七年级数学下册培优资料

考点·方法·破译

1.同底数幂的乘法：a相加。

2.幂的乘方：(a)anmnmnmanamn，（m,n都是正整数），即同底数幂相乘，底数不变，指数

，（m,n都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘。

3.积的乘方：(ab)ab，（n为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

4.整式的乘法：

（1）单项式的乘法法则：一般地，单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

（2）单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

可用下式表示：m(a+b+c)=ma+mb+mc(a、b、c都表示单项式)

（3）多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

5.乘法公式：

（1）平方差公式:平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差”，即用字母表示为：(a+b)(a－b)=a2－b2；其结构特征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积，并且这两个二项式中有一项是完全相同的，另一项则是互为相反数，右边是乘式中两项的平方差.

（2）完全平方公式：完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和（或差）的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的2倍，加上第二数的平方”，即用字母表示为：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a－b)2=a2－2ab+b2；其结构特征是：左边是“两个数的和或差”的平方，右边是三项，首末两项是平方项，且符号相同，中间项是2ab，且符号由左边的“和”或“差”来确定. 在完全平方公式中，字母a、b都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一个单项式、一个多项式或代数式.如(3x+y－2)2＝(3x+y)2－2×(3x+y)×2+22＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4，或者(3x+y－2)2＝(3x)2+2×3x (y－2)+ (y－2)2＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4.前者是把3x+y看成是完全平方公式中的a，2看成是b；后者是把3x看成是完全平方公式中的a，y－2看成是b.

（3）添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，

nn括到括号里的各项都变号。

乘法公式的几种常见的恒等变形有： (1)．a2+b2＝(a+b)2－2ab＝(a－b)2+2ab.

11abab(2)．ab＝［(a+b)2－（a2+b2）］＝［(a+b)2－(a－b)2］＝.

2422(3)．(a+b)2+(a－b)2＝2a2+2b2. (4)．(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.

利用上述的恒等变形，我们可以迅速地解决有关看似与乘法公式无关的问题，并且还会收到事半功倍的效果.

6.整式的除法：aaamnmn22，（a0，m，n都是正整数，并且mn），即同底数幂相

除，底数不变，指数相减。

（1）a1(a0)，任何不等于0的数的0次幂都等于1.

（2）单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字

母，则连同它的指数作为商的一个因式。

（3）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 7.因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。

8．常用的因式分解方法：

（1）提公因式法：把mambmc，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(abc)是mambmc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法。

i 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

ii 公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数； ②字母：各项都含有的相同字母； ③指数：相同字母的最低次幂。 （2）公式法：

（1）常用公式 平 方 差： ab(ab)(ab)

完全平方： a2abb(ab)

（2）常见的两个二项式幂的变号规律：

①(ab)（3）十字相乘法

2xpxq中，如果能把常数项q分解成两个因式 ⅰ 二次项系数为1的二次三项式

a,b的积，并且ab等于一次项系数中p，那么它就可以分解成

22xpxqxabxabxaxb

2n022222(ba)2n；②(ab)2n1(ba)2n1．（n为正整数）

ⅱ 二次项系数不为1的二次三项式axbxc中，如果能把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积，并且a1c2a2c1等于一次项系数

2b，那么它就可以分解成：

ax2bxca1a2x2a1c2a2c1xc1c2a1xaa2xc2。

（4）分组分解法

ⅰ 定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如abab没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如：

2222(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab1)，abab =

22 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

ⅱ 原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。 ⅲ 有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。

经典·考题·赏析

第一讲 整式的乘除

【例1】例题下列运算正确的是（ ）

A. a5+a5=a10 B. a5 ·a5 = a10 C．a4·a5=a20 D．（a4）5=a9

【思路点拨】选支A是整式的加法运算，合并得2a5；选支B正确；选支C为同底数幂运算应指数相加，而不是相乘，故为a4·a5=a9 ；选支D为幂的乘方运算，应底数不变，指数相乘，为（a4）5=a20． 【解析】本题应选Ｂ．

【规律总结】同底数幂的乘法是学习整式乘法的基础，一定要学好，学习它时注意体会从特殊到一般、从具体到抽象，有层次的进行概括抽象，归纳原理． 【例2】下列运算正确的是（ ） A.(－x)2x3 =x6 C．4x(2x)2x22

B. (x)(x)x D．(2x)8x

2363252

【思路点拨】选支A错在把指数相乘，实际应相加(－x)2∙x3=x2·x3=x5；选支B错在符号不对，

325负的偶次幂为正，负的奇次幂为负，(x)(x)=xx=x；选支C中积的乘方运算

3222222出现漏乘项错误，4x(2x)=4x2x=4x4x0；选支D运算正确．

22【解析】本题应选Ｄ．

【规律总结】幂的乘方与积的乘方，是学习整式乘法的基础．导出幂的乘方的根据是乘方的意义和同底数幂的乘法的性质．同学们要真正理解幂的乘方法的性质，这样才不致混淆性质而运算出错．

【例3】下列运算在正确的是（ ） A. xx2x B. (x)(x)x C. (2xy)4x23358551024x3y3

D. (x3y)(1211x3y)x29y2 24[答案] B

[错因透视]

对整式运算法则理解不深入才会出现错误，

111x5x52x5，(2)38，(x3y)(x3y)(x3y)2

222【例4】计算：（-2x2y）2·(-3xy)

【思路点拨】灵活运用幂的运算性质、乘法交换律等进行运算． 【解析】原式=4x4y2·(-3xy) (据积的乘方)

=[4×(-3)](x4·x)(y2·y) (据乘法交换律、结合律) =-12x5y3(据有理数的乘法、同底数幂的乘法)

【规律总结】因为单项式是数字与字母的积，所以，幂的运算性质，乘法交换律、结合律，可作为单项式乘法的依据．单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用，如：

2a2b·(- 3ab2)·5abc

=[2×(-3)×5]·(a2·a·a)·(b·b2·b)·c=-30a4b4c

【例5】（1）2xy(5xy2+3xy-1) （2）(a2-2bc)·(-2ab)2

【思路点拨】（1）小题单项式为2xy，多项式里含三项为：5xy2、3xy、-1，乘积仍为三项；(2)小题应先算(-3ab)2，再用乘法交换律后的计算方法是相同的． 【解析】（1）原式=2xy·5xy2+2xy·3xy+2xy·(-1)

=10x2y3+6x2y2-2xy （2）原式=(a2-2bc)·4a2b2 =4a2b2·a2+4a2b2·(-2bc)

=4a4b2-8a2b3c

【规律总结】在解答单项式与多项式相乘问题时，易犯如下错误：①出现漏乘，而导致缺项；②出现符号错误；③运算顺序出错，造成计算有错．

【例6】计算：(1)(3x-2y)(2a+3b) (2)(x-y)(x2+xy+y2)

【思路点拨】第（1）题，先用x分别与2a、3b相乘，再用-2y分别与2a、3b相乘，然后把所得的积相加；第（2）题，可先用二项式（x-y）中的x分别与三项式中的各项相乘，再用-y分别与三项式中的各项相乘，然后把所得的积相加． 【解析】(1)原式=3x·2a+3x·3b+(-2y)·2a+(-2y)·3b

=6ax+9bx-4ay-6by

(2)原式=x·x2+x·xy+x·y2+(-y)· x2+(-y)·xy+(-y)·y2 =x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3 =x3-y3

【规律总结】（1）利用多项式乘法法则时，既不要漏乘，又要注意确定各项的符号．

（2）乘积中有同类项，要合并同类项． 【例7】计算(1)(3x2+2y2)(-3x2+2y3)

【思路点拨】仔细观察题目特点，凡两因式中相同项当作公式中的a，另一项(必须是互为相反数)当作公式中的b方可应用平方差公式，而有的，必须经过变形才能运用平方差公式． 【解析】原式=(2y3)2-(3x2)2

=4y6-9x4

【规律总结】公式中的字母可表示具体的数，也可表示单项式或多项式，只要符合平方差公式的结构特征，就可运用．

【例8】化简： (1)(2a+3b)2 (2)(-x+2y)2 (3)(-m-2n)2

【思路点拨】此题可利用完全平方公式计算，第（1）题是两数和的平方，应选用“和”的完全平方公式，其中2a是公式中的a，3b是公式中的b；第(2)题(-x+2y)2=(2y-x)2=(x-2y)2所以应选用“差”的完全平方公式简捷；第(3)题(-m-2n)2=[-(m+2n)]2=(m+2n)2应选用“和”的完全平方公式简捷．

【解析】(1)(2a+3b)2=(2a)2+2．2a．3b+(3b)2

=4a2+12ab+9b2

(2)(-x+2y)2=(2y-x)2=(2y)2-2·2y·x+x2 =4y2-4xy+x2

(3)(-m-2n)2=[-(m+2n)]2=(m+2n)2=m2+4mn+4n2

【规律总结】（1）这三题其实都可以用“和”的完全平方公式（或“差”的完全平方公式）计算，只不过根据题目特点灵活采用变形可简化计算过程，其中(-x+2y) 2转化为(2y-x)2或(x-2y)2是一个常用技巧．

（2）完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2，展开式可记成“首(a)平方、尾(b)平方，首(a)尾(b)乘积的2倍加减在中央”．

【例9】计算：(1)y10÷y3÷y4 (2)(-ab)5÷(-ab)3

【思路点拨】先观察题目，确定运算顺序及可运用的公式，再进行计算．题目（2）中被除数与除数的底数相同，故可先进行同底数幂的除法，再运用积的乘方的公式将计算进行到最后．

【解析】(1)y10÷y3÷y4=y10-3-4=y3

(2)(-ab)5÷(-ab)3=(-ab)2=a2b2

【规律总结】像（2）这种题目，一定要计算到最后一步．

【例10】计算：(1)xn+2÷xn-2 (2) (x4)3·x4÷x16 （3）用小数或分数表示：5.2×10-3 【思路点拨】（1）在运用“同底数幂的除法”公式时，指数若是多项式，指数相减一定要打括号．(2)中先乘方运算再做乘除法；（3）先将负指数的幂化为小数，再进行乘法运算，得到最后结果．

【解析】(1)xn+2÷xn-2=x(n+2)-(n-2)=x4

(2) (x4)3·x4÷x16 =x12·x4÷x16=x12+4-16 =x0=1

(3)5.2×10-3=5.2×

1=5.2×0.001=0.0052 310【规律总结】这里要特别注意“am÷an=am-n (a≠0， m， n均为正整数，并且m>n)”括号内的条件．

【例11】计算：(1)(a2n+2b3c)÷(2anb2)；(2)(3xy2)2·(2xy)÷(6x3y3)

【思路点拨】（1）中被除式的系数是1，可按照单项式相除法则计算;（2） 是混合运算，先弄清运算顺序，再根据相应的法则进行计算．本题先进行乘方，再自左至右进行乘除法． 【解析】解：(1)(a2n+2b3c)÷(2anb2)

=(1÷2)·(a2n+2÷an)·(b3÷b2)·c =

1n+2abc 2(2)(3xy2)2·(2xy)÷(6x3y3)

=(9x2y4)·(2xy)÷(6x3y3) =(18x3y5)÷(6x3y3) =3y2

【规律总结】单项式相除，首先分清两工的系数、相同字母、被除式独有的字母，再进行运算，结合演算重述法则，使法则熟悉，并会用它们熟练进行计算． 【例12】计算：(1)(6x3y4z-4x2y3z+2xy3)÷(2xy3)；(2)［(x+y)2-(x-y)2］÷(xy)

【思路点拨】对于混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的． 【解析】(1)(6x3y4z-4x2y3z+2xy3)÷(2xy3)

=(6x3y4z)÷(2xy3)-(4x2y3z)÷(2xy3)+(2xy3)÷(2xy3) =3x2yz-2xz+1 这一项易漏！ (2)［(x+y)2-(x-y)2］÷(xy) =［x2+2xy+y2-(x2-2xy+y2)］÷(xy) =［4xy］÷（xy） =4

【规律总结】把多项式除以单项式“转化”为单项式除以单项式，在这个转化过程中，要注意符号问题．

第二讲：因式分解

【例1】将下列各式分解因式： （1）2a6a36a_______； （2）a1_______； （3）abab_______； （4）4ab2b1_______。 [答案]

（1）2a(a6)(a3)

2222433（2）(a1)(a1)(a1) （3）(ab)(ab1) （4）(2ab1)(2ab1)

[错因透视]

因式分解是中考中的热点内容，有关因式分解的问题应防止出现一下常见错误：①公因式没

33有全部提出，如2a6a36aa(2a6a36)a(a6)(2a6)；②因式分解不彻

2222底，如a1(a1)(a1)；③丢项，如abab(ab)(ab)；④分组不合

2242222理，导致分解错误，如4ab2b1(4a1)(b2b)(2a1)(2a1)b(b2)，

无法再分解下去。 【例2】连一连：

a2－1 (a＋1)(a－1) a2＋6a＋9 a2－4a＋4 9a2－1 a2－ab

(3a＋1)(3a－1)

a(a－b)

(a＋3)2 (a－2)2

【思路点拨】由于因式分解是整式乘法的逆运算，我们可以先运用整式乘法法则计算出第二列中各整式相乘的结果，看跟第一列中的哪个多项式相等，然后用线连接起来.

【解析】(a＋1)(a－1)＝a2－1，(3a＋1)(3a－1)＝9a2－1，a(a－b)＝a2－ab，(a＋3)2＝a2＋6a＋9，(a－2)2＝a2－4a＋4.

【规律总结】整式乘法与因式分解是互逆的恒等变形，根据题目的需要，有时多项式要通过因式分解才能转化为几个整式积的形式，有时几个多项式的积要通过整式乘法化成多项式的形式.

