上海高三数学第一轮复习(3)三角

专题：三角综合★★

教学目标

1．理解三角公式，包括诱导公式，同角三角函数关系式和倍角公式等. 2．掌握并能灵活应用三角函数的图象及性质.

3．了解函数yAsin(x)的实际意义，能画出yAsin(x)的图像.

导入

正弦定理与余弦定理 同角三角比的关系 解斜三角形及其应用 任意角 的概念 角度制与 弧度制 任意角的 三角比 和 角 公 式 倍 角 公 式 诱 导公 式 弧长与扇形 面积公式 三角函数的 图象和性质 差 角 公 式 几个三角 恒等式 3 min.

化简、计算、求值 与证明 知识梳理

A． 三角比

1. 在弧度制下，扇形弧长公式l||R，扇形面积公式S弧度数；

2. 三角比的定义(注意定义域）:sin=

8 min.

11lR||R2，其中α为弧所对圆心角的22yxyrxr，cos=，tg=，ctg=，sec=，csc=； rrxxyyyPT各象限角的三角比符号: 记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦. 3.三角函数线:若02，则sintan

O 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.

MAx1

4. 诱导公式，奇变偶不变，符号看象限；

5. 同角关系:（1）平方关系(3个): sincos1,1tansec,1cotcsc

（2）倒数关系（3个）: tancot1,（3）商数关系（2个）: tan

6. 两角和与差的公式，

222222sincsc1,cossec1

sin sincos(cos0),cot(sin0) cossincos tan

1 cot

sec csc cos()coscossinsin cos()coscossinsin

sin()sincossincos sin()sincossincos

tan()7. 二倍角公式，

tantantantan tan()

1tantan1tantansin22sincos

cos2cos2sin22cos2112sin2

tan28.半角公式是：

2tan1tan2

cos21cos1cossin222 1cossin1cos1cos 1cossin

2tan29. 升幂公式是：1cos2cos221cos21cos22210. 降幂公式是：sin； cos；

22； 1cos2sin2；

2tan11. 万能公式：sin=

2 cos=

1tan21tan22 tan=22tan2；

1tan2

21tan222

12. 辅助角公式：

asinbcosa2b2(a22abba2b2sin(),其中tan;a13. 正弦定理：

sinbab22cos)

abc2R sinAsinBsinC214. 余弦定理第一形式：b=ac2accosB

22a2c2b2 余弦定理第二形式：cosB=

2acB.三角函数的图像与性质 1. y=sinx图像及性质

y=sinx-4-7-32-52-2-3-2-2y1-1o3222523724x

定义域：R; 值域：1,1; 最小正周期：T2； 奇偶性：奇函数； 单调递增区间：2k2,2k3,kz2k,2k,kz； ； 单调递减区间：222对称中心：（k,0）；对称轴：xk2. y=cosx的图像与性质

2; 最值：x2k2,ymax1；x2k3,ymin1 2y=cosx-4-72-5-32--2-32-2y1-1o2322523724x

定义域：R; 值域：1,1; 最小正周期：T2； 奇偶性：奇函数； 单调递增区间：2k,2k； 单调递减区间：2k,2k,kz； 对称中心：（k

3

2,0）；对称轴：xk; 最值：x2k,ymax1；x2k,ymin1

3. y = tanx的图像及性质

yy=tanx-32--2o232x

定义域：xxk,xR; 值域：R ; 最小正周期：; 奇偶性：奇函数； 2单调递增区间：k2,kk（； ,0）,kZ； 对称中心：

225. 函数yAsin(x)B（其中A0，0）的最大值是AB，最小值是BA，周期是

T2，频率是f，相位是x，初相是；其图象的对称轴是直线xk(kZ)，22凡是该图象与直线yB的交点都是该图象的对称中心； 6. 反三角函数 7. 1. 定义：

8. yarcsinx的定义域是[-1，1]，值域是[，]，奇函数，增函数；

229. yarccosx的定义域是[-1，1]，值域是[0，]，非奇非偶，减函数； 10. yarctanx的定义域是R，值域是(11. 2. 性质:

，)，奇函数，增函数； 22，1]时，sin(arcsinx)x，cos(arccosx)x； 12. 当x[113. sin(arccosx)1x2，cos(arcsinx)1x2 14. arcsin(x)arcsinx，arccos(x)arccosx 15. arcsinxarccosx2

16. 对任意的xR，有： tan(arctanx)x，arctan(x)arctanx， 17. 当x0时，有：cot(arctanx)18. 最简三角方程的解集：

1. x4

(1)a1时，sinxa的解集为；(2)a1时，sinxa的解集为xxn(1)narcsina，nZ;19. (3)a1时，cosxa的解集为；

(4)a1时，cosxa的解集为xx2narccosa，nZ；(5)aR，方程tanxa的解集为xxnarctana，nZ.

