.5D.3

7．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是能大致反映y与x的函数关系的是()

8.若直角坐标系内两点P、Q满足条件①P、Q都在函数y的图象上②P、称，则称点对（P，Q）是函数y的一个“友好点对”（点对（P，Q）与

AD是A→D→C→y.则下列图象

PQ关于原点对

BC（Q，P）看作

2x24x1，x0同一个“友好点对”）。已知函数y1,则函数y

，x02x有（）个

A．0B.1 C.2D.3

题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 评卷人 的“友好点对”

注意：请将选择题的答案填入表格中。

二、 填空题（每题5分，共50分）

9．已知a、b是一元二次方程x2x10的两个实数根，

2得分 评卷人 则

代

数

式

a的值等于

b2a bab10．有一个六个面分别标上数字1、2、3、4、5、6的正方体，甲、乙、丙三位同学从不同的角度观察的结果如图所示．如果记2的对面的数字为m，3的对面的数字为n，则方程mx1n的解x满足k为整数，则k E

xk1，k6 2 2

11．如图，直角梯形纸片ABCD中，AD//BC，∠A=90o，∠C=30o．折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E

D 1 BF=CF=8，则1 AB的长为 3 A 处，BF是折痕，且2 3 5

F 2212．记函数y在x处的值为f(x)（如函数yx也可记为f(x)x，当x1时的函数

甲 乙 丙

B 10题图 C 值可记为f(1)1）。已知f(x)x题图 ，若abc且abc0，b11，则0|x|f(a)f(b)f(c)的所有可能值为

13．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是

A1C114．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面AB1,BC2，三个侧面都是矩形，AA13

B1M为线段BB1上的一动点，则当AMMC1最小时，BM=

15.如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中C，D，E在AB上，F，N在半圆CA上。若AB=10，则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是

B16.如图，CD为直角ΔABC斜边AB上的高，BC长度为1，DE⊥AC。设ΔADE，ΔCDB，ΔABC的周长分别是p1,p2,p。

14题图当

Mp1p2取最大值时，AB= p017.如图放置的等腰直角ABC薄片（ACB90,AC2）沿x轴滚动，点A的运动 轨迹曲线与x轴有交点，则在两个相邻交点间点A的轨迹曲线与x轴围成图形面积为___

18.如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第11行第7个数为（用具体数字作答）

1234567… 35791113… 812162024… 20283644… 486480…

yAoBC17题图x注意：请将填空题的答案填在下面的横线上。 9.10.__ 11.12. 13._14.___15._ 16._17.18. 三、解答题（共60分）

19.（本小题满分12分）如图，抛物线

517yx2x1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另

44一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0). （1）求直线AB的函数关系式；

（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N。设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；

（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN能否为菱形？请说明理由.

y20.（本小题满分12分）函数f(x)，若自变量x取值范围内存在x0，使f(x0)x0成立，则称以(x0,x0)为

N 坐标的点为函数

题） f(x)图像上的不动点。（f(x)的定义见第．．．．．12．．．B 3xa（1）若函数f(x)有两个关于原点对称的不动点，求a，b应满足的条件； M xbA （2）在（1）的条件下，若a=2，直线l:y(1a)xb1与y轴、x轴分别相交于A、B两点，在yO P C x 2，求P的图象上取一点P（P点的横坐标大于2)，过P作PQ⊥x轴，垂足是Q，若四边形ABQP的面积等于点的坐标

（3）定义在实数集上的函数f(x)，对任意的x有f(x)f(x)恒成立。下述命题“若函数f(x)的图像上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，给予证明；若不正确，举反例说明。

bx21.（本小题满分12分）已知圆O圆心为坐标原点，半径为交y轴正半轴于B点 （1）求BAO

4yy3(x4)交x轴负半轴于A点，，直线l：33P（2）设圆O与x轴的两交点是F1,F2，若从F1发出的光线经l上的点M反射后过点F2，求光线从F1射出经反射到F2经过的路程

AOBQx（3）点P是x轴负半轴上一点，从点P发出的光线经l反射后与圆O相切．若光线从射出经反射到相切经过的路程最短，求点P的坐标

22.（本小题满分12分）

在金融危机中,某钢材公司积压了部分圆钢,经清理知共有2009根.现将它们堆放在一起.

(1)若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多1根),并使剩余的圆钢尽可能地少,则剩余了多少根圆钢?

(2)若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多1根),且不少于七层， （Ⅰ）共有几种不同的方案?

（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？

23.（本小题满分12分）

试求出所有正整数a使得关于x的二次方程ax2(2a1)x4(a3)0至少有一个整数根.

