随机环境下ARCH模型的几何遍历性

第２６卷第５期（２ＯＬＯ）　河西学院学报　Ｖｏ１．２６　Ｎｏ．５（２０１０）　随机环境下ＡＲＣＨ模型的几何遍历性　蔺海新　（河西学院数学系，甘肃张掖７３４０００）　摘要：本文对随机环境下的非线性自回归条件异方差（简记为ＡＲＣＨ（Ｐ））模型进行了分析，运　用一般状态空间马氏链的有关知识和方法，研究由其决定的时间序列｛墨）的（伴随）几何遍历性．　关键词：非线性时间序列；随机环境；ＡＲＣＨ模型；伴随几何遍历性；马氏链　中图分类号：０２１１．６１　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７２—０５２０（２０１０）０５－０ＯＯ９－０５　１　引言　考虑如下非线性自回归时间序列模型：　２三　篓２　，　其中：ａ０＞ｏ，口　ｏ，ｉ＝１，２，…，Ｐ，．［　，ｔ　０）是ｉ．ｉ．ｄ的随机变量序列，满足Ｅ８，＝０，Ｅ８　＝１．该模　型称为ＡＲＣＨ（ｐ）（Ａｕｔｏｒｅｇｒｅｓｓｉｖｅ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌ　ｈｅｔｅｒｏｓｃｅｄａｓｔｉｃｉｔｙ）模型．２０多年来，该模型无论是在理　论研究还是在实际应用中都得到了长足的发展．然而，在以往的研究中，随机模型的延滞一般是固定　的，为了更好的反映出其延滞长度受到随机因素的影响而可能变化的现实，受文［１］的启发，考虑　如下带随机延滞的时间序列ＡＲＣＨ（ｐ）模型．　本文应用一般状态空间马氏链的有关理论和方法，分别得到了随机环境下ＡＲＣＨ模型在Ｅ占　和　Ｅ　ｌ＜ｏｏ的条件下判定该模型（伴随）几何遍历的充分性条件．　２模型描述及基本引理：　设（Ｑ，Ｆ，Ｐ）是—个概率空间，Ｐ是—个正整数，　记ｐ维正实数空间，　为　上的Ｐ维Ｂｏｒｅｌ　一代　数．　令Ｅ＝｛ｌ，２…，Ｐ）是一个有限集合，Ｈ记Ｅ的所有子集生成的　一代数，｛ｚ（ｔ），Ｔ　Ｏ）是一个定　义在ｌ（Ｑ，Ｆ，Ｐ）上的不可约、非周期的马氏链，它的状态空间为（Ｅ，日）．　定义１设　（ｔ＋１）＝８。（ａｏ＋ａｌｘ２（ｔ）＋…＋ａｚ（ｔ＋１）　２（ｔ—　（　＋１）））　，　（２）　其中ａｏ＞０，ａ‘　０，ｉ＝１，２，…，　（￡＋１）且有　（ｉ）＇［　，ｔ　０）是　．ｉ．ｄ的随机变量序列，满足Ｅ　＝ｏ，Ｅ占　＝１或Ｅ　Ｊ＜∞　有几乎处处为正的　收稿日期：２０１０一Ｏ１—１３　作者简介：蔺海新（１９７４一）。男，甘肃高台人，河西学院数学系讲师，硕士．研究方向：时间序列分子．　・９・　蔺海新：随机环境下ＡＲＣＨ模型的几何遍历性　下半连续的概率密度函数　；　（ｉｉ）｛ｚ（￡），ｔ≥１）与｛ｓ　，ｔ　１）相互独立；　（ｉｉｉ）．［Ｚ（　，ｔ　１）与ｔ　。，ｓ＜ｔ）相互独立；　ｌＩ又　Ｐ　ｒＬ　占　口　＋　口　（ｉｖ）｛８　，ｔ　１）与．［ｘ。，ｓ＜ｔ）相互独立；　则（２）式定义的非线性时间序列模型为随机环境下的非线性时间序列模型．　令　（ｔ）＝（　（￡），　（ｔ一１），…，　（ｔ—Ｐ＋１））．　