典例精讲

类型一：同角三角比及诱导公式

例1（★★）已知cos() 26 min.

8，求sin(5)，tan(3)的值． 17分析：利用诱导公式结合同角关系，求值．

88，得cos0，是第二，三象限角． 17171515若是第二象限角，则sin(5)sin，tan(3)tan；

1781515若是第三象限角，则sin(5)sin，tan(3)tan．

178解：由cos()点评：若已知正弦，余弦，正切的某一三角函数值，但没有确定角所在的象限，可按角的象限进行分类，做到不漏不重复．

练习（★★）：1 已知cos解：由cos2cos()3sin()1，且0，求的值．

4cos()sin(2)321，得tan22． 32cos3sin23tan5原式=22．

4cossin4tan2点评：关于sin,cos的齐次式的一般处理方法 2 （★★）已知tan（I）

4，求 36sincos的值；

3sin2cos1（II）的值． 22sincoscos46()1476sincos6tan13解：（I）∵ tan；所以==． 33sin2cos3tan23(4)2635

（II）由tan4， 3sin2cos2tan2151于是． 2232sincoscos2sincoscos2tan11，求tan的值． 5类型二：

例2（★★）已知是三角形的内角，若sincos分析：先求出sincos的值，联立方程组求解． 解：由sincos1124两边平方，得12sincos，即2sincos0． 52525又是三角形的内角，cos0，由(sincos)22．

497，又sincos0，得sincos． 25514sincossin455联立方程组，解得，得tan．

3sincos7cos355点评：由于(sincos)12sincos，因此式子sincos，sincos，sincos三者之间有密切的联系，学会利用方程的思想解三角题，常用关系sinxcosxt，则

2t21sincos,t2,2在解题中的作用,对于sincos,sincos,sincos三个2式子中，已知其中一个式子的值，可求其余两个式子的值． 练习（★★）：已知α为第二象限角，sincos3，则cos2α= 3(A) -5555 （B）- (C) (D) 3993【答案】A

312所以两边平方得12sincos，所以2sincos0，333因为已知α为第二象限角，所以sin0,cos0，

【解析】因为sincossincos12sincos123515，所以331535，选A. 333cos2cos2sin2(cossin)(cossin)=类型三：两角和与差及倍角公式

12； 例3 .化简：（1）

2tan(x)sin2(x)442cos4x2cos2x6

(1sincos)(sin（2）22coscos)22(0)．

（1）分析一：降次，切化弦． 解法一：原式=

1(2cos2x1)222sin(x)4cos2(x)4cos(x)4(2cos2x1)24sin(x)cos(x)44cos22x2sin(2x)21cos2x． 2分析二：变“复角”为“单角”．

1(2cos2x1)2cos22x12解法二：原式cos2x．

cosxsinx1tanx222(sinxcosx)222(sinxcosx)cosxsinx1tanx22(2sin（2）原式=2cos2cos2)(sincos)cos(sin2cos2)coscos22222222

coscos4cos2222Q0，022，cos20，原式=cos．

点评：化简本质就是化繁为简，一般从结构，名称，角等几个角度入手．如：切化弦，“复角”变“单角”，

降次等等．

x练习（★★）：已知0x，化简：lg(cosxtanx12sin2)lg[2cos(x)]lg(1sin2x)．

224解：原式lg(sinxcosx)lg(cosxsinx)lg(sinxcosx)20．

例4（★★）已知0剖析：

2，且cos(12)，sin()，求cos()的值. 2923）－（－β）.

222πππππ解：∵＜α＜π，0＜β＜，∴＜α－＜π，－＜－β＜.

2242422=（α－

54512）=－，得sin（α－）=.由sin（－β）=，得cos（－β）=.

3993222275239∴cos（）=cos［（α－）－（－β）］=…=.∴cos（α+β）=2cos2－1=…=－.

277292222故由cos（α－

点评：注意拆角、凑角技巧,如()()，2()()，

2()()，22，

222等）

417练习（★★）：设为锐角，若cos，则sin(2a)的值为 2 ．

655012【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。 【解析】∵为锐角，即0<<2，∴

6<6<26=2。 37

433424 ∵cos，∴sin。∴sin22sincos=2gg=。

656536655257 ∴cos2。

325 ∴sin(2a12)=sin(2a)=sin2acoscos2asin 343434= 类型四：

2427217gg=2。 25225250例5（★★） 已知函数f(x)2sinx(sinxcosx)．

（Ⅰ）用五点法画出函数在区间,上的图象，长度为一个周期； 22（Ⅱ）说明f(x)2sinx(sinxcosx)的图像可由ysinx的图像经过怎样变换而得到． 分析：化为Asin(x)形式．