2【例3】分解因式：（1）5x－5y＋5z （2）3a9ab （3）2a(xy)4b(yx)

2【思路点拨】观察上面的各个多项式，我们可以发现每个多项式的各项都含有公因式，我们可以运用提公因式的方法来做这道题目. 第（3）小题分解因式的关键是寻找公因式，本题的公因式可以看作2a(xy)，也可以看作2a(yx) 【解析】（1）原式＝5（x－y＋z） （2）原式＝3a(a3b)

（3）方法一：原式＝2a(xy)4b(xy)＝2a(xy)[a(xy)2b] =2a(xy)(axay2b)

方法二：原式＝2a(yx)4b(yx)＝2a(yx)[a(yx)2b]

＝2a(yx)(ayax2b)

【规律总结】运用提公因式分解因式时，找对公因式是关键，提公因式后的各项中不能再含有其它公因式.有些表面没有公因式的多项式，利用其互为相反数的条件，转化为含有公因式的式子来完成因式分解．其一般原则：（1）首项一般不化成含负号的形式；（2）对同时含有奇次项和偶次项的多项式，一般将偶次项的底数化成它的相反数的形式，这样可使各项符号不变．

【例4】把下列各式因式分解：

22 （1）4m25n （2）169(ab)121(ab)

2222【思路点拨】此题中两项都可以表示成平方的形式，多项式是二项式且前面的符号相反，应考虑用平方差公式来分解 【解析】（1）4m25n

22[2m)(5n)] =（22（2m5n)(2m5n) =（2）169(ab)121(ab)

22（ab)][11(ab)] =[1322（ab)11(ab)][13（ab)11(ab)] =[13 =（24a + 2b）(2a + 24b)

=4(12a + b)(a + 12b)

【规律总结】第（2）小题中的（24a + 2b）(2a + 24b)，将括号内提取公因式“2”后，应把两个2相乘，而不要当成提公因式，误写成2(12a + b)(a + 12b)． 【例5】把下列各式分解因式：

22（2mn)8n(2mn)n （1）4a12ab9b （2）1622【思路点拨】此题中多项式的各项没有公因式且都是三项式，应考虑用完全平方公式．

【解析】（1）4a12ab9b

22（2a）22a3b（3b） =

（2a3b） =

（2mn)8n(2mn)n （2）1642mn)]2n4(2mn)n = [（42mn)]n] = [（= （8m + 3n）2

【规律总结】第（2）小题中的2m＋n应看作一个整体，而不要利用整式乘法进行计算，否则分解比较困难，多项式各项没有公因式且是三项式，应考虑用完全平方公式． 【例6】因式分解：（1）(x4y)16xy （2）(a1)4(a1)4 【思路点拨】只要（1）把x4y和4xy，（2）(a1)把看作整体就不难套用平方差公式和完全平方公式来分解这个多项式的第一步，但本题中的两小题都能继续因式分解，因此要特别注意分解要彻底．

【解析】（1）(x4y)16xy =(x4y)(4xy) =(x4y)(4xy)

=(x4y4xy)(x4y4xy) =(x2y)(x2y) （2）(a1)4(a1)4 =(a12) =(a1) ==(a1)(a1)

【规律总结】因式分解是否分解结束的标志是看分解后的各因式时候还含有可继续因式分解的多项式。

22222222222222222222222222222222222222222222222 演练巩固·反馈提高 1.计算(ab)336(ab)2的最终结果为( ).

443443A．ab B．ab C．ab D．ab 2.已知(x2)1，则( ).

A．x3 B．x1 C．x为任意数 D．x≠2 3.若35，34，则3A．

mn2mn0等于( ).

25 B．6 C．21 D．20 44．计算ab3632ab的结果是 ( ).

32A.2ab B.

341211ab C.a3b D.a3 22223225.(72xy36xy9xy)(9xy)等于 ( ).

A．8xy4xy1 B．8xy4xy1C．8xy4xy1 D．8xy4xy 6．下列算式中，正确的是（ ） Ａ．aa322222222221a2 a62

Ｂ．2a3aa Ｄ．a623

Ｃ．(ab)ab

32a6

7．下列各式中计算结果等于2x的是（ ） A．xx

33B．(2x)

32C．2xx

32D．2xx

78．下列运算正确的是（ ） Ａ．3x2x1 Ｂ．2x21236 Ｃ．(a)·aa 22xＤ．(a)a

2369．下列计算正确的是（ ） Ａ．aaa

2Ｂ．(2a)6a

33Ｃ．(a1)a1

22Ｄ．aaa

3210．下列运算正确的是（ ） A．2a3b5ab 11．当a623325B．aaa C．(ab)ab D．a·aa

222332时，代数式28a28a7a7a的值是 ( ). 4A.6.25 B.0.25 C.－2.25 D.－4

12.下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A．n(xy)nxny B．x3x4x(x3)4 C．7ab(2ac)14abc D．a2a1(a1)

3213.观察下列各式：①abxadx；②2xy6xy；③8m4m2m1；④23a3a2babb222223222；⑤

(pq)x5y(x；p)6q⑥(p)a2(x)y(x.其中可以用提公因式法分解因式的有（)y4b(y)x ）

A．①②⑤ B．②④⑤ C．②④⑥ D．①②⑤⑥

14.多项式6mn3mn12mn分解因式时应提取的公因式为（ ） A．3mn B．3mn C．3mn D．3mn 15.下列因式分解中，正确的有

①4a－a3b2＝a（4－a2b2）；②x2y－2xy＋xy＝xy（x－2）；③－a＋ab－ac＝－a（a－b－c）；④9abc－6a2b＝3abc（3－2a）；⑤A.0个

33222322222222xy＋xy2＝xy（x＋y） 333

C.2个

D.5个

B.1个

16.若(xy)xy(xy)(xy)A，则A为（ ）

A．xy B．xxyy C．x3xyy D．xxyy 17.把多项式an322222222n3an2（n为大于2的正整数）分解因式为（ ）

2n1 A．a(aa) B．a(a22an4) C．an2(an11) D．an2(a51)

18.把多项式pa1p1a分解因式的结果是（ ）

A．a1pp B．a1pp C．pa1p1 D．pa1p1

2219．已知ab2，则ab4b的值是（ ） Ａ．2

Ｂ．3

Ｃ．4

Ｄ．6

2220．已知x+y = –5，xy = 6，则x2y2的值是（ ） A． 1

32B． 13 C． 17 D． 25

21．计算：(10) ．

22．计算[(x)] ． 23．计算：(3xy)332212xy . 324．分解因式：xy4xy ．

25．一个长方形的面积是(x9)平方米，其长为(x3)米，用含有x的整式表示它的宽为________米．

26．要使16x＋1成为完全平方式，应加上的式子是___________________；

27．一个正方形的边长增加了2cm，面积相应增加了32cm2，则这个正方形的边长为_______． 28．计算：x1x1x1______________；

22229．已知：ab3，ab＝2，则ab_______． 30．3x5x6y 31．2a23ab25ab31 32．xxx11

2233. 已知实数a、b满足(ab)1，(ab)25，则代数式abab的值

2222为 ．

34.在实数范围内分解因式：4m28m4 ． 35． 计算：a2b36．若xmn02a4________．

xnx3，则m_________；

37．若ab无意义，则a,b的关系是___________________；

238．已知x40，求代数式x(x1)x(xx)x7的值．

22

39．已知ab2a4b50，求2a4b3的值。 40．解方程：3x12x1x15x224

2222241．⑴计算下列各组算式，并观察它们的共同特点：

79_____1012______,8082_____,， 88_____1111______;8181_____.⑵从以上的过程中，你发现了什么规律？请用字母表示这一规律． 42. 计算：(1)y10÷y3÷y4 (2)(-ab)5÷(-ab)3

43． 计算：(1)xn+2÷xn-2 (2) (x4)3·x4÷x16 （3）用小数或分数表示：5.2×10-3 44．计算：(1)(a2n+2b3c)÷(2anb2)；(2)(3xy2)2·(2xy)÷(6x3y3)

45． 计算：(1)(6x3y4z-4x2y3z+2xy3)÷(2xy3)；(2)［(x+y)2-(x-y)2］÷(xy)

3346．（1）(2a)（2）(5b)（3）(xy)（4）(2x)

223447．李华老师给学生出了一道题：当x2009，y2008时，求的值．题目出完后，小明说：“老师给的条件，y2008是多余的．”王辉说：“不给这个条件，就不能求出结果，所以不是多余的．”你认为他们谁说得有道理？为什么？ 48．给出三个多项式：x2x1,并把结果因式分解．

49.下面的图（1）是由边长为a的正方形剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形．把图（1）剪开后，再拼成一个四边形，可以用来验证公式ab(ab)(ab)．

(1)请你通过对图（1）的剪拼，画出三种不同拼法的示意图．要求： ①拼成的图形是四边形；

②在图（1）上画剪切线（用虚线表示）； ③在拼出的图形上标出已知的边长．

(2)选择其中一种拼法写出验证上述公式的过程．

a2212121x3x1,x2x,请你选择其中两个进行加法运算，22abb

50. 已知△ABC三边长分别为a.b.c，且a.b.c满足等式3(a2+b2+c2）=（a+b+c）2，试判断△ABC的形状．

参考答案

1．B 2．D 3．A 4．C 5．A 6．C 7．D 8．D 9．Ｄ 10．Ｄ 11．选B，提示：28a28a7a7a4a4a1

12.D（点拨：判断是不是因式分解必须满足两点，一是等式左边是多项式，二是等式的整式积的形式）

13.D（点拨：看能否使用提公因式法因式分解的关键是多项式中各项是否有公因式的存在） 14.B（点拨：公因式的系数取各系数的最大公约数，相同字母取最低指数幂，保证提取后的多项式第一项符号为正）

15.B（点拨：①正确；②提取公因式后漏项了；③最后一项提取公因式后应该＋c；④公因式应该是3ab；⑤⑥）

16.D（点拨：可用(xy)xy(xy)除以(xy)） 17.D（点拨：公因式是相同字母的最低次幂，然后用an33322an2除以公因式即可）

18.C（点拨：本题的公因式为pa1，提公因式一定要提尽）

393时，原式＝4×－4×＋1＝－3＋1＝0.25

44419．Ｃ 20． B 21．10 22．x 23．xy

24．xy(y2)(y2) 25．x3

3326626．－1或±8x或－16x或64x；

227．设正方形的边长为acm，则a2a＝32，则4a＋4＝32，所以a＝7，即这个正

224方形的边长为7cm．

28．x1x1x1x1x1x1x1x1x1；

2222422229．abab2ab3－2×3＝3．

2323323230．15x18xy 31．6ab10ab2a 32．xxx

233.将所给的两个等式拆开后运用等式的性质相加可得

(ab)2(ab)212526，所以a2b213；

再将两个等式相减可得，

(ab)2(ab)212524，所以ab6．

故abab＝13＋（－6）＝7．

34. 4m28m48(m22m1)＝8[(m2m1)2]

22＝8[(m1)(2)]＝8(m12)(m12)

22235．a2b2a4a4b2a4b2；

xnx3，∴xmnnx3，则m3．

36．因为xmn37．ab；

38．解：x(x1)x(xx)x7

22x32x2xx3x2x7 x27．

当x4时，原式3．

2239．因为ab2a4b50，(a2a1)(b4b4)0，

222即(a1)(b2)0，

22a10且b20，a1且b2，

原式2(1)24237．

22240．3x12x1x15x224，∴9x＋6x＋1－（4x－4x＋1）＝5x22－3x－2－24，∴5x＋10x＝5x－3x－26，∴13x＝－26，∴x＝－2． 41．⑴63，64；120，121；6560，6561；⑵n1n1n1；

22242. (1) y10÷y3÷y4=y10-3-4=y3

(2) (-ab)5÷(-ab)3=(-ab)2=a2b2

43. (1) xn+2÷xn-2=x(n+2)-(n-2)=x4

(2) (x4)3·x4÷x16 =x12·x4÷x16=x12+4-16 =x0=1 (3) 5.2×10-3=5.2×

1=5.2×0.001=0.0052 31044. 解：(1)(a2n+2b3c)÷(2anb2)

=(1÷2)·(a2n+2÷an)·(b3÷b2)·c =

1n+2abc 2(2) (3xy2)2·(2xy)÷(6x3y3) =(9x2y4)·(2xy)÷(6x3y3) =(18x3y5)÷(6x3y3) =3y2

45. (1) (6x3y4z-4x2y3z+2xy3)÷(2xy3)

=(6x3y4z)÷(2xy3)-(4x2y3z)÷(2xy3)+(2xy3)÷(2xy3) =3x2yz-2xz+1 这一项易漏！ (2)［(x+y)2-(x-y)2］÷(xy) =［x2+2xy+y2-(x2-2xy+y2)］÷(xy) =［4xy］÷（xy） =4

46. （1）(2a)2a8a.

（2）(5b)(5)b125b. （3）(xy)x(y)xy. （4）(2x)(2)(x)16x. 47. 2x(x2yxy2)xy(2xyx2)(x2y)

34434122222224333333332x3y2x2y22x2y2x3y(x2y) (x3y)(xy)

x显然，因为化简最后的结果不含有y，所以最后的结果与y的值无关，所以y=2008是多余的，从而小明说得有道理．

48. (xx1)(x3x1)＝x4x＝x(x4)

121222211(x2x1)(x2x)＝x21＝(x1)(x1) 2211(x23x1)(x2x)＝x22x1＝(x1)2 2249． 如图可以拼成一个两边长分别为（a＋b）和（a－b）的矩形.

aabbba-b22

原来图形的面积ab，拼成的四边形的面积为（a＋b）（a－b），根据剪拼前后的图形的面积相等，可知ab＝（a＋b）（a－b）.