２～　设马氏链｛ｚ（ｔ），ｔ　１）的初始值为Ｚ（１）＝ｉ，（ｉ∈Ｅ），ｚ（￡），ｔ　１的一步转移概率为；　ｐ　＝ｐ（ｚ（ｔ＋１）＝　Ｉ　ｚ（ｔ）＝ｉ），Ｖｔ　１，ｉＪ∈Ｅ．　定义２对于模型（２），称序列（　（￡），ｚ（ｔ），ｔ　Ｉ）是模型（２）的导出序列．　＋　（３）　＋　定义３设模型（２）有唯一不变的概率分布Ｆ，且对初始状态　：（　（Ｏ），　（一１），…，　（一Ｐ＋　÷　１））∈Ｒｐ，（　≠０），由模型（２）产生的序列｛　（ｔ），ｔ　１）的概率分布记为　，如果存在常数Ｐ：０＜　．　Ｐ＜１，使得！ｉｍｐ　Ｉ　—Ｆｉ　＝０则称模型（２）为伴随几何遍历的．　３主要结果　引理１模型（２）的导出序列｛　（ｔ），Ｚ（ｔ），ｔ　１）是一个定义在概率空间（Ｑ，Ｆ，Ｐ）上的，以　（Ｒｐ　Ｘ　Ｅ，　Ｘ　Ｈ）为状态空间的时间齐次马氏链．　证明设　—Ａ＝Ａｏ　Ｘ　Ａ１　Ｘ…Ｘ　Ａｐｌ∈　｛　七，　七１，…一，ＶＡ　Ｘ｛　）∈　　一　×Ｈ，．［　Ｉ，　－ｌ，　Ｉ，　）∈　×Ｅ，　＋１，　）∈ＲＰ＋×Ｅ，　＝ｔ一１，ｔ一２，…，１．　根据假设ｔｚ（ｔ），ｔ　１）是不可约的，因此，对（Ｅ，日）上的任一测度　，｛ｚ（￡），ｔ　１）是Ａ不可约　的，适当选取一个测度，仍记为　，当它满足：Ｖ　Ａ（｛　））＞０时，可以导出一个定义在　（　×Ｅ，日　×日）上的测度　×Ａ，这里　为（　，　）上的Ｌｅｂｅｓｇｕｅ测度，使得　（Ａ）＞０包含　×　Ａ（Ａ　Ｘ　ｔ￡））＞０，Ａ∈Ｂ　，ｉ∈Ｅ，故　Ｐ（　（ｔ＋１），ｚ（ｔ＋１）∈Ａ　Ｘ（　）ｆ（　（ｔ），Ｚ（ｔ））＝（　ｌ，…，　一　＋ｌ。‘），　（　（　），ｚ（　））＝（　，…　一　＋。，ｉｋ），｜ｊ｝＝ｔ一１，…，１】＿　＝Ｐ｛ｘ　ｌ∈Ａｏ，…　，叩∈Ａｐ，ｚ（ｔ＋１）＝Ｊｌ（ｘ（ｔ），ｚ（ｔ））＝（　１，…，　，一　＋ｌ，ｉ），　（　（　），Ｚ（后））＝（　，…，　一　＋。，ｉｌ），　＝ｔ一１，…１）　∈Ａｏ，　。∈Ａ１，…，　卜　＋Ｉ∈Ａｐ，ｚ（ｔ＋１）＝　Ｉ　ｚ（ｔ）＝ｉｔ，　Ｐ｛（ｘ（ｔ＋１），Ｚ（ｔ＋１））∈Ａ　Ｘ（　）ｌ（ｘ（ｔ），Ｚ（ｔ））＝（　，…，　＋　，ｉ））　＝Ｐ｛Ｘ　＋１∈Ａ０，　。Ｅ　Ａｌ，…　Ｐ∈Ａｐ，ｚ（ｔ＋１）＝　Ｉ（　（ｔ），ｚ（ｔ））＝（　，…　ｐ＋ｌ，ｉ））　＝Ｐ｛ｅ　（口０＋口ｌ口Ｉ一１　＋…＋　）－Ｉ－∈Ａ０，　。∈Ａ１，…，　‘Ｐ∈ＡＰ，Ｚ（ｔ＋１）＝　ｌ　ｚ（ｔ）　＝　），　一所以｛　（ｔ），ｚ（ｔ），ｔ　１）为马氏链，由　的平稳性知道，它是时间齐次的．证毕．　为了研究模型（２）的（伴随）几何遍历性，首先必须研究由模型（２）所确定的时间序列的不　可约性和非周期性以及怎样的集合是小集的问题，为此，给出下面的引理．　引理２模型（２）的导出序列｛　（ｔ），Ｚ（ｔ），ｔ　１）是　＋。Ｘ　Ａ不可约和非周期的．　引理３　设Ａ是Ｂ　。中的一个有界集合且　＋。（Ａ）＞０，则Ｖｉ∈Ｅ，Ａ×｛　），是马氏链　｛　（￡），Ｚ（ｔ），ｔ　１）的小集．　证明关于引理２，３的证明可参见文献［２］中命题２．１．１的证明．　