吉林一中2014-2015学年高二下学期期末数学理试卷

数学理测试试卷

考试范围：XXX；考试时间：100分钟；命题人：XXX

学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________ 题号 得分 一 二 三 总分 注意事项： 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上 评卷人 得分 一、单项选择（注释）

1、抛物线y2x2的准线方程是( ) A.x

1111 B.y C.y D.y 2828x2y22、双曲线221的两条渐进线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )

abA、2 B、3 C、2 D、

3、在平面直角坐标系xoy中，抛物线C:y22px(p0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积9，则p=（ ） A．2 B．2 C．3 D．3 4、函数f(x)x3ax在[0,)上是减函数，则a的取值范围是（ ） A．,0 B．,0 C．0, D．0,

5、已知fx是可导的函数，且fxfx对于xR恒成立，则（ ） A、f(1)ef(0),f(2015)e2015f(0) B、f(1)ef(0),f(2015)e2015f(0)

3 2C、f(1)ef(0),f(2015)e2015f(0) D、f(1)ef(0),f(2015)e2015f(0)

6、若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为 （ ） A．4xy30 C．4xy30

B．x4y50 D．x4y30

1ax（ ） 7、已知a1，则limx23axA．

1111 B． C．或 D．不存在 2323x2y21(a5)的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|8，弦AB过点F1，8、已知椭圆225a则△ABF2的周长为（ ）

（A）10 （B）20 （C）241（D） 441

9、若a＝(0,1，－1)，b＝(1,1,0)，且(a＋λb)⊥a，则实数λ的值为( )． A．－1 B．0 C．1 D．－2

x2y210、过双曲线221a0,b0的左焦点Fc,0作圆x2y2a2的切线，切点

ab为E，延长FE交抛物线y24cx于点P，O为原点，若OE的离心率为（ ） A．

11、已知函数f(x)exalnx的定义域是D，关于函数f(x)给出下列命题： ①对于任意a(0,)，函数f(x)是D上的减函数； ②对于任意a(,0)，函数f(x)存在最小值；

③存在a(0,)，使得对于任意的xD，都有f(x)0成立； ④存在a(,0)，使得函数f(x)有两个零点．

1OFOP，则双曲线23315135 B． C． D． 3222其中正确命题的序号是( )

A．①② B．②③C．②④ D．③④

x2y2y221有公共的焦点，C1的一条12、已知椭圆C1:221(a＞b＞0)与双曲线C1:xab4渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则（ ） （A）a2

评卷人 131 （B）a213 （C）b2 （D）b22 22得分 二、填空题（注释）

13、双曲线8kx2ky28的一个焦点为(0,3)，则k的值为______________。

14、若不等式|ax3lnx|≥1对任意x(0,1]都成立，则实数a取值范围是__________．

15、设A、B为在双曲线面 积的最小值为______ 16、设曲线y评卷人 上两点，O为坐标原点.若OA丄OB,则ΔAOB

2cosx在点(,2)处切线与直线xay10垂直，则a

sinx2三、解答题（注释）

得分 17、在平面直角坐标系中,已知一个椭圆的中心在原点，左焦点为F(3,0),且过

D(2,0)．

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若P是椭圆上的动点，点A(1,0)，求线段PA中点M的轨迹方程

18、一物体沿直线以速度v(t)2t3（t的单位为:秒,v的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程?

19、已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,22),F2(0,22),离心率e

22，求椭圆的标准3方程.

x2y21320、已知椭圆C: 4的右焦点为F,左顶点为A,点P为曲线D上的动点,以PF为直

径的圆恒与y轴相切.

(I)求曲线D的方程;

(II)设O为坐标原点,是否存在同时满足下列两个条件的ΔAPM?①点M在椭圆C上;②点O为ΔAPM的重心.若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.(若三角形 ABC的三点坐标为

x1x2x3y1y2y333A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则其重心G的坐标为,))

21、由原点O向三次曲线yx33ax2bxa0引切线，切于不同于点O的点

P1引此曲线的切线，切于不同于P1的点P1x1,y1,再由P2x2,y2,如此继续地作下

去，…，得到点列Pnxn,yn,试回答下列问题： （Ⅰ）求x1;

（Ⅱ）求xn与xn1的关系；

（Ⅲ）若a>0, 求证：当n为正偶数时，xna;当n为正奇数时，xna. 22、已知函数f(x)mx,(m,nR)在x1处取得极小值2． x2n（1）求函数f(x)的解析式； （2）求函数f(x)的极值；

（3）设函数g(x)x22axa，若对于任意x1R，总存在x2[1,1]，使得

g(x2)f(x1)，求实数a的取值范围．

参考答案

一、单项选择 1、【答案】D

【解析】 2、【答案】 C

【解析】

3、【答案】B 【解析】 4、【答案】B

【解析】 5、【答案】D

fxfxexfxexfxfx【解析】令hxx，则hx，由于xx2eeefxfx,ex0对于xR恒成立，所以hx0在R上恒成立，所以hx减函数，f1f00，即fxef0；

eef2015f02015，即f2015ef0. 20150eefx为

ex6、【答案】A

【解析】设切点为，因为切线l与直线x4y80垂直，故其斜率为4，又yx4（x0,y0）3的导数为y4x3，所以y|xx04x04，所以x01，所以y01，所以l的方程为

4xy30.

7、【答案】A 【解析】 8、【答案】D 9、【答案】D

【解析】a＋λb＝(λ，1＋λ，－1)． 由(a＋λb)⊥a，知(a＋λb)·a＝0， 所以1＋λ＋1＝0，解得λ＝－2． 【解析】 10、【答案】B 【解析】

11、【答案】C

x）ex【解析】由对数函数知：函数的定义域为：（0，+∞），f（x）ex∴f（a①∵a∈（0，+∞）xa≥0，是增函数．所以①不正确， xax）ex=0，可以判断函数有最小值，②正确． ②∵a∈（-∞，0），∴存在x有f（x③画出函数

y=ex，y=alnx

的图象，如图：显然不正确.