2数学试卷答案

一、选择题（每题5分，共40分）

三、 填空题（每题5分，共50分）

题号 答案 1 B 2 B 3 A 4 C 5 D 6 A 7 B 8 C 9．110．011．612．1或-113．6 14．115．2516．217．4218．12288 三、解答题（共60分）

19．解：（1）易知A(0,1)，B(3,2.5)，可得直线AB的解析式为y=（2）s1x1……………3分 25171MNNPMPt2t1(t1)

442515t2t(0t3)………………6分

44（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有

5155t2t，解得t11，t22 442所以当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形.………………8分 ①当t=1时，MP35522，NP4，故MNNPMP,又在Rt△MPC中，MCMPPC，22295，故MNNPMP,又在Rt△MPC中，MCMP2PC25，22故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形…………10分 ②当t=2时，MP2，NP故MN≠MC，此时四边形BCMN不是菱形.…………12分 20.解：（1）由题得

23xax有两个互为相反数的根x0，x0(x00) xb即x(b3)xa0(xb)有两个互为相反数的根x0，x0……1分

2x0(b3)x0a0根带入得，两式相减得2(b3)x00，b3……3分

2x0(b3)(x0)a0方程变为xa0(x3)a20且a9…………4分

（2）由（1）得a2,b3，所以l:yx2，即A（0,2）B(2,0)……5分 设y33上任意一点P(t,)(t2)，所以Q(t,0)(t2)……6分 xt又因为S四边形AOQP-SAOB2，所以

1315(2)t222t……8分 2t2256P(,)……………………9分

25（3）正确

①在f(x)f(x)令x0得f(0)f(0)所以f(0)0

所以(0,0)为函数的不动点……………………10分 ②设(x0,x0)为函数f(x)图像上的不动点，则f(x0)x0 所以f(x0)f(x0)x0，

所以(x0,x0)也为函数f(x)图像上的不动点……………………12分

21．解：（1）由题|OA|=4，|OB|=

4330，所以tanBAO，所以BAO302分 33/（2）如图（1）由对称性可知，点F1在过点A1关于l的对称点F中，F1AO60，AF1/4,0且倾斜角为600的直线l/上在AF2F1/'0'816 AF1AOF1O，AF233'0所以AF2F1为直角三角形，AF1F290。所以光线从F1射出经反射到F2经过的路程为

F1MMF2F1'MMF2F1'F283…………………………6分 3'（2）如图（2）由对称性可知，点P关于l的对称点P在过点A4,0且倾斜角为600的直线l/上

PMMQP'MMQP'Q，所以路程最短即为l/上点P/到切点Q的切线长最短。

连接OQ,OP，在RtOQP中，只要OP最短， 由几何知识可知，

'''P/应为过原点O且与l/垂直的直线与l/的交点，这一点又与点P关于l对称，∴

APAP'AOcos6002，故点P的坐标为2,0……………12分

y22．解：(1)设纵断面层数为n，则123......n2009 ln(n1)B2009，n2n40180，经带入n62满足不等式，即n63不满足 P'2MQ当n62时，剩余的圆钢最少………………………2分 62(621)56；………………………4分 此时剩余的圆钢为20092xPFOF2A1(2)当纵断面为等腰梯形时，设共堆放n层,第一层圆钢根数为x，则由题意得： 图（2）x(x1)(x2).....(xn1)2009，化简得nx1n(n1)2009， 2即n(2xn1)2200927741，……………………6分

因n1与n的奇偶性不同，所以2xn1与n的奇偶性也不同，且n2xn1，从而由上述等式得：

n7n14n41n49或或或，所以共有4种方案可供选2xn15742xn12872xn1982xn182择。-----------------------------8分

(3)因层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以由（2）可知：

若n41，则x29，说明最上层有29根圆钢，最下层有69根圆钢，两腰之长为400cm，上下底之长为280cm和680cm，从而梯形之高为2003cm，

而200310400，所以符合条件；………………10分

若n49，则x17，说明最上层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，两腰之长为480cm，上下底之长为160cm和640cm，从而梯形之高为2403cm， 显然大于4m，不合条件，舍去；

综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地………………12分 23.解：原方程可化为(x2)a2x12，易知x2，此时a22x12……2分

(x2)2因为a是正整数，即

2x1222(x2)0(x2)2x12 1为正整数。又，则2(x2)即x2x80，解得42x2。

因为x2且x是整数，故x只能取-4，-3，-1，0,1,2，…………………………6分 依次带入a的表达式得x4x3x1x0 a1a6a10a3从而满足题意的正整数a的值有4个，分别为1,3,6,10…………………………12分