定理１对ＡＲＣＨ（ｐ）模型（２），若Ｅ　＝０，Ｅ８　＝１，且童口　＜１，则模型（２）的导出序列　・１０．　河西学院学报　２０１０年第５期　｛　（￡），ｚ（ｔ），ｔ　１】．是几伺遍历的．　证明在定理及模型（２）本身所满足的条件（ｉ）下，由引理１，２，３知　ｆｘ（ｔ），ｚ（ｔ），￡　１）是一个　Ｘ　Ａ不可约和非周期的马氏链，且对　中任一有非零测度的相对紧集　Ａ，以及Ｖ　ｉ∈Ｅ，Ａ×．［　），是一个小集．　取ｇ（Ｙ，　）＝Ｙ　＋６ｌ　＋ｂ２），２３＋…＋ｂｐ＿１　２，Ｙ＝（ｙｌ，Ｙ２，…，　）Ｅ　，　其中ｂ　＞０，（ｉ＝１，２，…，Ｐ一１）为常数．　研ｇ（置　Ｚ　）ｌ（置，Ｚ　）＝（，，，ｉ）】＝Ｅ［ｇ（Ｘ－，Ｚｔ）ｌ（　，Ｚｏ）＝（，，，ｉ）】　荟Ｐ　【ｇ（口。＋　２－占２－＋　ｚ２８２－＋．．’＋　ｙ　２，　…，　ｔ＿Ｐ　）Ｉ（　（ｏ），ｚ（０））＝（），，　）】　＝三三　Ｐ　．【Ｅ．【００＋口。ｙ２，８２。＋口２　２　２２＋…＋　８　）＋６ｔ，，２－＋…＋　一ｔ　）　≤口０＋（口。＋ｂ。），，　＋（口２＋６２）　＋…＋（　一。＋ｂ，一。）　一。＋（　＋　）　＋６１　２＋丁ａ２＋ｂ２　２＋．．．＋　ｂｐ－２　＿ｌ＋丢６Ｐ＿。　．　因为∑　＜１，所以可以令满足：　ａｌ＋ｂｌ＜１，　＜　：２，３，…，ｐ一１，　Ｄｉ—ｌ　，　＜１，’　，　取ｐ　叫　，…，　，击）　么。＜ｐ　因此　ｇ（置小Ｚ川）Ｉ（置），Ｚ　）＝（，，，ｉ）】　Ｐｇ（Ｙ）＋ａｏ．　取足够大的常数口，使得Ｐ＋　＜１，集合Ａ＝｛，，Ｊｇ（ｙ）　口），那么是有界集且　（Ａ）＞０．　令ｒ＝Ｐ＋　，ｙ＝　＝口＋　那么０＜ｐ＜ｒ＜１．　Ｅ【ｇ（置＋．，ＺＩ＋１）ｌ（　，Ｚ。）＝（ｙ，ｉ）】　Ｐｇ（Ｙ）＋ａｏ＝Ｂ，Ｙ∈Ａ，　Ｅ【ｇ（　＋。，Ｚ　１）ｌ（五，Ｚ　）＝（，，，　）】≤Ｐｇ（Ｙ）＋ａ０＝ｒｇ（ｙ）一ｒ—ｐ）ｇ（ｙ）＋ａ０，　（ｙ）一　，Ｙ隹Ａ．　故由文［２］定理４．１．１２知，｛（ｘ　，ｚ。））是几何遍历的．　下面证明模型（２）是伴随几何遍历的．　定理２模型（２）的导出序列｛（ｘ。，Ｚ　），ｔ＿１）是几何遍历的，则模型（２）是伴随几何遍历的．　证明由于｛（Ｘ，Ｚ。），ｔ≥１）是几何遍历的，根据几何遍历性定义知，存在一个（　×Ｅ，６　×ｍ上　的概率测度仃以及常数Ｐ：０＜Ｐ＜１，使得　Ｖ（Ｙ，　）∈ＲＰ＋×Ｅ，ＩｉＭＰ一　ｌＩ　Ｐ　’（（　，ｉ），・）一仃（・）ｌＪ，＝０．　（４）　蔺海新：随机环境下ＡＲＣＨ模型的几何遍历性　设仃’：Ｖ　∈　，仃’（Ａ）＝　（　×Ｅ）是（　，Ｂ　）上的一个集函数，显然仃’是一个概率测度．　设Ｙ∈　，对Ｖ　Ａ∈　有　Ｐ．【　）Ｅ　Ａ　Ｉ　（ｏ）＝ｙ】．＝磊　尸Ｉｘ（ｔ）∈Ａ，ｚ（ｔ）＝ｊＩＸ（Ｏ）＝，，，ｚ（０）＝ｉｔＰ｛Ｚ（Ｏ）＝Ｉｘ（ｏ）＝，，｝　又　（５）　（６）　１Ｔ’（Ａ）　＝叮ｒ（ＡＸＥ）．　．　叮Ｔ（Ａｘ｛ｊ｝）Ｐ｛Ｚ（０）　＝ｉ　Ｉ　ｘ（０）　＝Ｙ｝．　】ＥＢｌｅＬ　由于Ｅ是一个有界集，由式（４），式（５），式（６）知　Ｉｉｍ　Ｐ　ｌｌ　Ｐ｛　（￡）∈Ａ　Ｉ　（Ｏ）＝，，］．