④令函数y=e是增函数，y=alnx是减函数，所以存在a∈（-∞，0），f（x）=e+alnx=0有两个根，正确． 故选C. 12、【答案】C

【解析】考察圆锥曲线相关综合知识，考察学生的分析能力和计算能力。首先画出示意图，

22由已知条件可知a-b=5，以双曲线的一条渐进线y=2x为例，由图形的对称性可知y=2x

x

x

x2y2与椭圆C1:221(a＞b＞0)、圆x2y2a2在第一象限的交点横坐标之比为1:3，

aba2(a25)a2:1:3，求出a211，故b21，选C。 2即5a5522二、填空题

13、【答案】8kx2ky28

y2x2811,()9,k1 【解析】焦点在y轴上，则81kkkk14、【答案】

【解析】

axlnx

3a2b215、【答案】2

ba2

【解析】设直线OA的方程为ykx，则直线OB的方程为y1x， kykx22222ababk2222则点Ax1,y1满足x故， x,yy11222222bakbak221ba∴OAx12y12故OAOB2221kab222b2a2k222222，同理OB222221kab222k2b2a2，

1kab1kabbak2kba22a4b4a2b2a2b22k22

k21∵

k2k212211（当且仅当k1时，取等号） 1k2224k∴OAOB

24a4b4b2a22，又ba0，故SAOBa2b21. OAOB的最小值为2ba2216、【答案】a1. 【解析】

三、解答题

17、【答案】解：(1)由已知得椭圆的半长轴a2,半焦距c3,则半短轴b1．

x2y21 又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为4(2)设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(x0,y0)，

x01xx02x12由，得

yy2y0y02(2x1)2(2y)21, 因为点P在椭圆上,得

4∴线段PA中点M的轨迹方程是(x)24y21． 【解析】

12

18、【答案】

【解析】

19、【答案】

F1(0,22),F2(0,22)

x2y2【解析】设椭圆方程为221(ab0)，

ba由已知c22,c22，b2c2a2 a3y2a3,b1，椭圆方程为x21

9

20、【答案】解:(Ⅰ)设P(x,y),由题知F(1,0),所以以PF为直径的圆的圆心E(则

x1y,), 22|x1|11|PF|(x1)2y2, 222整理得y24x为所求. (Ⅱ)不存在,理由如下:

y12x22y22,y1)(y10),M(x2,y2),由条件①知1, 若这样的三角形存在,由题可设P(434由条件②得OAOPOM0,又因为点A(2,0),

y1233x220,y22x220,故x22x220, 所以4即

4164yy0,12解之得x22或x210(舍), 3当x22时,解得P(0,0)不合题意, 所以同时满足两个条件的三角形不存在.

【解析】

21、【答案】（Ⅰ）解：由yx33ax2bx1得y/3x26axb,

过曲线（1）上点P1x1,y1的切线l1的方程是

y-x133ax12bx1=3x126ax1b（x-x1）,（x10） 由它过原点，有x133ax12bx1x13x126ax1b,

即2x133ax12x10,故x13a. 2（Ⅱ）过曲线（1）上点Pn1xn1,yn1的切线ln1的方程是

yxn133axn12bxn13xn126axn1bxxn1

由ln1过曲线1上的点Pnxn,yn,有

xn33axn2bxnxn133ax2n1bxn13xn126axn1bxnxn1,

∵xnxn1,以xnxn1除上式并化简得，

13xn2xn13a0.即xn1xna.

22131（Ⅲ）由xn1xna.得xn1axna

222a1故xna是以x1a为首项，公比为-的等比数列，

22a1∴xna22∵a>0,

n11n,即xn1a.

21n1n∴当n为正偶数时，xn1a1aa;

221n1n当n为正奇数时，xn1a=1aa。

22【解析】

22、【答案】解：（1）∵函数f(x)mx,(m,nR)在x1处取得极小值2 x2n∴f(1)2

f'(1)0

m2①m(x2n)2mx2mnmx2又f'(x) ∴ 1n2222(xn)(xn)mnm0②由②式得m=0或n=1，但m=0显然不合题意 ∴n1，代入①式得m=4 ∴m4,n1 经检验，当m4,n1时，函数f(x)在x1处取得极小值2 ∴函数f(x)的解析式为f(x)4x x214(x1)(x1) 22(x1)（2）∵函数f(x)的定义域为R且由（1）有f'(x)令f'(x)0，解得：x1

∴当x变化时，f(x),f'(x)的变化情况如下表：

x (,1) — 减 -1 0 极小值-2 (1,1) + 增 1 0 极大值2 (1,) — 减 f'(x) f(x) ∴当x1时，函数f(x)有极小值-2；当x1时，函数f(x)有极大值2 （3）依题意只需g(x)minf(x)min即可． ∵函数f(x)4x在x0时，f(x)0；在x0时，f(x)0且f(0)0 2x1∴ 由（2）知函数f(x)的大致图象如图所示：

∴当x1时，函数f(x)有最小值-2

又对任意x1R，总存在x2[1,1]，使得g(x2)f(x1) ∴当x[1,1]时，g(x)的最小值不大于-2

又g(x)x22axa(xa)2aa2

①当a1时，g(x)的最小值为g(1)13a ∴13a2得a1； ②当a1时，g(x)的最小值为g(1)1a ∴1a2得a3；

③当1a1时，g(x)的最小值为g(a)aa2 ∴aa22得a1或a2 又∵1a1 ∴此时a不存在 综上所述，a的取值范围是(,1][3,)． 【解析】