解：（I）由f(x)2sinx2sinxcosx1cos2xsin2x 12(sin2xcos列表，取点，描图：

2cos2xsin)12sin(2x)． 444x 3 81  8 81 3 812 5 81 y 故函数yf(x)在区间[

12 ,]上的图象是： 22（Ⅱ）解法一：把ysinx图像上所有点向右平移

个单位，得到ysin(x)的图像，再把

448

1，得到ysin(2x)的图像，ysin(x)的图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）

424然后把ysin(2x4)的图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到

y2sin(2x)的图像，再将y2sin(2x)的图像上所有点向上平移1个单位，即得到

44y12sin(2x)的图像． 4解法二：把ysinx图像上所有点的横坐标缩短为原来的把ysin2x图像上所有点向右平移

1（纵坐标不变），得到ysin2x的图像，再2个单位，得到ysin(2x)的图像，然后把ysin(2x)的

448图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到y2sin(2x)的图像，再将

4y2sin(2x)的图像上所有点向上平移1个单位，即得到y12sin(2x)的图像．

44练习（★★）1把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是

【答案】A

【解析】根据题设条件得到变化后的函数为ycos(x1)，结合函数图象可知选项A符合要求。故选A.

练习（★★）2函数ysin(

类型一：

x)cos(x)的最大值为 2623 . 4例1（★★★）例1.求下列函数的定义域： （1）ysinx（2）y2log1xtanx． 2sinx1；tanx29

xk,xk,22解：（1）tanx0,即xk,，

2sinx10.72kx2k.66故函数的定义域为{x2k6x2k7且xk,xk,kZ} 622log1x0,0x4,2（2）即

kxk.tanx0.2故函数的定义域为(0,2)[,4]．

点评：由几个函数的和构成的函数，其定义域是每一个函数定义域的交集；第（2）问可用数轴取交集． 类型二：

例2（★★★）求下列函数的单调减区间： （1）ysin(32x)； （2）y2cosx；

xsin()42解：（1）因为2k（2）由sin(232x2k2，故原函数的单调减区间为[k12,k5](kZ)． 12x)0，得{xx2k,kZ}，

2422cosxx4sin()，

x24sin()42x35所以该函数递减区间为2k2k，即(4k,4k)(kZ)．

224222又y点评：利用复合函数求单调区间应注意定义域的限制． 类型三：

例3（★★★）求下列函数的最小正周期： （1）y5tan(2x1)；（2）ysinxsinx ． 32π，得y5tan(2x1)的周期T． 22解：（1）由函数y5tan(2x1)的最小正周期为（2）ysin(x)sin(x)(sinxcoscosxsin)cosx

323313131cos2xsinxcosxcos2xsin2x 2242210

31sin(2x) T． 423点评：求三角函数的周期一般有两种：（1）化为Asin(x)的形式特征，利用公式求解；（2）利用函数图像特征求解． 类型四：三角函数最值

例4（★★★）（1）已知sinxsiny12，求sinycosx的最大值与最小值． 3（2）求函数ysinxcosxsinxcosx的最大值． 分析：可化为二次函数求最值问题． 解：（1）由已知得：siny12sinx，Qsiny[1,1]，则sinx[,1]． 331111211sinycos2x(sinx)2，当sinx时，sinycos2x有最小值；当sinx时，

22123124sinycos2x有最小值．

9t2111（2）设sinxcosxt(2t2)，则sinxcosx，则yt2t，当t2时，y222有最大值为

12． 2点评：第（1）小题利用消元法，第（2）小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变量的取值范围．

例5（★★★）求函数y2cosx(0x)的最小值．

sinx分析：利用函数的有界性求解．

解法一：原式可化为ysinxcosx2(0x)，得1y2sin(x)2，即sin(x)21y2，

故21y2，所以y的最小值为3． 1，解得y3或y3（舍）解法二：y2cosx(0x)表示的是点A(0,2)与B(sinx,cosx)连线的斜率，其中点B在左半圆

sinxa2b21(a0)上，由图像知，当AB与半圆相切时，y最小，此时kAB3，所以y的最小值为3．

点评：解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率公式，结合图像求解．

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回顾总结

3 min.

三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:

（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 注意拆角、凑角技巧,如()()，2()()，

2()()，22，

222等），

(2)三角函数名互化(切割化弦)

(3) 熟悉公式的正用、逆用，还要熟练掌握公式的变形应用 (4)三角比次数的降升

(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同) (6)常值变换主要指“1”的变换

2222（1sinxcosxsecxtanxtanxcotxtansinL等）

42(7)正余弦“三兄妹—sinxcosx、的内存联系――“知一求二”，如（1）若 sinxcosxt， sinxcosx”

t21则sinxcosx __（答：)，特别提醒：这里t[2,2]；

2（8）辅助角公式中辅助角的确定：asinxbcosxb的符号确定，角的值由tana2b2sinx(其中角所在的象限由a,

b确定)在求最值、化简时起着重要作用. a（9）注意倍角的相对性,要时时注意角的范围的讨论.

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