一仃水（Ａ）ＩＩ　＝０・　（７）　一设（ｙ，ｉ）∈　×Ｅ，对Ｖ（曰，Ｄ）∈　Ｘ　Ｆ，　【Ｉ仃（（曰，Ｄ））一仃Ｐ（（曰，Ｄ））Ｉｌ　＝三；ＩＩ仃（（　，Ｄ））一Ｐ　（（　，ｉ），（　，Ｄ））ｆｆ＋ＩＩ　Ｐ　’（（ｙ，　），（刀，Ｄ））一　（（　，Ｄ））ＩＩ．　即　（（Ｂ，Ｄ））＝，丌Ｐ（（Ｂ，Ｄ））．因此，耵是一个不变概率测度．由订’的定义知，霄’是　｛ｘ（ｔ））的一个不变概率测度．由叮ｒ的唯一性知，叮Ｔ‘是唯一的．因此由叮Ｔ’的性质和式（７）知，　（２）是伴随几何遍历的．　定理３对ＡＲＣＨ（ｐ）模型（２），若满足Ｅ￡。＝Ｏ，Ｅ　Ｉ　８，Ｉ＜∞，　（√口ｌ＋√口２＋…＋＾／　Ｐ）Ｅ　ｌ占　ｌ＜１，　则模型（２）的导出序列ｆ　（￡），ｚ（ｔ），ｔ　１）是几何遍历的．　证明取ｇ（Ｙ，ｉ）＝ＪＹ。｝＋ｂ。Ｉ，，：Ｊ＋…＋ｂ　ＪＹ　Ｊ，　其中ｂｉ＞０，ｉ＝１，…，Ｐ一１且ｂ　为常数，ｂ。＝０．　层【ｇ（五　川）ｌ（　，ｚ　）＝（　，ｉ）】＝Ｅ［ｇ（Ｘ。，Ｚ，）｝（蜀，Ｚｏ）＝（，，，ｉ）】　＝　蚤ｐ　Ｅ（１占。ＩＪａｏ＋口　２－＋口ｚ　２＋…＋　）＋ｂ－ｌ　ｙ，Ｉ＋…＋　ｌ　一。Ｉ　ｓ　Ｅ（Ｉ占　ｌ＋ｂｔ　ｌ　ｙ。Ｉ＋．．。＋ｂＰ－１　。１）　≤Ｅ　（　＋　ｌｙ　ｉ＋　・＋　ｆ＋　＋ｂ　ｌｙ，ｆ＋．．・＋ｂ　ｆ　叫　郴　ｌ　＋６ｌ　】Ｉ＋　６１ｌ小…＋　Ｉ＋　Ｅ　Ｉ占。ｌ＾／／　：：。一　一　｝　｛‘　￣ｐ＝ｍａｘ｛　，华，…，　Ｅ　ｌ　＋　一　Ｅ　ｌ６Ｄ’Ｉ　Ｊ　，那么０＜Ｐ。　＜１，　剩余部分的证明完全类似于定理１相应部分的证明，故由文［２］定理４．１．２知，（（　，ｚ。））是几何遍　历的．　定理４在定理３的条件下，若｛（　Ｚ　））是几何遍历的，则模型（２）是伴随几何遍历的．　证明本定理的证明完全类似于定理３的证明，故省略．　・１２・　河西学院学报　２０１０年第５期　参考文献：　［１］朱敏，俞政．一类带随机延滞的非线性时间序列模型的极限行为［Ｊ］．河北工业大学学报，２００６，３５　（４）：４—８．　［２］安鸿志，陈敏．非线性时间序列分析［Ｍ］．上海：上海科学出版社，１９９８．　［３］盛昭瀚，王涛，刘德林．非线性时间序列模型的稳定性分析一遍历性理论与应用［Ｍ］。北京：科学出版　社。１９９３．　［４］Ｈｏｎｇｚｈｉ　Ａｎ，Ｍｉｎｇ　ｅｈｅｎ，Ｆｕｅｈｕｎ　Ｈｕａｎｇ．Ｔｈｅ　ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ｅｒｇｏｄｉｅｉｔｙ　ａｎｄ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｍｏｍｅｎｔｓ　ｆｏｒ　ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｔｉｍｅ　ｓｅｒｉｅｓ　ｍｏｄｅｌ［Ｊ］．Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ＆Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　Ｌｅｔｔｅｒｓ．