2019年9月
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 如果
A.
，那么下列不等式成立的是（ ）
B.
C.
D.
2. m，n，l为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. C.
,,
,则,则
B. D.
,,
,则,则
3. 设Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S1＋3S2－S3＝0，且a1＝1，则a4=( )
A. 9 B. 18 C. 21 D. 27 4. 设α为锐角，若cos
=，则sin
的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′（斜二测画法）是边长为
为（ ） A.
B.
C.
D.
a的正三角形，则原△ABC的面积
6. 如图，P为正方体
（ ）
中与的交点，则在该正方体各个面上的射影可能是
A. B. C. D.
7. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、
秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（单位：cm），则该阳马的外接球的体积为（）
A.
B.
C.
D.
8. 我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上
与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺（注：1丈等于10尺）（ ） A. 29尺 B. 24尺 C. 26尺 D. 30尺
9. △ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积
为，那么b等于（ ）
A. B. C. D.
10. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种
名为“刍甍”的五面体（如图）：面ABCD为矩形，棱EF∥AB．若此几何体中，AB=4，EF=2，△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：
①AF⊥GC；②BD与GC成异面直线且夹角为60°； ③BD∥MN；④BG与平面ABCD所成的角为45°． 其中正确的个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
12. 如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，若M为线段
A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（ ）
A.
是定值
B. 点M在某个球面上运动 C. 存在某个位置,使D. 存在某个位置,使
平面
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
2
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.
13. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8=32，则a2+2a5+a6= ______ ． 14. 已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为15. 设x与y均为正数．且
+
，则此圆锥的体积为______
．
=1，则x+2y的最小值为______．
16. 棱长为的正方体
的面积是_________________．
中，是棱的中点，过作正方体的截面，则截面
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分) 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosA=acosC+ccosA．
（1）求角A的大小；
（2）若a=3，△ABC的周长为8，求△ABC的面积．
18. (本小题满分12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为PA的中点，F为BC的中点，底面ABCD是菱 形，对角线AC，BD交于点O．求证： （1）平面EFO∥平面PCD； （2）平面PAC⊥平面PBD．
．
19.(本小题满分12分)
已知关于x的不等式当当
时，解不等式； 时，解不等式．
．
20.(本题满分12分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点． （1）求证：AE⊥B1C；
（2）求异面直线AE与A1C所成的角的大小； （3）若G为C1C中点，求二面角C-AG-E的正切值．
21.(本小题满分12分)
为数列
的前项和，已知
，
．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）记数列的前项和为，若对于任意的，恒成立，求实数的
取值范围．
22.(本小题满分12分)
在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，AB＝AP＝3，AD＝PB＝2，E 为线段AB上一点，且AE︰EB＝7︰2，点F、G分别为线段PA、PD的中点． （1）求证：PE⊥平面ABCD；
4
（2）若平面EFG将四棱锥P－ABCD分成左右两部分，求这两部分的体积之比．
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