50 解：因3（a2+b2+c2）=（a+b+c）2展开后可变为：2（a2+b2+c2）=2（ab+bc+ac）， 即2（a2+b2+c2）－2（ab+bc+ac）=0，所以该式进一步可变为：

（a－b）2+（b－c）2+（a－c）2=0，由此可得：a=b=c，所以该三角形为等边三角形．

22培优升级·奥赛检测

例1. 计算下列各题。

（1）2 ab3aba·5b2ab·ab （2）

n3n2n133393nn1n121n221n3232033 （3）若

3n

322332，求A3x2x1，B4x2xx，C4x3xxABC的值。

221nn121n366 b·5ab·8ab·a3802n106 ab

3 解：（1）原式a33n3 （2）原式3

332n2n （3）原式 3x2x14x2xx4x3xx

2 7x5322332 例2. 若x、y均不等于0或1，且

123n22n3915，求3的值。 mmn5nxymxy23 解：∵x、y均不等于0或1，且

xn2y2mnx9x15，所以可得

3n29，解得n 1，m232mn15 将n代入，得： 1，m2

213213 3mmnn5321251822x1bx1c 例3. 若能将3表示成a的形式，求证：c ab1x4x7221t，则xt1 证明：令x

代入3得： x4x723x24x73t14t172

3t210t143x110x1142

a3，b10，c14 则c ab143101  cab1

例4. 设

357246357240，试比较M与N的大小。 M，N456321456312Mxx6，则N，且y 90，y0yy9 解：令

所以

y9yx6323yxxx6xMN

yy9yy9yy9x357246，y456321 3x2y

2y3x0 ，即M＜N MN0 注：上述例3、例4所使用的方法是换元法，即用新的变元替代某个式子，从而使问题转化（化难为易，化繁为简），这种换元的方法在代数式变形中是十分有效的。

xyz222，求9的值。 ，且xyyzzx93x12y2z325xyz 解：设k，则x 3ky，2kz，5k325 例5. 若

由x得：6 yyzzx93k10k15k93 k22223

2222222 所以9 x12y2z99k124k225k179k537

例6. 若a、b、c为非零数，且

abcabcbca。 cba 求：

abbccaabc的值。

解：设

abcabcbcak cbaabckc 那么abckbbcaka

12 3得：a bckabc123 则

abc1k0

若abc时，a bc，bca，cab0 那么

abbccacab 1abcabc 若a，则 bc0

k1，ab2c，bc2a，ca2babbcca2a·2b·2c 那么 8abcabcabbcca的值为

abc 综上所述，

1或8

注：从上述例5、例6可以看到，对于已知条件是一个连等式或连比式时，不妨设连等式或连比式的值为k或其他形式，然后利用等式证明的相应技巧进行适当变形。

例7. 已知：多项式a，当x3时，它的值为81，则当x时，它的值3xbxcx9为多少？

解：当x3时，

a xbxcx93a3b3c981 当x时， 3

53axbxcx93a3b3c9 53535353

35a33b3c91863

131ab3，cb 解：3b3，cb，求代数式3ac 例8. 设a22ca5的值。 

8ac328823ac2ca53251133

注：例7、例8中可以看到，将整个代数式看作一个变量进行代换，把它作为整体变形的一部分，进而使问题合理而迅速地得到解决。

例9. 求满足

nn12n2条件的所有整数n的和。 1 解：据整数指数幂的运算和整式的运算，得满足 （1）当n且n时， n1020

nn1nn112n22022nn1n2的条件的情况有： 1 此时n 2 （2）当n时，n11222n2 nn111n2 此时n，解得：n11 或n n21 n2n10 （3）当n且n是偶数时， 2n11

22 nn111n2n2 此时，n2得n n1n00 或n（n时，n不是偶数，故应舍去），取n0 n0112 ∴满足

nn12n2条件的所有整数n为 2，2，1，01 即所有整数n的和为1

例10. 如果mm都是质数，请你写出所有符合条件的m。 ，8，m10811，m10133 解：（1）设m时，m都是质数

33P13P2 （2）当m时，设m或m，P是正整数

83P183P3 当m时，m是合数 3P1m3P1 

103P21034P 当m时，m是合数 3P2m3P2 

 所以符合条件的质数只有m 3

［小结］

1. 复习巩固整式运算一章的概念、法则、公式。 2. 进一步提高对换元思想方法的理解和掌握。

3. 通过本节拓展进一步提高分析问题和解决问题的能力。

【模拟试题】（答题时间：15分钟）

1. 设a、b、c的平均数为M，a、b的平均数为N，N、C的平均数为P，若a，则P_______Mbc（填数量关系符号）。

2. 已知关于x的一次式在x和x时，它的值分别是3和11，求当x11一次式的值。

1时，这个2232a3b22 4. 设a，若4，则的值为多少？ a9b37abb02a3b 3. 已知a，求b的值。 abb，aab2b222234 5. 若sxyz，其中x、y是相邻的整数，且zxy，求证：S是奇数。

2222【试题答案】

1. ＜

11时，它的值为 221 3. b

67 4.

5 2. 当x 5. 解：不妨假设xy，故yx，则s12x2x1

213 又x x1x02422 所以sxx11

xx1为偶数 11 那么xx为奇数

即S为奇数



第11讲 幂的运算

考点·方法·破译

幂的运算性质（其中m、n、p都为正整数）： 1．amanamn 2．(a)anmnmn

3．(ab)ab 4．amanamn 5．a01(a0)，apnn1(a0) pa经典·考题·赏析

【例1】下列算式，正确的个数是（ ） ①a3a4a12 A．0个

②a5a5a10 ③(a)a B．1个

C．2个

D．3个

336④(2a)6a

236【解法指导】①同底数幂相乘，底数不变，指数相加，结果应为a7；②合并同类项，结果为2a5；③幂的乘方，底数不变，指数相乘，即过位a9；④积的乘方，等于积的每一个因式分别乘方，结果为8a6，故选A.

【变式题组】 01.计算(c)(cA．c4n2 02．计算(2)n1002nn12)的结果是(

)

D．c3n4

B．c4n4 C．c2n2

(2)101＝_______________

391503．如果(abb)ab，则m＝_________，n＝____________ 04．计算(xy)(x)(y)＝_______________

【例２】若22n+1m23nn234n48，求n的值.

【解法指导】将等式的左右两边变形为同底数幂的形式. 解：∵22n+14n48，∴22n+122n48，222n22n322n，322n324，

∴2n4,n2 【变式题组】

01．若2m4，2n16，求22mn的值

02．若x3n5，求代数式(2x)4(x)

03．若xm3，xn6，则x3m2n＝________.

04．已知a3m3，b3n2，求(a

05．已知22m322m1192，求m的值

【例３】（希望杯）a255，b344，c533，d622，那么a、b、c、d的大小关系为（ ） A．a>b>c>d

B．a>b>d>c

mn2m32n332n的值

)(bn)3a2mbna4mb2n的值

C．b>a>c>d D．a>d>b>c

【解法指导】逆用幂的乘方公式a解

：

∵

(am)n，将a、b、c、d变为指数相同的幂的形式.

52a255()1b23，344(34)118111，

c533(53)1112511，

d622(62)113611，∴a>d>b>c.故选D.

【变式题组】

01．已知a8131，b2741，c961，则a、b、c的大小关系是（

A．a>b>c

50）

B．a>c>b

4030 C．ac>a

）

02．已知a3，b4，c5，则a、b、c的大小关系为（

A．aB．c200 C．c【例4】求满足(x1)3300的x的最小正整数

【解法指导】将左右两边变成指数相同的幂的形式 解：∵(x1)2003300

∴[(x1)]2100(33)100

∴(x1)27 ∴x12∵x为正整数

27 x271

∴x的最小正整数为7

【变式题组】

01．求满足n200＜5300的最大整数值n.

02．如果x、y是正整数，且2x2y32，求满足条件的整数x、y

03．求满足(nn1)

2n21的整数n.

演练巩固 反馈提高

01．（无锡）下列运算正确的是（

6）

23A．x3x412 B．(6x)(2x)3x C．2a3aa

D．(2x)6x

）

2236

02．（泰州）下列各式计算正确的是（

A．a22a33a5

2352x3x56x6 B．(2b)6b C．(3xy)(xy)3xy D．

03．当n为正整数时，(x)A．x4n222n1等于（

）

D．x4n2 B．x4n1

24C．x4n1 ）

04．计算(a)aa的结果为（

A． 2a

932

B．2a

6

68C．aa D．a

1205．下列命题中，正确的个数是（

m）

m（１）m为正奇数时，一定有等式(4)4 （２）等式(2)2，无论m为何值时都不成立

mm(a)a，（[（a))]a都不成立； （３）三个等式：(a)a，（４）两个等式：(2xy)2xA．1个 B．2个

06．下列各题中，计算正确的是（

A．(m)(n)mn

222239832236634mm3m236326236y4m，(2x3y4)n2nx3ny4n都不一定成立.

）

32 C．3个

2331818 D．4个

B．[(m)(n)]mn

232399C．(mn)(mn)mn D．(mn)(mn)mn 07．已知|x2||2x3y8|0，则xyyx＝_______________ 08．x3xax2a1x25，则关于y的方程ay＝a＋14的解是________________ 09．在(2)5，(3)5，()5，()5中，最大的数是_________________

10．一块长方形草坪的长是am1米，宽是am3米（m、n均为大于1的正整数），则该长方形草坪的面积是______________米. 11．计算

2y2x212132134113⑵(1)2001(1)2002()2003＝____________________

345⑴()2001(2)1000＝_______________ 12．计算 ⑴yy

⑵(x)x(x)2x(x)(x)x

4344n12yny2

⑶(x)(x)x(x)x(x)(x)(x)

⑷(xy)7(x)(x)(y)

13．若(3a2b)|2a3b5|0，化简：(ax2y)3(bxy2)a(x2y2za)3

14．已知n是正整数，x2n16，求(

15．已知a、b、c为自然数，且2a27b37c1998，求(abc)

2010223222342242233221a13n2122nx)(x)的值 1616的值

培优升级 奥赛检测

01．（江苏竞赛）若x2（ ）

A．x＝4y

n12n，y2n12n2，其中n为整数，则x与y的数量关系为

C．x＝12y

D．y＝12x

B．y＝4x

）

2n42(2n)02．化简得（

2(2n3)A．2n11 8B．2n1

C．

7 8 D．

7 44m222m303．化简＝__________________ m1404．21558的位数为_____________________

05．3200172002132003所得积的末位数字是____________________ 06．若3x4，3y6，求92xy27xy的值 07．是否存在整数a、b、c满足()a(存在，说明理由.

08．如果整数x、y、z满足(

09．已知3n11m能被10整除，求证：3n411m2也能被10整除

543210．设a、b、c、d都是非零自然数，且ab，cd，ca19，求db的值

9810b16c)()2？若存在，求出a、b、c的值；若不91510x9y8z1xy，求(xyz)的值 )()()271615256

11．（江苏竞赛）已知k、x、y、z是整数，且k>x>y>z，若k、x、y、z满足方程

kxz16(222y2)330，求k的值

第12讲 整式的乘除

考点·方法·破译(缺奥赛部分)

1．整式的乘法包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式等. 2．整式的除法包括单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式等. 3．乘法公式：⑴ababa2b2.

2 ⑵aba22abb2

2 ⑶abca2b2c22ab2ac2bc

⑷aba2abb2a3b3

3 ⑸aba33a2b3ab2b3

经典·考题·赏析

【例１】 计算：

2⑴a2b3ca2b3c ⑵x22x1x3

⑶2x124x2112x2

【解法指导】⑴两个项数相同的多项式相乘，若两个多项式中只存在相同的项与相反的项，则将相同的项结合，相反数的项结合，然后利用平方差公式计算；⑵多项式的积作为减数时一定要将积添上括号，作为一个整体；⑶观察式子的特点，将能够利用公式的项先整合.

解：⑴a2b3ca2b3c

2＝a3c2ba3c2ba3c4b2a26ac9c24b2 2 ⑵x22x1x3＝x24x42x22x3

2 ＝x24x42x24x6x28x10

⑶2x124x2112x2＝2x12x14x21＝4x214x21 ＝16x41256x832x41 【变式题组】

01．计算：⑴x3yx3yx29y2 ⑵2bc2bc

22 ⑶2a3bc2a3bc ⑷3m15m2m22m1

222202．规定一种运算“＊”：对于任意实数对（x,y）恒有（x,y）＊(x,y)＝(x＋y＋1),x－y－

2

1).若实数a,b满足（a,b）＊(a,b)＝(b,a),则a＝__________,b＝_________ 【例２】在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的正方形（ a＞b）（如图甲），把余下部分拼成一个矩形（（如图乙），根据两个图a a b 形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）

2A.aba22abb2

a

b b b 甲

乙

2B.aba22abb2

C.a2b2abab D.a2baba2ab2b2

【解法指导】图甲中阴影部分面积为a2b2，图乙中阴影部分面积为abab.故选C.

【变式题组】

01．如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b）.把剩下的部分拼

成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，验证求法公式 .

b b b

a a a

第1题图 02．完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数式也可以用这种

形式表示，例如2abab2a23abb2就可以用图1的形式表示. ⑴请写出图2所表示的代数恒等式 ；

⑵请画出一个几何图形，使它的面积能表示成：aba3ba24ab3b2

b b a

a a b a

a

a b a b b

b b

a a 图1

图2

第2题图03．利用图形面积可以解释代数恒等式的正弦

a b 确性，也可以解释不等式的正确性.

⑴根据下列图形写出一个代数恒等式；

a ⑵已知正数a、b、c和m、n、l满足ambnclk，试构造边长为k的正方形，利用图形面积证明albmcn＜k2.

b a b b a 【例３】已知

ab27,ab23,求ab及a2b2的值.

22【解法指导】形如ab,ab,ab,a2b2的式子均为完全平方公式这一家族的成

员，应由它们变形得来.

2222解：∵ ab7,ab3，∴abab10即2a2b210,a2b25，

ab2ab24，4ab4,ab1

【变式题组】

01.a2b211,ab3,则ab . 02．若x＋y＝3,xy＝2,求x4y4的值.

2203.若ab5,ab2,求a2b2ab的值，

04.若x＋y＝1,x2＋y2＝3.求x3y3的值.

【例４】已知a＝2009x＋2006,b＝2009x＋2007,c＝2009x＋2008,求多项式 a2b2c2abbcac的值.

【解法指导】多项式a2b2c2abbcac具有完全平方式的一些特征，经过变后 可转化为ab，bc，ac的代数和的形式，然后再结合已知即可求值.