１９９７，（３１）：２１３—２２４．　［５］Ｔｏｎｇ，Ｈ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｔｉｍｅ　Ｓｅｒｉｅｓ［ｃ］．Ａ　Ｄｙｎａｍｉｃａｌ　Ｓｙｓｔｅｍ　Ａｐｐｒｏａｃｈ．Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ　Ｏｘｆｏｒｄ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｐｒｅｓｓ，１９９０．　Ｔｈｅ　Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　Ｅｒｇｏｄｉｃｉｔｙ　ｏｆ　ＡＲＣＨ　Ｍｏｄｅｌ　ｕｎｄｅｒ　ｔｈｅ　Ｒａｎｄｏｍ　Ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ　Ｌｉｎ　Ｈａｉ—ｘｉｎ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｈｅｘｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈａｎｇｙｅ　Ｇａｎｓｕ　７３４０００）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ　ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ｅｒｇｏｄｉｃｉｔｙ　ｏｆ　ｈｔｅ　ＡＲＣＨ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ｉｓ　ｃｏｎｓｉｄ—　ｅｒｅｄ　ｕｎｄｅｒ　ｔｈｅ　ｒａｎｄｏｍ　ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ．Ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ　ｏｆ　Ｍａｒｋｏｖ　ｃｈａｉｎ　ｉｎ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｓｔａｔｅ　ｓｐａｃｅ，Ｗｈｅｎｅｌ　ｈａｓ　ｔｈｅ　ｆｉｒｓｔ—ｏｒｄｅｒ　ａｂｓｏｌｕｔｅ　ｍｏｍｅｎｔ　ｏｒ　Ｅｅ　＝１，Ａ　ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ｅｒｇｏｄｉｃｉｔｙ　ｉｓ　ｇｉｖｅｎ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｔｉｍｅ　ｓｅｒｉｅｓ　ｍｏｄｅｌ；Ｒａｎｄｏｍ　ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ；ＡＲＣＨ　ｍｏｄｅｌ；Ａｄｊｏｉｎ　ｇｅｏｍｅｔ—　ｔｉｃ　ｅｒｇｏｄｉｃｉｔｙ；Ｍａｒｋｏｖ　ｃｈａｉｎ　［责任编辑：张飞羽】　・ｌ３・