222解：a2b2c2abbcac＝

＝＝

12a22b22c22ac2bc2ab 212a2abb2a22acc2b22bcc2 21ab2ac2bc2 2∵a＝2009x＋2006,b＝2009x＋2007,c＝2009x＋2008 ∴a－b＝－1,a－c＝－2,b－c＝－1 ∴原式＝

【变式题组】

01．如果a2b3c12，且a2b2c2abbcac.则ab2c3（ ） A.12 B.14 C.16 D.18

02．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上

两数之和相等，如果13，9，3的对面的数分别是a、b、c，求

3 13

9

11413 2a2b2c2abbcac的值.

03．已知a、b、c满足a22b7,b22c1,c26a17，求a＋b＋c的值.

【例５】若2x3kx23被2x1除后余2,求k的值.

【解法指导】2x3kx23被2x1除后余2则2x3kx2322x3kx21能被2x1整除，即2x3kx21有一个因式为2x1，因而关于x方程2x3kx210有一个

根为x11，将x代入可求k. 22若利用竖式除法也可解决.

解：∵2x3kx23被2x1除后余2，∴2x3kx21能被2x1整除 令2x1＝0得x31代入2x3kx21＝0成立， 211∴2k10，∴k＝3

22【变式题组】

01．若x3ax2ax1 被x2除的余数为了3，则a＝ . 02．若3x3mx2nx42能被x25x6整除，则m＝ .n＝ . 03.若多项式x4x3ax2bxc能被x1整除，则a＋b＋c＝ .

3【例６】设a71，则3a312a26a12＝ . 【解法指导】应用整体代入求值即可.

2解：∵a71，a17，a17，a22a60

∴3a312a26a123aa22a66a212a12 ＝3aa22a66a22a624002424 【变式题组】

01．若x2x10 ，那么代数式x32x27的值为（ ）

A.6 B.8 C.－6 D.－8 02．已知a51，则2a37a22a12的值等于 . 03.若3x3x1，求9x412x33x27x2010的值.

演练巩固·反馈提高

01.下列计算正确的是（ ）

A．4x2x23x18x312x24x B．xyx2y2x3y3 C．4a14a1116a2

2 D．x2yx22xy4y2

02．在①xyx3x26；②3m213m219m21；

1③3p2q2pq4中运算错误的个数是（ ）

3A．0 B．1 C．1或5 D．±1或±5

03．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（ ）

A． 1 B．1 C．2 D．3

04．下列计算正确的是（ ）

2A．aba22abb2

2B．aba2b2

C．xyxyx2y2x4y4 D．2abb2a4a24abb2

05．下列关系式不成立的是（ ）

22A．a2b2ab2ab B．a2b2ab2ab

22C．2a22b2abab

22D．2ababab

06．已知长方形的面积为4a26ab2a，且一边长为2a,则其周长为（ ） A. 4a3b B. 8a6b C. 4a3b1 D. 8a6b2 07．下列计算正确的是（ ）

A．9x4y312x3y43x3y23xy4xy2 B．28a314a27a7a4a22a7a C．4a312a2b7a3b24a2a3b＋

72ab 4

D．(25x215x2y20x4)5x253xy4x2

08．如图，矩形花园ABCD中，AB＝a,AD＝b,如图中建有

一条矩形道路LMPQ及一条平行四边形道路RSTK.若 LM＝RS＝c,则花园中可绿化部分的面积为（ ） A．bc－ab＋ac＋b2 B．a2＋ab＋bc－ac C．ab－bc－ac＋c2 D．b2－bc＋a2－ab 09．已知yA R S D L M B Q P C K T 11x1，那么x22xy3y22的值为__________ 3310．若ab3,ab1,则a2b2 . 211．已知x25x14,求x12x1x11的值.

212．计算：⑴xyxyxy2yxy4y

 ⑵6a2m1a2

13．若A＝－2xy,B＝

2213a2m29am1am2

314412

xyx2y3x3y2,求B÷A的值. 4314．已知多项式m除以3x22x4得商式2x＋6,余式为3x＋1,求多项式m.

15．如图，有两种长方形卡片若干，卡片A的长为x11y，宽为xy，卡片B的长为225311x5y，宽为xy，其中x＞4y,且x、y均为正数. 222

⑴你能用A、B两种卡片若干张，拼成一个无缝隙的正方形吗？试试看，画出示意图；

⑵试用两种不同的方法计算出所拼成的正方形的面积，并比较结果是否相等.

16.已知实数a 、b、x、y满足ax＋by＝3,ay－bx＝5.求a2b2x2y2的值.

17.若规定一种运算“*”：a*b＝(a＋2)(b＋5)－(a＋3)(b＋4).试化简（m－1）*(n＋1).

第13讲 因式分解及其应用

考点·方法·破译

1．因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式；

2．因式分解的基本方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法等；

3．因式分解的基本原则：有公因式先提出公因式、分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止；

4．竞赛中常出现的因式分解问题，常用到换元法、主元法、拆项添项阿、配方法和待定系数法等方法、另外形如x2pxq的多项式，当p＝a＋b，q＝ab时可分解为（x＋a）（x＋b）的形式；

5．利用因式分解求代数式的值与求某些特殊方程的解.

经典·考题·赏析

【例１】

⑴若x2kxy9y2是完全平方式，则k＝______________ ⑵若x25xyky2是完全平方式，则k＝______________

【解法指导】形如a22abb2的形式的式子，叫做完全平方式.其特点如下：⑴有三项；⑵有两项是平方和的形式；⑶还有一项是乘积的2倍，符号自由.

解：⑴x2kxy9y2x2kxy(3y)2是完全平方式，∴kxy6xy ∴k6；

⑵x25xyky2x22x【变式题组】

01．若m2kmn9n2是一个完全平方式，则k＝________ 02．若x2y26x10y340，求x、y的值.

03．若a2a2b24abb210，求a、b的值.

04．（四川省初二联赛试题）已知a、b、c满足|2a4||b2|(a3)b2a2c222ac，求

abc的值. 195y525ky2是完全平方式，∴ky2(y)2 ∴k 224

【例2】⑴（北京）把x32x2yxy2分解因式，结果正确的是（ ） A．x(xy)(xy) B．x(x22xyy2) C．x(xy)2 D．x(xy)2 ⑵（杭州）在实数范围内分解因式x44＝____________ ⑶（安徽）因式分解a2b22b1＝_______________

【解法指导】分解因式的一般步骤为：一提，二套，三分组，四变形 解：⑴x32x2yxy2x(x22xyy2)x(xy)2 ⑵x44(x22)(x22)(x22)(x2)(x2)

⑶a2b22b1a2(b22b1)a2(b1)2(ab1)(ab1) 【变式题组】

⑴3x3y26x2y312x2y2

⑶20a2bx45bxy2

⑸(a25)28(5a2)16

【例3】要使二次三项式x25xp在实数范围内能进行因式分解，那么整数P的取值可能有（ ）

A．2个 B．4个 C．6个 D．无数多个

【解法指导】由x2(ab)xab(xa)(xb)可知，在整数范围内分解因式x25xp，p为n(5n)的积为整数，∴p有无数多个，因而选D

【变式题组】

⑴已知x2ax12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a的个数是（ ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个

⑵在1~100间，若存在整数n，使x2xn能分解为两个整系数的一次因式的乘积，则这样的n有__个

【例4】分解因式：⑴2x211x12 ⑵x24y2z24yz

⑶(x25x2)(x25x3)12 ⑷x2xy6y2x13y6

【解法指导】

解：⑴ ∴2x211x12(2x3)(x4) ⑵x24y2z24y2 x2(4y24yzz2) x2(2yz)2

(x2yz)(x2yz)

2 1

－3 －4

⑵2a(x21)22ax2

⑷49(ab)216(ba)2

⑶设x25x25，则原式可变为t(t1)12t2t12(t3)(t4) ∴原式＝(x25x23)(x25x24) (x25x1)(x25x6)

(x25x1)(x2)(x3)

⑷x2xy6y2x13y6

(x2xy6y2)(x13y)6 (x2y)(x3y)(x13y)6 (x2y3)(x3y2)

(x2y) 3 (x3y) －2

【变式题组】 01．分解因式：

⑴x24y29z212yz

⑶ab2a3b6

⑸6y219y10

⑵4x24xy24y3

⑷(x1)(x2)(x3)(x4)1

【例5】⑴（上海竞赛试题）求方程6xy4x9y70的整数解； ⑵（希望杯）设x、y为正整数，且x2y24y960，求xy的值

【解法指导】⑴结合方程的特点对其因式分解，将不定方程转化为方程组求解； ⑵将等式左边适当变形后进行配方，利用x、y为正整数的特点，结合不等式求解. 解：⑴6xy4x9y70，(6xy4x)(9y6)1，2x(3y2)3(3y2)1，

x3)1或(2x3)1 ∴(2x3)(3y2)1，∵x、y都是整数 ∴(2(3y2)1(3y2)1（舍去）或x1，∴方程的整数解为x1， ∴y1y1y13x2⑵x2y24y960，y24y4100x2，(y2)2100x2，∵100x20∴x2100 ∵x为正整数，∴x＝1，2，…，10 ，又∵(y2)2是平方数，∴x＝6或8

当x＝6时(y2)2＝64，y＝6，当x＝8时(y2)2＝36，y ＝4，∴xy＝36或32 【变式题组】

01.设x、y是正整数，并且y2x22132，则代数式

2x2xyy2的值是___________

xy02.（第二届宗沪杯）已知a、b为整数，则满足a＋b＋ab＝2008的有序数组（a，b）共有

__________ 03．（北京初二年级竞赛试题）将2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示方法

有（ ）

A．16种 B．14种 C．12种 D．10种 04．方程x3y3x2yxy232的正整数解的个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不少于3个 05．一个正整数，如果加上100是一个完全平方数：如果加上168则是另外一个完全平方数，

求这个正整数.

【例6】已知k、a都是正整数，2004k＋a、2004（k＋1）＋a都是完全平方数 ⑴请问这样的有序正整数（k、a）共有多少组？ ⑵试指出a的最小值，并说明理由.

解：⑴2004kam2① 2004(k1)an2②，这里m、n都是正整数，则n2m22004 故(nm)(nm)2004223167

m1002或nm334，解得m500或m164，注意到，mn、nm奇偶性相同，则n nm2nm6n502n170当n＝502，m＝500时，由①得2004k＋a＝250000，所以a2004(124k)1504③ 由于k、a都是正整数，故k可以取值1，2，3，…，124，相应得满足要求的正整数数

组（k、a）共124组

当n＝170，m＝164时，由①得2004k＋a＝26896 所以a2004(13k)844④ 由于k、a都是正整数，故k可以取值1，2，3，…，13，相应得满足要求的正整数数组（k、a）共13组

从而，满足要求的正整数组（k、a）共有124＋13＝137（组）

⑵满足式③的最小正整数a的值为1504，满足式④的最小正整数a的值为844，所以，所求的a的最小值为844

【变式题组】 01．（北京竞赛）已知a是正整数，且a22004a是一个正整数的平方，求a的最大值.

02．设x、y都是整数，yx524x500，求y的最大值

演练巩固 反馈提高

01．如果分解因式81xn(9x2)(3x)(3x)，那么n的值为（

）

）

A．2 B．4 C．6 D．8

02．若多项式x2pxyqy2(x3y)(x3y)，则p、q的值依次为（

A．12，9 B．6，9 C．9，9 D．0，9 03．下列各式分解因式正确的是（ ）

A．9x21(9x1)(9x1) B．a41(a21)(a21)

C．81a2b2(9ab)(9ab) D．(a)3ab2a(ab)(ab)

04．多项式(xyz)(xyz)(yzx)(zxy)的公因式是（ ）

A．xyz B．xyz C．yzx D．不存在 05．(mn)24m(mn)4m2分解因式的结果是（ ）

A．(mn)2 B．(m2n)2 C．(mn)2 D．(m2n)2

）

06．若x2ax18能分解成两个因式的积，则整数a的取值可能有（

A．4个 B．6个 C．8个 D．无数个 07．已知a2b24a2b50，则

A．3 B．

13ab的值为（ ab ） D．

13C．3

08．分解因式：(x2)(x4)x24＝__________________ 09．分解因式：a2b24a2b3＝__________________ 10．分解因式：x3y32x2y2xy＝___________________

11．已知ab5，ab4，那么a2b3a2b2ab2的值等于____________ 12．分解因式：x24y2x2y＝_______________

13．分解因式：(ab)26(ba)9＝_________________ 14．分解因式：(4a21)216a2＝___________________

15．已知m2n0，则m32mn(mn)4n3的值为_____________ 16．求证：817279913能被45整除

17．已知296－1可被在60到70之间的两个整数整除，求这两个整数

培优升级 奥赛检测

01．（四川省初二数学联赛试题）使得3n81为完全平方数的正整数n的值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5 02．（四川省初二数学联赛试题）设m、n是自然数，并且19n298nm0，则m＋n的最小

值是（ ）

A．100 B．102 C．200 D．不能确定 03．（四川省初二数学联赛试题）满足方程x36x25x27y39y29y1的正整数对（x，y）有（ ）

A．0对 B．1对 C．3对 D．无数对 04．（全国初中数学竞赛试题）方程x36x25xy3y2的整数解（x，y）的个数是（ ）

A．0 B．1 C．3 D．无穷多 05．（四川省初二数学试题）已知Mp4(p2q1)，其中p、q为质数，且满足qp29，则M＝（）

A．2009 B．2005 C．2003 D．2000 06．（仙桃竞赛试题）不定方程2(xy)xy7的所有整数解为_________________

m3107．已知多项式2x3xy2yx8y6可以分解为(x2ym)(2xyn)的形式，那么2的

n122值是______

08．对于一个正整数n，如果能找到a、b，使得n＝a＋b＋ab，则称n为一个“好数”，例

如：3＝1＋1＋1×1，3就是一个好数，在1~20这20个正整数中，好数有_______个 09．一个正整数a恰好等于另一个正整数b的平方，则称正整数a为完全平方数，如6482，

64就是一个完全平方数；若a29922299222993229932，求证a是一个完全平方数

10．已知实数a、b、x、y满足abxy2，axby5，求(a2b2)xyab(x2y2)的值

11．若a为自然数，则a43a29是质数还是合数？请你说明理由

12．正数a、b、c满足ababbcbccaca3，求(a1)(b1)(c1)的值

13．某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班有m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的

9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是（mn＋9m＋11n＋145）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数.

第14讲 二元一次方程组及其解法

考点·方法·破译

1．了解二元一次方程和二元一次方程组的概念；

2．解二元一次方程的解和二元一次方程组的解的意义； 3．熟练掌握二元一次方程组的解法. 经典·考题·赏析

－＋

【例1】 已知下列方程2xm1＋3yn3＝5是二元一次方程，则m＋n＝ . 【解法辅导】二元一次方程必须同时具备三个条件： ⑴这个方程中有且只有两个未知数； ⑵含未知数的次数是1；

⑶对未知数而言，构成方程的代数式是整式.

【解】根据二元一次方程的概念可知：m11，解得m＝2,n＝ －2,故m＋n＝0.

n31【变式题组】

01．请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是，并说明理由.

⑴2x＋5y＝16 (2)2x＋y＋z＝3 (3)02．若方程2xa1＋3＝y2b

＋

－5

1＋y＝21 (4)x2＋2x＋1＝0 (5)2x＋10xy＝5 x是二元一次方程，则a＝ ,b＝ .

14x23y104xy122y003．在下列四个方程组①，②，③x，④

7xy292x4y92x3y47x8y5中，是二元一次方程组的有 （ ） x45y0A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（十堰中考）二元一次方程组3x2y7 的解是 （ ）

x2y5x4 D． y2x3 y1A． x3 B．

y2x1 C． y2【解法辅导】二元一次方程组的解，就是它的两个方程的公共解，根据此概念，此类题有两种解法：⑴若方程组较难解，则将每个解中的两未知数分别带入方程组，若使方程组都成立，则为该方程组的解，若使其中任一方程不成立，则不是该方程组的解；⑵若方程组较易解，则直接解方程组可得答案.

本例中，方程组较易解，故可直接用加减消元法求解，本题答案选D． 【变式题组】 01．（杭州）若x=1，y=2是方程ax－y＝3的解，则a的值是 （ ）

A．5 B．－5 C．2 D．1 02．（盐城）若二元一次方程的一个解为x2，则此方程可以是 （只要求

y1写一个）

03.（义乌）已知：∠A、∠B互余，∠A比∠B大30°，设∠A、∠B的度数分别为x°,y°,下

列方程组中符合题意的是 （ ）

A． xy180 B．

xy30xy180 C． xy30xy90 D． xy30xy90 xy303x2axby54．（连云港）若，是二元一次方程组2，的解，则a＋2b的值为 .

y1axby2【例3】解方程组xy7①

3x5y17②

【解法辅导】当二元一次方程组的一个方程中，有一个未知数的系数为1或－1时，可

选用带入法解此方程，此例中①变形得y＝7－x ③,将③带入②可消去y,从而求解.

解：由①得，y＝7－x ③

将③带入②，得 3x＋5(7－x)＝17, 即35－2x＝17 x＝9

故此方程组的解是【变式题组】 1.解方程组：

（南京）⑴x9

y22xy4x4y1 （海淀）⑵

x2y52xy162xy43xy5 （朝阳）⑷

x2y55x2y23（花都）⑶2．方程组xy5的解满足x＋y＋a＝0,则a的值为 （ ）

2xy5A．5 B．－5 C．3 D．－3

2xy3①

【例4】解方程组

② 3x5y11【解法辅导】用加减法解二元一次方程组时，要注意选择适当的“元”来消去，原则上

尽量选择系数绝对值较小的未知数消去，特别是如果两个方程中系数绝对值的比为整数时，就选择该未知数为宜，若两系数符号相同，则相减，若系数符号相反，则相加.

本题中，y的系数绝对值之比为5：1＝5，因此可以将①×5，然后再与②相家，即可消去y.

解：①×5得，y＝7－x ③

③＋②,得 ，13x＝26 ∴x＝2 将x＝2代入①得 y＝－1

∴此方程组的解是【变式题组】

x2.

y1x101．(广州)以为解的二元一次方程组是 （ ）

y1A．xy0xy0xy0xy0 B． C． D．

xy1xy1xy2xy202．解下列方程组：

2x3y5x2y3（日照）⑴ （宿迁）⑵

3x2y123x8y1303．（临汾）已知方程组axby4x2的解为，则2a－3b的值为 （ ）

axby2y1A．4 B．6 C．－6 D．－4 04．已知

2xy5①

，那么x－y的值为 ，x＋y的值为 .

② x2y63x2y2k12①

【例5】已知二元一次方程组 的解满足x＋y＝6,求k的值.

② 4x3y4k2【解法辅导】此题有两种解法，一中是由已给的方程组消去k而得一个二元一次方程，

此方程与x＋y＝6联立，求得x、y的值，从而代入①或②可求得k的值；另一种是直接由方程组解出x、y，其中x、y含有k,即用含k的代数式分别表示x、y，再代入x＋y＝6得以k为未知数的一元一次方程，继而求k的值.

解：①×2，得， 6x＋4y＝4k＋24 ③ ③－②,得 2x＋7y＝22 ④ 由x＋y＝6，得2x＋2y＝12 ⑤，⑤－④,得 －5y＝－10 ∴y＝2 将y＝2代入x＋y＝6得 x＝4 将

x4带入①得 3×4＋2×2＝2k＋12 ∴k＝2. y2【变式题组】

mx3ny13xy601．已知⑴与⑵有相同的解，则m＝ ,n＝ .

5xnyn24x2y802．方程组xy5的解满足方程x＋y－a＝0, 那么a的值为 （ ）

2xy5A．5 B．－5 C．3 D．－3

3x2yk03．已知方程组的解x与y的和为8，求k的值.

2x3yk3

【例6】解方程组4(x3y)3(xy)16①

3(x3y)5(xy)12② 【解法辅导】观察发现：整个方程组中具有两类代数式，即（x＋3y）和（x－y）,如果

我们将这两类代数式整体不拆开，而分别当作两个新的未知数，求解则将会大大减少运算量，当分别求出x＋3y和x－y的值后，再组成新的方程组可求出x、y的值，此种方法称为换元法.

解：设x＋3y＝a, x－y＝b, 则原方程组可变形为

4a3b16 3a5b12③

④

③×3，得 12a＋9b＝12 ⑤ ④×4, 得 12a－20b＝48 ⑥－⑤,得 29b＝0,∴b＝0 将b＝0代入

③，得 a＝4 ∴可得方程组【变式题组】 01．解下列方程组：

x3y4x1 故原方程组的解为.

xy0y14xyxy6x⑴2 ⑵（湖北十堰）394(xy)5(xy)2x02．（淄博）若方程组的解是 （ ） A． 310y

75y2a3b134(x2)3(y1)13a8.3的解是，则方程组3a5b30.93(x2)5(y1)30.9b1.2x6.3 B．

y2.2x8.3 C． y1.2x10.3 D． y2.2x10.3 y0.2

03．解方程组：

211① x16x3 110②

2x22y1axby16【例7】（第二届“华罗庚杯”香港中学邀请赛试题）已知：方程组的

cx20y224解应为x8x12，小明解此题时把c抄错了，因此得到的解是，则a2＋b2＋c2

y10y13的值为 .

x8【解法辅导】是方程组的解，则将它代入原方程可得关于c的方程，由题意

y10分析可知：x12是方程ax＋by＝－16的解，由此可得关于a、b的又一个方程，由此

y13三个方程可求得a、b、c的值.

解：34

【变式题组】 01．方程组ax2y7x5x3时，一学生把a看错后得到，而正确的解是，则

cxdy4y1y1a、c、d的值是 （ ）

A．不能确定 B．a＝3, c＝1, d＝1 C． c、d不能确定 D． a＝3, c＝2, d＝ －2 02．甲、乙良人同解方程组AxBy2x1，甲正确解得，乙因抄错C，解得

Cx3y2y1x2，求A、B、C的值. y6

演练巩固 反馈提高

01．已知方程2x－3y＝5,则用含x的式子表示y是 ，用含y的式子表示x

是 . 02．(邯郸)已知x1axby1是方程组的解，则a＋b＝ .

y14xby203．若(x－y)2＋|5x－7y－2|＝0, 则x＝ , y＝ .

x2axby704．已知是二元一次方程组的解，则a－b的值为 .

y14xby105．若x3mn＋y2nm＝－3是二元一次方程，则m＝ ,n＝ .

06.关于x的方程（m2－4）x2＋(m＋2)x＋(m＋1)y＝m＋5, 当m＝ 时，它是一元一次

方程，当m＝ 时，它是二元一次方程.

－

－

3x7y907．（苏州）方程组的解是 （ ）

4x7y5x2A．  B．

y1x23 C． y7x23 D． y7x23 y7x108．（杭州）已知是方程2x－ay＝3的一个解，那么a的值是 （ ）

y1A．1 B．3 C．－3 D． －1 09．（苏州）方程组xy1的解是 （ ）

2xy5x2 C． y3x2 D． y1x2 y1x1A．  B．

y210．（山东）若关于x、y的二元一次方程组xy5k的解也是二元一次方程3x＋3y＝6

xy9k的解，则k的值为 （ ） A．－3344 B． C． D．－ 443311．（怀柔）已知方程组12.解方程组：

⑴（滨州）axby2x3a2b的解为，求的值为多少？

a2baxby4y22x2y63x4y19 ⑵（青岛）

x2y2xy426(y)7(x3)63⑶

218(x3)5(y)5313．已知方程组2x5y6axby4和方程组的解相同，求代数式3a＋7b的值.

3x5y16bxay83x2yk14． 已知方程组的解x与y的和为8，求k的值.

2x3yk315．（希望杯试题）m为正整数，已知二元一次方程组培优升级 奥赛检测

mx2y10有整数解，求m2的值.

3x2y0ykxb①

01．当k、b为何值时，方程组

y(3k1)x2②

⑴有唯一一组解 ⑵无解 ⑶有无穷多组解 02．.当k、m的取值符合条件 时，方程组ykxm至少有一组解.

y(2k1)x44x3y603．已知：m是整数，方程组有整数解，求m的值.

6xmy265x22y2z204．若4x－3y－6z＝0,x＋2y－7z＝0, (xyz≠0),则式子2的值等于 （ ） 222x3y10zA．－

119 B．－ C．－15 D．－13 2205．（信利杯赛题）已知：三个数a、b、c满足

则

ab1bc1ca1＝，＝，＝， ab3ac4ca5abc的值为 （ ）

abbcca1121A． B． C． D．

206121506． （广西赛题）已知：满足方程2x－3y＋4m＝11和3x＋2y＋5m＝21的x、y满足x＋

3y＋7m＝20,那么m的值为 （ ）

A．0 B．1 C．2 D．3 07．（广西赛题）若|a＋b＋1|与（a－b＋1）2互为相反数，则a与b的大小关系是 （ ）

A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．a≥b 08．（“华罗庚杯”竞赛题）解方程组

x1x2x2x3x3x4x1997x1998x1998x19991 xxxx19992199819991

xy1209.（全国竞赛湖北赛区试题）方程组的解的组数为 （ ）

xy6A．1 B．2 C．3 D．4

10．对任意实数x、y定义运算x※y＝ax＋by，其中a、b为常数，符号右边的运算是通常

意义的加乘运算，已知1※2＝5且2※3＝8，则4※5的值为 （ ） A．20 B．18 C．16 D．14 11．（北京竞赛题）若a、b都是正整数，且143a＋500b＝2001,则a＋b＝ .

12．(华杯赛题）当m＝－5,－4,－3,－1,0,1,3,23,124,1000时，从等式（2m＋1）x＋(2－3m)y

＋1－5m＝0可以得到10个关于x和y的二元一次方程，问这10个方程有无公共解？若有，求出这些公共解.

13．下列的等式成立：x1x2＝x2x3＝x3x4＝ … ＝x99·x100＝x100·x101＝x101·x1＝1,

求x1 ，x2， …x100，x101的值.

第15讲 实际问题与二元一次方程组

考点·方法·破译

1．逐步形成方程思想，进一步适应列方程(组)解决实际问题的新思路. 2．学会用画图，列表等途径分析应用题的方法. 3．熟练掌握各类应用题中的基本数量关系.

4．学会找出每道应用题中所蕴藏的各种等量关系，并依此列出方程组. 经典·考题·赏析

【例1】甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由两地相向而行，1小时20分钟相遇，相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发后半小时追上了拖拉机，这时，汽车、拖拉机各自走了多少千米?

【解法指导】(1)画出直线型示意图理解题意

(2)本题有两个未知数——汽车的行程和拖拉机的行程.有两个相等关系：①相向而行:汽车行驶11小时的路程+拖3拉机行驶111的路程＝160千米；②同向而行：汽车行驶小321)小时的路程. 2时的路程＝拖拉机行驶(1+

(3)本题的基本数量关系有:路程＝速度×时间.

解：设汽车的速度为每小时x千米，拖拉机的速度为每小时y千米，根据题意，得

11(xy)16031x(11)y22

解这个方程组，得1111x90,90(1)165千米，30（1+1）=85千米。

3232y30.答:汽车走了】65千米，拖拉机走了85千米.

【变式题组】

01．A、B两地相距20千米，甲从A地向B地前进，同时乙从B地向A地前进，2小时后

二人在途中相遇，相遇后，甲返回A地，乙仍向A地前进，甲回到A地时，乙离A地还有2千米，求甲、乙二人的平均速度.

02．某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他开车以每小时50千米的速度行驶，就

会迟到24分钟；如果以每小时75干米的速度行驶，那么可提前24分钟到达乙地，求甲、乙两地间的距离.

03．某铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共

用了1min，整列火车完全在桥上的时间共40s.求火车的速度和长度.

【例2】一项工程甲单独做需12天完成，乙单独做需18天完成，计划甲先做若干天后离去，再由乙完成，实际上甲只做了计划时间的一半便因事离去，然后由乙单独承担，而乙完成任务的时间恰好是计划时间的2倍，则原计划甲、乙各做多少天?

【解法指导】⑴由甲、乙单独完成所需的时间可以看出甲、乙两人的工作效率，设总工作量为1，则甲每天完成

11，乙每天完成； 1218(2)若总工作量没有具体给出，可以设总工作量为单位“1”，然后由时间算出工作效率，

最后利用“工作量＝工作效率x工作时间”列出方程.

xy1解:设原计划甲做x天，乙做y天，则有12181111x12y118122，解方程组，得x8,y6.答:原计划甲做8天，乙做6天.

【变式题组】

01．一批机器零件共1100个，如果甲先做5天后，乙加入合做，再做8天正好完成；如果

乙先做5天后，甲加入合做，再做9天也恰好完成，问两人每天各做多少个零件?

02．为北京成功申办2008奥运会，顺义区准备对潮白河某水上工程进行改造，若请甲工程

队单独做此项工程需3个月完成，每月要耗资12万元；若请乙工程队单独做此项工程需6个月完成，每月要耗资5万元.

⑴若甲、乙两工程队合做这项工程，需几个月完成?耗资多少万元?

⑵因种种原因，有关领导要求最迟4个月完成此项工程，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金.(时间按整月计算)

【例3】古代有这样一个寓言故事，驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的，驴子抱怨负担太重，骡子说:“你抱怨干吗?如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴子原来所驮货物的袋数是多少?

【解法指导】找出本题中的等量关系为：骡子的袋数+1＝2×(驴子的袋数－1)，驴子的袋教+1＝骡子的袋数－1

解:设骡子所驮货物有x袋，驴子有y袋，则依题意可得x12(y1)x1y1，解这个

方程组，得

x7y5.答:驴子原来所驮货物有7袋.

【变式题组】

01．第一个容器有水44升，第二个容器有水56升.若将第二个容器的水倒满第一个容器，

那么第二个容器剩下的水是该容器的一半；若将第一个容器的水倒满第二个容器，那么第一个容器剩下的水是该容器的三分之一.求两个容器的容量.

02．(呼市)《一千零一夜》中有这样一段文字:有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一

部分在地上觅食.树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树

下的鸽子就是整个鸽群的

1；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了.”3你知道树上、树下各有多少只鸽子吗?

【例4】某车间加工螺钉和螺母，当螺钉和螺母恰好配套(一个螺钉配一个螺母)时就可以运进库房.若一名工人每天平均可以加工螺钉120个或螺母96个，该车间共有工人81名.问应怎样分配人力，才能使每天生产出来的零件及时包装运进库房?

【解法指导】这里有两个未知数——生产螺钉的人数和生产螺母的人数.有两个相等关系：(1)生产螺钉的人数+生产螺母的人数＝总人数(81名)；

(2)每天生产的螺钉数＝每天生产的螺母数.

xy81解:设生产螺钉的工人有x名，生产螺母的工人有y名，根据题意，得,解

120x96yx36 方程组，得.y45答:有36名工人生产螺钉.有45名工人生产螺母，才能使每天生产出来的零件及时包装运进库房.

【变式题组】

01．某车间有28名工人生产某种螺栓和螺母，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，为

了合理分配劳力，使生产的螺栓和螺母配套（一个螺栓套两个螺母)，则应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母?

02．木工厂有28人，2个工人一天可以加工3张桌子，3个工人一天可以加工10把椅子，

现在如何安排劳动力，使生产的一张桌子与4把椅子配套?

03．现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配

成一个完整的盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子?

【例5】一名学生问老师:“你今年多大?”老师风趣地说:“我像你这样大时，你才出生；你到我这么大时，我已经37岁了”.请问老师今年多少岁，学生今年多少岁.

【解法指导】如何找出应用题的等量关系是解决应用题的关健，也是难点，本题中，老师的两句话分别蕴含着两个等量关系，其本质就是根据师生不同时段的年龄差相等.

师生过去的年龄差＝师生现在的年龄差＝师生将来的年龄差，可列表帮助分析:

过去 现在 将来

y x 师 37

y x 生 0

差 y－0 x－y 37－x xy37x① 【解】设现在老师x岁，学生y岁，依题可列方程组37xy0②解此方程组得x25y13答:老师今年25岁，学生今年12岁.

【变式题组】

01．甲、乙两人聊天，甲对乙说:“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁.”乙对甲说:

“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁”.同学们，你能算出这两人现在各是多少岁吗？试试看.

02．6年前，A的年龄是B的3倍，现在A的年龄是B的两倍，A现在的年龄是( )

A．12岁 B．18岁 C．24岁 D．30岁

03．甲对乙风趣地说:“我像你这样大岁数的那年，你才2岁，而你像我这样大岁数的那年，

我已经38岁了.甲、乙两人现在的岁数分别为___________.

【例6】(威海)汶川大地震发生后，各地人民纷纷捐款捐物支援灾区.我市某企业向灾区捐助价值94万元的A，B两种账篷共600顶.已知A种帐篷每顶1700元，B种帐篷每顶1300元，则A、B两种帐篷各多少顶?

【解法指导】本题等量关系有两个：A种帐篷数＋B种帐篷数＝600，1700×A种帐篷数＋1300×B种帐篷数＝940000，若设A、B两种帐篷数分别为x、y，即可得方程组.

【解】设A种帐篷有x顶，B种帐篷有y顶，依题意可列方程组

x400xy600①解这个方程组可得 答：A种帐篷400顶，By2001700x1300y940000②种帐篷200顶.

【变式题组】

01．(桂林)某蔬菜公司收购到某种蔬菜104吨，准备加工后上市销售.该公司加工该种蔬莱

的能力是:每天可以精加工4吨或粗加工8吨.现计划用16天正好完成加工任务，则该公司应安排几天精加工，几天粗加工?

02．(济南)教师节来临之际，群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献一束鲜花，每束

由4支鲜花包装而成，其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花两种鲜花，同一种鲜花每支的价格相同.请你根据第一、二束鲜花提供的信息，求出第三束鲜花的价格. 03．（云南）在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售

价13%的财政补贴.村民小李购买了一台A型洗衣机，小王购买了一台B型洗衣机，两人一共得到财政补贴351元，又知B型洗衣机售价比A型洗衣机售价多500元.求: (1)A型洗衣机和B型洗衣机的售价各是多少元?

(2)小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元?

【例7】已知有三块牧场，场上的草长得一样快，它们的面积分别为31公顷、10公顷3和24公顷.第一块牧场可供12头牛吃4个星期，第二块牧场可供21头牛吃9个星期.试问第三块牧场可供多少头牛吃18个星期?

【解法指导】此题涉及的草量有三种，一是牧场原有生长的草量，二是每周新长出的草量，三是每头牛每周吃掉的草量，分析相等关系时要注意草量“供”与“销”之间的关系:

第一块牧场:原有草量+4周长出的草量＝12头牛4周吃掉的草量； 第二块牧场:原有草量+9周长出的草量＝21头牛9周吃掉的草量； 第三块牧场:原有草量+18周长出的草量＝？头牛18周吃掉的草量.

解:设牧场每公顷原有草x吨，每公项每周新长草y吨，每头牛每周吃草a吨，依题意，得1010xy4412a

3310x10y9921ax10.8a 解这个关于x、y的二元一次方程组，得y0.9a设第三块牧场18周的总草量可供z

头牛吃18个星期，

则:z24x24y1824(10.8a0.9a18)36(头)

18a18a答:第三牧场可供36头牛吃18个星期.

【变式题组】

01．某江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用

两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完.若想尽快处理好险情，将水在10分钟内抽完，那么至少需要抽水机多少台?

02．山脚下有一池塘，山泉以固定的流量(即单位时间里流入池中的水量相同)不停地向池塘

内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完;若用两台A型抽水机则要20分钟正好把池塘中的水抽完;若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时闻恰好把池塘中的水抽完?

演练巩固 反馈提高 一、填空：

01．将一摞笔记本分给若于名同学，每个同学6本，则剩下9本;每个同学8本，又差了3

本，则这一摞笔记本共___________本.

02．一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果这个两位数加上45，则恰好组成这

个个位数字与十位数字对调后的两位数，则这个两位数是__________.

03．现有食盐水两种，一种含盐12%，另一种含盐20%，分别取这两种盐水akg和bkg，

将其配成16%的盐水100kg，则a＝_______，b＝__________.

04．在2006—2007西班牙足球甲级联赛中，凭借最后几轮的优异成绩，皇家马德里队最终

夺得了冠军，已知联赛积分规则是:胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，皇家马德里队在最后12场比赛中共得到31分，且平、负场次相同，那么皇家马德里队最后12场比赛中共胜了________场.

05．(重庆)含有同种果蔬但浓度不同的A，B两种饮料，A种饮料重40千克，B种饮料重

60千克.现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合，如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是_________千克.

06．.已知乙组人数是甲组人数的一半，若将乙组人数的

1调入甲组，则甲组比乙组人数多315人，则甲、乙两组的人数分别为_______、________.

07．小明家去年节余5000元，估计今年节余9500元，并且今年收人比去年提高15%，支

出比去年降低10%，则小明家去年的收人为_____元，支出为_______元. 二、选择题:

08．某次数学知识竞赛共出了25道试题，评分标准如下:答对1题加4分;答错1题扣1分;

不答记0分.已知李明不答的题比答错的题多2道，他的总分为74分，则他答对了() A．18题 B．19题 C．20题 D．21题

09．甲、乙两地相距120km，一艘轮船往返两地，顺流时用5h，逆流时用6h，这艘轮船在

静水中航行的速度和水流速度分别为( )

A．22km/h，2km/h B．20km/h，4km/h C．18km/h，6km/h D．26km/h，2km/h 10．看图，列方程组:

上图是“龟兔赛跑”的片断，假设乌龟和兔子在跑动时，均保持匀速，乌龟的速度为v1米/小时，兔子的速度为v2米/小时，则下面的方程组正确的是( )

20010v1 A．v25v1000220010v1 C．v25v1000120010vv2 B．15v1000120010vv2 D．15v1000211．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身10个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配

成一个罐头盒，现有120张白铁皮，设用x张制盒身，y张制盒底，则可得方程组()

A．xy120,xy120,xy120, B． C．

40x16y.10x80y.40y210x.D．以上都不

对

12．甲乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，甲跑5秒就可追上乙;如果乙先跑2秒，甲跑4

秒就可追上乙.设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，则可列出的方程组为( )

A．5y105x,5x5y10,B． C

4y6x.4x6y.5y5x10,

4y6x.．5x105y,4x6y.

D．三、解答题

13．(贺州)福林制衣厂现有24名制作服装的工人，每天都制作某种品牌的衬衫和裤子，每

人每天可制作这种衬衫3件或裤子5条.

(1)若该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等，则应各安排多少人制作衬衫和裤子?

(2)已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，若该厂要求每天获得利润2100元，则需要安排多少名工人制作衬衫?

14．(晋江)2010年春季我国西南大旱，导致大量农田减产，下图是一对农民父子的对话内

容，请根据对话内容分别求出该农户今年两块农田的花生产量分别是多少千克?

15．(长沙)“5·l2”汉川大地震后，灾区急需大量帐篷，某服装厂原有4条成衣生产线和5

条童装生产线，工厂决定转产，计划用3天时间赶制1000顶帐篷支援灾区.若启用1条成衣生产线和2条童装生产线可以生产帐篷105顶;若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶.

(1)每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶?

⑵工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务?如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感?

培优升级 奥赛检测

01．(第十七届江苏省竟赛题)美国篮球巨星乔丹在一场比赛中24投14中，拿下28分，其

中三分球三投全中，那么乔丹两分球投中______球，罚球投中_______球.

02．甲、乙分别自A，B两地同时相向步行，2小时后在途中相遇，相遇后，甲、乙步行速

度都提高了1千米/时，当甲到达B地后立刻按原路向A地返回，当乙到达A地后也立刻按原路向B地返回.甲、乙两人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇，则A，B两地的距离是_____千米.

03．(武汉市选拔赛试题)某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成

的数相加得14405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16970，求此人家的电话号码.

04．(第17届“希望杯”邀请赛试题)放成一排的2005个盒子中

共有4010个小球，其中最左端的盒子中放了a个小球，最右端的盒子放了b个小球，如果任意相邻的12个盒子中的小球共有24个，则( ).

A， a＝b＝2 B． a＝b＝1 C． a＝1，b＝2B．a＝2，b＝1

05．(广西竞赛题)某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游，如果每辆车坐22人，

就会余下1人;如果开走一辆空车，那么所有师生刚好平均分乘余下的汽车.问:原先去租多少辆客车和学校师生共多少人?(已知每辆车的容量不多于32人)

06．(河南省竞赛题)司机小李驾车在公路上匀速行驶，他看到里程碑上的数是两位数，1小

时后，看到里程碑上的数恰是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数，再过1小时后，第三次看到里程碑上的数又恰好是第一次见到的两位数字之间添上一个零的三位数，这三块里程碑上的数各是多少?

07．(第17届江苏省竞赛题)某城市有一段马路需要整修，这段马路的长不超过3500米，今

有甲、乙、丙三个施工队，分别施工人行道、非机动车道和机动车道.他们于某天零时同时开工，每天24小时连续施工.若干天后的零时，甲完成任务;几天后的18时，乙完成任务;自乙队完成的当天零时起，再过几天后的8时，丙完成任务，已知三个施工队每天完成的施工任务分别为300米、240米、180米，问这段路面有多长?

08．(首届江苏省“数学文化节”能力素质挑战题)如图，长方形ABCD中放置9个形状、大

小都相同的小长方形(尺寸如图)，求图中阴影部分的面积.

09．(第9届“华杯赛”决赛试题)某次数学竞赛前60名获奖.原定一等奖5人，二等奖15

人，三等奖40人;现调为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人，调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分.如果原来二等奖比三等奖平均分数多了7分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分?

10.已知x＝2，y＝－1，z＝－3，是三元一次”程组

mxnyz72

2nx3y2mx5的解，求m－7n＝3k的值. xyzk

11．(“希望杯”邀请赛)购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支，共需3元，而购买铅笔

10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需多少元钱?

12．四边形ABCD的对角线相交于O点，且三角形ABC、BCD、CDA、DAB的面积为5、

A 9、10、6，求三角形OAB、OBC、OCD、ODA的面积.

x u

B D y O z

C

13.（重庆竞赛）某校七年级的新生男女同学的比例为8:7，一年后收转学生40名，男女同

学的比例变为17:15.到九年级时，原校学生有转学来的，统计知净增10名，此时男女同学的比例为7:6.问:该校在七年级时招收的新生中，各招了男女同学多少名?(注:该校七年级新生人数不超过1000人)

第16讲 三元一次方程组

考点·方法·破译

1．了解三元一次方程组和它的解的概念；

2．会解三元一次方程组并会用它解决较简单的应用题； 3．了解一元一次不等式和一元一次不等式组的解集；

4．会解一元一次不等式和一元一次不等式组，并会进行一些简单的应用． 经典·考题·赏析

2xy7①【例１】解方程组5x3y2z2②

3x4y4z16③【解法指导】观察发现，本方程组共有两个三元一次方程，一个二元一次方程．解三元一次方程组的基本思想是消元，将其转化为二元一次方程组来求解．因此，根据本题特点有两种主要思路：一是代入法，将①分别代入②、③消去y，从而得到一个以x、z为未知数的二元一次方程组；二是由②③用加减法消去z得一个以x、y为未知数的方程，再与①联系，得一个二元一次方程组．

解：方法⑴

由①得：y＝2x－7 ④ 将④代入②，得

5x＋3(2x－7)－3z＝2 即11x＋3z＝23 ⑤ 将④代入③，得

3x－4(2x－7)－4z＝16

即－5x－4z＝－12 ⑥

x211x3z23解二元一次得1

z5x4z122将x＝2代入①得y＝－3

x2∴原方程组的解为y3

1z2方法⑵

②×2得 10x＋6y＋4z＝4 ④ ④＋③得 13x＋2y＝20 ⑤ 解方程组2xy7x2得

13x2y20y3x21将代入②得z

2y3x2∴原方程组的解为y3

1z2【变式题组】

1．解下列议程组：

xy1⑴xyz26 2xzy182xy7⑵3y2z8 3x4z4x:y5:3⑶x:z7:2 x2y3z4xy81994

2．解方程组yz6，并且mx＋2y－z＝10，求m的值．

xz4

【例2】北京时间2006年1月23日，科比率领湖人队在洛杉矶迎接多伦多猛龙队的挑战．在比赛中，科比全场46投28中，罚篮命中率高达90%，疯狂砍下职业生涯最高分81分，其中依靠罚球和三分球所得分数比其他投篮得分仅仅少了3分，最终湖人队以122︰104获胜．科比的81分超越了近20年来乔丹69分的得分记录，也成为继张伯伦1962年3月2日对阵纽约尼克斯砍下的NBA单场最高得分记录100分之后，联盟历史上排名第二的单场个人最高分．在篮球比赛中，三分球每投中一个加3分，除此之外其他的投篮每投中一个加2分．若是对方犯规，罚球每中一个，加1分，且在计算命中率时，罚球是单独计算的，不计入总的出手次数，那么通过上面的这则新闻，你能算出科比投中的三分球、二分球和罚球分别是多少个吗？

【解法指导】列方程组解决实际问题时，关键是找出题中的等量关系（注意找全所有的等量关系），然后适当设出未知数，列出各个方程组成方程组．

本题中，等量关系有3个：

⑴科比全场共得81分；⑵科比46投28中，即他的三分球和二分球总共中了28次；⑶罚球和三分球所得的分数比其他投篮得分仅仅少了3分，即三分球和罚球的分数之和比二分球得分少3分．

利用这三点就很容易建立方程组求解．

解：设科比投中x个二分球，y个三分球，z个罚球． 依题意得：

2x3yz81x21xy28解得Ly7 3yz2x3z18【变式题组】

1．某车间每天可以生产甲种零件600个或乙种零件300个或丙种零件500个，这三种零件

各一个可以配成一套，现要在63天的生产中，使生产的三种零件全部配套，这个车间

应该对这三种零件的生产各用几天才能使生产出来的零件配套？

2．2003年全国足球甲A联赛的前12轮（场）比赛后，前三各比赛成绩如下表．

大连实德队 上海申花队 北京现代队 胜（场） 8 6 5 平（场） 2 5 7 负（场） 2 6 1 3 0 2 22积分 2问每队胜一场、平一场、负一场各得多少分？

第17讲 数据的收集与整理

考点•方法•破译

1．了解收集数据的方法、会设计简单的调查问卷，收集数据，能根据问题查找相关资料，获得数据信息•

2．通过抽样调查，体会用样本估计总体的思想• 经典•考题•赏析

【例1】下列调查中哪些适用全面调查方式，哪些适用抽样调查方式• (1)为了解某班所有同学的视力情况；

(2)为了解本校七年级400名学生在家承担家务老动的情况； (3)为了解一箱（100只装）灯炮的寿命；

(4)某校为了解全校每个学生的心里健康状况，请一位心里专家对全校学生进行问卷调查；

【解法指导】考察全体对象的调查叫全面调查，光从调查对象中抽取部分对象调查，然后根据调查的数据推断全体对象的情况，这种调查方式叫抽样调查•

使用全面调查：一是考查对象的数目不多；二是考查对象特殊•

使用抽样调查：一是考查对象的数目很多；二是工作量大；三是收集数据有困难；四是破坏性大．

解：⑴全面调查 （２）抽样调查 （３）抽样调查 （４）全面调查 【变式题组】

01．下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）

A．调查一批新型节能灯炮的使用寿命 B．调查长江流域的水污染情况 C．调查北京市初中学生的视力情况

D．为保证“神七”的成功发射，对其对零部件进和检查•

02．下列调查中调查方式正确的是（ ）

A．为了调查不同品牌牛奶中三聚氰胺的含量状况，对品牌选择抽样调查• B．为了选择身体条件优秀的适龄青年入伍，对报名人员选择抽样调查• C．为了检测汽车的安全系数所进行的碰撞实验，选择全面调查• D．“神舟”七号发射前对“长征二号F火箭”的检查，属于全面调查• 03．下列抽样调查中所选的样本合适吗？

⑴张老师为了解全班50名学生对英语单词的掌握情况，抽查了5名进行检查• ⑵为了解全校２６个班的课外活动情况，从七年级抽查了两个班进行分析•

⑶为调查全市中学生的上网情况，在全市的300所中学随意抽查50所学校的学生的上网情况•

⑷为了解我国中学多媒体的普及情况，在北京市作了抽样调查•

【例２】某次考试有２０００名学生参加，为了了解２０００名学生的数学成绩，从中抽取了７００名学生的数学成绩进行调查统计分析，在这个问题中有下述４种说法：① ７００名学生是总体的一个样本•②２０００名考生是总体•③７００名考生数学平均成绩可估计总体数学平均成绩•④每个考生的数学成绩是个体，其中正确的说法（ ）

A．1种 B．2种 C．３种 D．４种 【解法指导】总体：要考查的对象的全体是总体称为总体• 个体：组成总体的每一个考查对象称为个体• 样本：被抽取的那些个体组成一个样本• 样本容量：样本中个体的数目称为样本容量•

总体，样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，在本题中，总体、样本都是指考生的数学成绩，而不是考生•选B．③ ④

【变式题组】

01．为了了解某市七年级200名学生的身高，从中抽取500名学生进行测量，对这个问题，

下列说法正确的是（ ）•

A．2000名学生是总体• B．每个学生是个体•

C．抽取的５００名学生是所抽的一个样本 D．每个学生的身高是个体 【例３】某冰箱厂2008年前三个季度的冰箱产量如下：一季度570台，二季度640台，三季度720台•为了清楚的比较每个季度，请你画出相应的统计图•

【解法指导】根据统计图的特征可知，从条形统计图中可以清楚的看出每个项目的具体数目•所以本题制作条形统计图比较合适• 解：制作的条形统计图如图

720 900 640 制作条形图的一般步骤是：

600 570 300 一 二 三 季度 ⑴根据情况，画两条互相垂直的射线；

⑵在水平射线上，适当分配条形的宽度、位置及问题；

⑶在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况确定单位长度； ⑷按照数据的大小，画出长度不同的直条并注明数量．

【变式题组】 01．（益阳）汶川大地震发生后，某中学八年级⑴班共40名同学开展了“我为灾区献爱心”

活动•活动结束后，生活委员小林将捐款情况进行了统计,并绘制成如图所示的统计图,求这40名同学捐款的平均数.

人数 16 12 9 3 0 20 30 50 100 金额（元）

【例4】 看到猪肉价格持续上涨,小兰和她的同学对当地去年上半年猪肉价格作了统计:一到六月份每千克的猪肉价格(单位:元)分别是:23,25,28,30,27,29.为了反映该地区一到六月份猪肉价格的变化情况,请你画出相应的统计图.

【解法指导】根据统计图的特征可知,折线统计图能够清楚地表示出数量的变化情况.故应画折线统计图.

解:所画的折线统计图如图所示. 制作折线统计图的步骤是: 根据统计图的资料整理数据;

价格(元/千(2)画横轴、纵轴，横轴纵轴

35都要有单位，按纸面的大小来

303029确定用一定单位长度表示一 28272525定的数量；

20(3)根据数量的多少，在纵 15轴、横轴的恰当位置描出各105点，然后把各点用线段顺次连接起

0来. 二三四五六 月份 【变式题组】 1．（荆门）某住宅小区六月份的1至6日每天的用水量变化情况如图所示,那么这6天的平

均用水量是( )

A．30吨 B．31吨 C．32吨 D．33吨

【例5】小明家10月份的支出情况如下:购物支出120元,医疗支出144元,伙食支出432元,教育支出216元,其它支出288元.为清楚的看出每项支出所占的比例,请你画出相应的统计图.

【解法指导】根据统计图的特征可知,从扇形统计图中能清楚的看到各部分在总体中所占的百分比,故本题应画扇形统计图.

解(1)计算支出总数:120+144+432+216+288＝1200(元).

其他 (2)计算各项支出占总支出的百分比:购物:120÷1200×100﹪

购物 24% ＝10﹪;医疗:144÷1200×100﹪＝12﹪;伙食:432÷1200×100﹪医疗 10% ＝36﹪;教育:216÷1200×100﹪＝18﹪;其它:288÷1200×100﹪12% 教育 ＝24﹪.

18% 伙食 (3)计算相应扇形所对的角度:购物:360°×10﹪＝36°,医疗:

36% 360°×12﹪＝43.2°,伙食: :360°×36﹪＝129.6°

教育: :360°×18﹪＝64.8°,其它: 360°×24﹪＝86.4° (4)制作扇形统计图(如图所示). 制作扇形统计图的步骤;

(1)先算出各部分数量占总数量的百分比; (2)再算出各部分数量的扇形的圆心角度数.

100元 5元 (3)取适当的半径画圆,在圆内画出各个扇形.

8% 12% 10元 (4)在各扇形中标出数量名称和所占的百分数.

50元 20% 【变式题组】

16% 01.(长沙)在一次捐款活动中,某班50名同学分别拿出自己的零花钱,

40元 有捐5元、10元、20元的,还有捐50元和100元的.右图的统计44% 图反映了不同提款数的人数比例,那么该班同学平均每人提款________元.

02．某校七年级D班同学在“你我同心,抗击非典”的募捐活动中,自愿捐款情况如下表:

每人提款数(元) 相应人数

根据上表所给的条件,回答下列问题: 该班共有______名学生. 该班共捐款_____元;

根据上表信息制成条形统计图和户型统计图.

【例6】 在“创优”活动中,我市某校开展收集废旧电池活动,该校七年级(1)班为了估计四月份收集废旧电池的个数,随机抽取了该月某7天收集废旧电池的个数,数据如下(单位:个):48,51,53,47,49,50,52.求这7天该班收集废旧电池个数的平均数,并估计四月份(30天)该班收集废旧电池的个数.

【解法指导】先求出样本平均数,再利用样本平均数去估计总体平均数.

4851475349505250(个)7解:这7天收集废旧电池个数的平均数为:

2 5 5 10 10 20 20 15 所以估计四月份该班收集废旧电池的个数为50×30＝1500(个).

即这7天收集废旧电池平均数为50个,四月份该班收集废旧电池约1500个. 【变式题组】

01．某水果公司以2元/千克的单价新进了10000千克柑橘,为了合理定出销售价格,水果公

司需将运输损坏的水果成本算到没有损坏的水果售价中,销售人员从柑橘中随机抽取若干柑橘统计损坏情况,结果如下表;

柑橘质量(千克) 损坏的质量(千克) 50 5.50 200 19.94 500 51.54 02．如果公司希望全部售完这批柑橘能够获得5000元利株数 润,那么在出售柑橘时,每千克大约定价____元. 20 15

10

5

0 10 12 14 15黄瓜根数/株

03.(天津)为了解某新品种黄瓜的生长情况,抽查了部分黄瓜株上长出的黄瓜根数,得到如

图的条形图,观察图,可知共抽查了_____株黄瓜,并可估计出这个新品种黄瓜平均每株结_______根黄瓜.

【例7】(北京)在每年年初召开的市人代会上,北京市财政局都要报告上一年度市财政预算情况.以下是根据2004～2008年报告中的有关数据制作的市财政教育预算与实际投入统计图表的一部分.

年份 004 教育实际投入与预算的差值 8 .7 2005 6.7 2006 54.6 2007 1.3 2008 72

2004年～2008年北京市财政教育实际投入与预算的差值统计表(单位:亿元) 年份 4 教育实际投入与预算的差值 2005 6.7 2006 5.7 6 2007 14.2008 7.3 200 请根据以上信息解答下列问题: 请在表中的空格内填入2004年市财政教育实际投入与预算的差值; 求2004～2008年北京市财政教育实际投入与预算的平均数;

已知2009年北京市财政教育预算是141.7亿元,在此基础上,如果2009年北京市财政教育实际投入按照(2)中求出的平均数增长,估计它的金额可能达到多少亿元?

【解法指导】 观察统计图可知2004年差值为52.2－44.2＝8.

解:(1)2004～2008年北京市财政教育实际投入与预算的差值统计表(单位:亿元)

86.75.714.67.342.38.46(亿元)55(2),所以2004～2008年北京市财政教育实际投入与预算差值的平均数是8.46亿元

(3)141.7+8.46＝150.16(亿元).

估计2009年北京市财政教育实际投入可能达到150.16亿元.

【变式题组】

01.(南京)如图是甲,乙两户居民家庭全年支出费用的扇形统计图,根据统计图,下面对全年食品支出费用判断正确的是( )

A.甲户比乙户多 B.乙户比甲户多

C.甲.乙两户一样多 D.无法确定哪户多

衣着 25% 教育 23% 衣着 23% 教育 19% 食品 31% 其它 21% 食品 34% 其它 24%

02. (青岛)某市为调查学生的视力变化情况,从全市九年级学生中抽取了部分学生,统计了每

个人连续三年视力检查的结果,并将所得数据处理后,制成折线统计图和扇形统计图,如图所示.

被抽取学生视力在4.9

被抽取学生2008年的视力分布情况 A 40% B 30% C D10% 20% A:4.9以下 B:4.9～5.1 C:5.1 ～5.2 D:5.2以上 (每组数据只含最小值不含最大值) 人数 以下的人数变化情况

800 500 300 0 2006 2007 2008

(1)

时间(年)

解答下列问题:

该市共抽取了多少名九年级学生?b

若该市共有8万名九年级学生,请你估计该市九年级视力不良(4.9以下)的学生大约有多少人?

根据统计图提供的信息,谈谈自己的感想(不超过30字).

03.(杭州)统计2010年上海世博会前20天日参观人数,得到如下频数分布直方图(部未完

成):

上海世博会前20天日参观人数的频数分布直方图 ⒈请补全频数分布表和频数分布直方图;

⒉求出日参观人数不低于22万的天数和所占的百分比;

⒊利用以上信息,试估计上海线世博会(会期184天)的参观总人数.

组别(万人) 组中值(万人) 频数 频率 7.5～14.5 11 5 0练习巩固. 反馈提高 .25 01．全世界受到威胁的动物种类数,如下表: 14.5～21.5 6 0.30 21.5～28.5 28.5～35.5 动物分类 25 32 .30 3 哺乳类 鸟类 爬行类 两栖类 鱼类 无无脊椎动物类 0数的

万人)

受到威胁的种类 约1100 约1100 约300 约100 约700 约1900 对于这一组数据一般不用的统计图是( )

A． 扇形统计图 B条形统计图 C．拆线统计图 D．都不可以

02．1994年以后我国历次人口普查情况如下表:

年份 1953 1964 1982 1990 2000 人口/亿 5.49 6.95 10.08 11.34 12.95 对于这一组数据一般不用的统计图是( ) 03.下列抽查必须用抽样调查方式来收集数据的个数为( )

①检查一大批灯泡使用寿命的长短;②调查某一城市居民家庭收入状况;③了解全班学生的身高情况;④检查某种药品的疗效.

A．1个 B． 2个 C．3个 D．4个

04.(济南)如图所示,表示某校一位初三学生平时一天的作息时间安排,临近中考他又调整

了自己的作息时间,准备再放弃1个小时的睡觉时间,原运动时间的的

1和其它活动时间21,全部用于在家学习,那么现在用于在家学习的时间是( ) 2A．3.5小时 B．4.5小时 C．5.5小时 D．6小时 05.(武汉)近几年来,国民经济和社会发展取得了新的成就,农村经济快速发展,农民收入不

断提高.如图统计的是某地区2004～2008农村居民人均年纯收入.根据图中信息,下列判断:①与上一年相比,2006年的人均年纯收入增加的数量高于2005年人均年纯收入

35783255100%3255增加的数量;②与上一年相比,2007年人均年纯收入的增长率为;

③若按2008年人均年纯收入的增长率计算,2009年人均年纯收入将达到

41403578414013578元.其中正确的是( )

A．只有①② B．只有②③ C．只有①③ D．只有①②③

小时 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

5000 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 人均年收入/元 4140 3587 3255 2622 2936 年2004 2005 2006 2007 2008

(第5题图)

份

在学校在家学习(第4题图)

睡觉运看动电视其它活动内容

06.(绍兴)如图是小敏五次射击的折线图,根据图中信息,则此五次成绩的平均数是_____

环.

07.(重庆)在暑期社会实践活动中,小明所在小组同学与一家玩具生产厂家联系,给该厂组

装玩具,该厂同意他们组装240套玩具.这些玩具分为工A、B、C三种型号,它们的数量比例以及每人每小时组装各种型号玩具的数量如图.若每人组装同一型号玩具的速度都相同,根据以上信息完成下列填空:

(1)从上述统计图可知,A型玩具有______套,B型玩具有_____套,;

(2)若每人组装A型玩具16套与组装C型玩具12套所花的时间相同,那么ɑ的值为____,每人每小时组装C型玩具______套.

成10 (环) 9 8 76 0A型55% B型 C型25% A B C 项目

(7题图2)

绩8 2a－2 a

08.(浙江)衢州市的总面积是8837平方千米,总人口是247万人(截至2006年),该市有6个

县(市、区)，统计各县（市、区）的行政区域面积及平均每万人拥有面积如图所示• ⑴行政区域面积最大的是哪个县（是、市、区），这个县（市、区）约有多少面积？（精确到1平方米）

⑵衢州市的人均拥有面积是多少（精确到1平方米），6个县（市、区）中有几个县(市,区)的有均拥有面积超过衢州市人均拥有面各积? (3)江山市约有多少人(精确到1万人)?

1 2 34(第6题图)

5

次 (7题图1)

衢州市各县（市、区）行政区域面积统计图

龙游县

面积/平方千米

开化县25.17% 12.88% 柯城区6.89%

（2）

常山县12.44% （1）衢江区19.78%江山市22.84%

09.(深圳)某商场对今年端午节这天销售A、B\\C三种品牌粽子的情况进行了统计，绘制如

图所示的统计图•根据图中信息解答下列问题：

销售量（个） 1200 1400 1200 1000 C品牌 800 ５０% 600 400 400 品牌 200

0 A品牌 B品牌 C品牌

哪一种品牌粽子的销售量最大？ 补全图中的条形图；

写出A品牌粽子在图中所对应的圆心角的度数；

根据上述统计信息，明年端午节期间该商场对A、B、C三种品牌的粽子如何进货？请你提一条合理化的建议• 10.(苏州)2007年5月30日.‘‘六一”国 际儿童节来临之际,某初级中学开展了向山区“希

望小学”损赠图书活动国.全校1200名学生每人捐赠一定数量图书.已知各年级人数比例分布扇形统计图如图(1)所示.学校为了了解各年级捐赠情况,从各年级随机抽查了

部分学生,进行了捐赠情况的统计调查,绘制成如图(2)的频数分布直方图.

人均捐赠(册) 七年级35% 八年级30% 九年级35% (1)

(2)

0 七八九年年年级 级 级 6 5 4.5 年级

根据以上信息解答下列问题:

从图(2)中,我们可以看出人均捐赠图书最多的是______年级; 估计九年级共捐赠图书多少册? 全校大约共捐赠图书多少册?

11.(济南)新华社4月3日发布了一则由国家安全生产监督管理局统计的信息:2003年1月

至2月全国共发生事故17万多起,各类事故发生具体统计如下:

事故类型 事故数量 1962 1417 115815 173967 死亡人数 (单位:人) 610 1409 1639 17290 20948 死亡人数占各类事故总死亡人数的百分比 火灾事故(不含森林、草原火灾) 54773 铁路伤亡事故 工矿企业伤亡事故 道路交通事故 合计 请你计算出各类事故死亡人数的百分比,并填入上表(精确到0.01);为了更清楚地表示出问题①中的百分比,请你画出扇形统计图;

请根据你所学的统计知识提出问题(不需作解答也不要解释,但所提的问题应是利用表中所提供数据能不解的.) 培优升级 奥赛检测

01．观察市统计局公布的“十五”时期重庆市农村居民的年人均收入每年比上年增长率的

统计图,下列说法正确的是( )

A,2003年农村居民人均收入低于2002年

B．农村居民年人均收入每年比上年增长率低于9%的有2年. D．农村居民年人均收入每年比上年的增长率有大有小, C．农村居民年人均收入最多的是2004年 但农村居民年人均收入在持续增加.

02．一般地,家庭用电量(千瓦时)与气温(℃)有一定的的

关系.图(1)表示某年12个月中每月的平均气温;图(2)表示某家庭在这年12个月中每月的用电量.根据图中信息得到下列判断:(1)气温最高时,用电量最多;(2)气温最低时,用电量最少;(3)当气温大于某一值时,用电量随气温升高而增加(或降低而减少);(4)当气温小天某一值时,用电量随气温降低而增加(或升高而减少).其中正确的判断共有( ).

A．4个 B．0个 C．2个 D．1

30 25 20 15 10 5 气温 (图1) 月份

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

140 用电量 （图2） 120 100 80 60 40 20 月份 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

03．菱湖是全国著名的淡水鱼产地，某养鱼专业户为了估计他承包的鱼塘有多少条鱼（假

设这个塘里养的是同一种鱼），先捕上１００条做标记，然后放回鱼塘里，过了一段时间，待带标记的鱼完全和鱼塘里的鱼混合后，再捕上１００条，发现其中带标记的鱼有１０条，鱼塘里大约有鱼（ ）•

A1600条 B．1000条 C．８００条 D．６００条 04．（浙江）某住宅小区六月份中１日至６日每天用水量变化情况如图，那么这６天的平均

用水量是（ ）•

A．30吨 B．３１吨 C．３２吨 D．３３吨

05．(聊城)如图所示，是某企业６月份各项支出金额占该月总支出金额的比例情况统计图，

该月总支出金额为４０万元，７月份由于原料提价需增加１万元支出•如果在总支出金额不变的情况下，压缩管理支出，那么７月份绘制的统计图中，管理支出所占区域的扇形圆心角度数为（ ）•

A．25° B．27° C．30° D．36°

06．(第九届“华北赛”试题)下表是2004年１月５日世界部分城市的气温： 东莫法纽旧曼悉北卡开伦巴柏罗汉圣温京 斯兰约 金谷 尼 京 拉罗 敦 黎 林 马 城 地哥科 克山 奇 尼 华 福 5 -6 -5 4 5 23 15 -2 11 9 2 -7 -9 3 -1 12 -8 表中单位是摄氏度，这些城市中平均气温是_________度，气温最低的城市是___________.

07．新华高科技股份限公司董事会决定今年用１３亿资金投资发展项目，现有６个顶目可

供选择•每个项目或者被全部投资，或者不被投资，各项目所需投资金额和预计平均收益如下表：

项目 A B C D E F

投资（亿元） 收益（亿元） 5 2 6 0.6 .4 4 0.9 6 081

0.55 0.4 如果要所有投资的项目的收益总额不得低于1.6亿元，那么应当选择投资的项目是____时，投资的收益额最大•

08．如图中的折线，ABC为甲地向乙地打长途电话所需付的电话费y(元)与通话时间t(分

钟)之间的函数关系的图像，从图中可知，通话2分钟需付电话费______元，通话4分钟需付电话费______元•

09.（第十五届希望杯初一）某地上半年降雨量如图所示，那么在该地25平方米范围内，

上半年平均每日降雨________立方米•

24 y(元) 4.4

A B 2.4

t(分钟)

1 2 3 4 5 6 (第8题图)

1

2 3 4 5 (第9题图)

6

C mm 12 10 5 18 15 月

10.（南平）为了帮助贫困失学儿童，某团市委发起“爱心储蓄”活动，鼓励学生将自己压岁

钱和零花钱存入银行，定期一年，到期后可取回本金，而把利息捐给贫困儿童，其中共有学生1200人，如图甲所示，是该校各年级学生人数比例分布的扇形统计图，乙图是该校学生人均存款情况的条形统计图•

⑴九年级学生人均存款多少元？ ⑵该校学生人均存款多少元？

⑶已知银行一年期定期存款的年利率是2.25%（“爱心储蓄”免收利息税），且每351元能提供给一位失学儿童一学年的基本费用，那么该校一学年能帮助多少贫困失学儿童？

11．快乐公司决定按图给出的比例，从甲、乙、丙三个工厂共购买200件同种产品A，已知

这三个工厂生产的产品A的优品率如表所示：

⑴求快乐公司从丙厂购买多少件产品A？

⑵求快乐公司所购买的200件产品A的优品率；

⑶你认为快乐公司能否能过调整从三个工厂所购买的200件产品A，使其优品率上升3%，若能，请问应从甲厂购买多少件产品A？请说明理由•

12．（江西）某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评•A、B、

C、D、E五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评价，全班50位同学参与了民主测评，结果如下表所示：

规则：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；民主测评得分＝“好”票数2分+“较好”票数1分+“一般”票0分；

综合得分＝演讲答辩得分(1a)民主测评得分a(0.5a0.8)

⑴当a0.6时，甲的综合得分是多少？

⑵a在什么范围内时，甲的综合得分高？a在什么范围内时，乙的综合得分高？ 13．（辽宁）初中生的视力状况受到全社会的广泛关注，某市有关部门对全市3万名初中生

的视力状况进行了一次抽样调查，图中是利用所得数据绘制的分布直方图（长方形的高表示该组人数），根据图中所提供的信息回答下列问题：

⑴本次调查共抽测了多少名学生？ ⑵在这个问题中样本指什么？

⑶如果视力在4.95.1（含4.9，5.1）均属正常，那么全市有多少初中生的视力正常？ 14．（“祖冲之杯”初中数学竞赛题）某校学生参加数学竞赛的有120名男生、80名女生，参加英语竞赛的有120名女生、80名男生•已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科竞赛都参加了，那么参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生人数是多少人？