福建省德化一中2012届最后一卷(数学理)

德化一中2012届毕业班考前适应性考试

数学（理）试卷

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin225的值是（★★★）．

A．

2 2

B． 32 C． 

22 D．3 2x1,2．已知变量x、y满足条件y2, 则xy的最小值是（★★★）．

xy0, A． 4

B． 3

C． 2

D．1

3．在递减等差数列{an}中，若a1a50，则Sn取最大值时n等于（★★★）．

A． 2 B． 3 C． 4 D．2或3 4．下列命题中，真命题的个数有（★★★）．

1①xR,x2x≥0；

4

②x21的充分条件是x1；

③函数y2x是单调递增函数；④yx3和ylog3x互为反函数．

A． 0个 B． 1个 C． 2个 D．3个 5．某流程图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出函数的是（★★★）．

A． f(x)x

2

B． f(x)1 xC． f(x)lnx2x6 D．f(x)sinx

6．由两个完全相同的正四棱锥组合而成的空间几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图都相同，其图形如右图所示，其中视图中四边形ABCD是边长为1的正方形，则该几何体的体积为（★★★）． A．

2 B．

22 C． 322 D． 36x2y27．双曲线221(a0,b0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不

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含边界），若点(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是（★★★）． A． (3,) B． (5,) C． (1,3) D．(1,5) 8．若某同学连续三次考试的名次（第一名为1，第二名为2，以此类推且没有并列名次情况）不超过3，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次数据，推断一定不是尖子生的是（★★★）． ．．A． 甲同学：均值为2，中位数为2 B． 乙同学：均值为2，方差小于1 C． 丙同学：中位数为2，众数为2 D． 丁同学：众数为2，方差大于1

P到9．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若平面A1BCD1上一动点

AB1和BC的距离相等，则点P的轨迹为（★★★）．

A．椭圆的一部分 B．圆的一部分

C．一条线段 D．抛物线的一部分

10．将方程xtanx0的正根从小到大地依次排列为a1,a2,,an,，给出以下不等式： ①0an1anA1D1C1B1DAPCB22an1an2an； ③

；

②an1an；

22an1an2an； ④

第9题图

其中，正确的判断是（★★★）．

A． ①③ B． ①④ C． ②③ D． ②④

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11．已知复数zabi（其中i为虚数单位，a、bR），若|a|1且|b|1，则|z|1的

概率为★★★★★．

12．已知(1x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则a1a2a3a4a5的值等于

★★★★★．

13．在△ABC中，A60，b1，SABC3，则ABAC等于★★★★★． 214．已知函数f(x)x3ax2bx(a、bR)的图象如图所示，

它与x轴在原点相切，且x轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为

1，则a等于★★★★★． 1215．类比数学归纳法的证题思路，如果要证明对于任意的nZ-(Z-表示负整数集），命题p(n)都成立，可先证明命题p(1)成立，然后在假设命题

p(k)(kZ-)成立的基础上，证明命题★★★★★成立即可．

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三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分）

如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC,PA面ABCD，

APAB3,AD5，点E是PD的中点．

（Ⅰ）求证：PB∥平面AEC；

（Ⅱ）求直线AB与平面EAC所成角大小．

17．（本小题满分13分）

D

P

E

A C

B

ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若函数f(x)x2mx数，且f(cos1为偶函4B)0． 2（Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若△ABC的面积为18．（本小题满分13分）

随机变量X的分布列如下表如示，若数列pn是以p1为首项，以q为公比的等比数列，则称随机变量X服从等比分布，记为Q(p1,q)．现随机变量XQ(15373，其外接圆半径为，求△ABC的周长． 431,2)． 15  1 2 n X

 pn p1 p2 P

(Ⅰ)求n的值并求随机变量X的数学期望EX；

（Ⅱ）甲乙两人举行乒乓球比赛，已知甲赢得每一局比赛的概率都等于P(X2)，比赛采用三局两胜制（即在三局比赛中，只要有一方赢得两局比赛，就取得胜利，比赛也就随之结束了），求甲在比赛中赢的局数比输的局数多的概率． 19．（本小题满分13分）

已知抛物线y2px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M．

（Ⅰ）求抛物线方程；

（Ⅱ）过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标；

2,0)（Ⅲ）以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m判断直线AK与圆M的位置关系．

是x轴上一动点时，

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20．（本小题满分14分）

某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值y（万元）与技术改造投入x（万元）之间的关系满足：①y与ax和x的乘积成正比；②x③0a2时，ya；2xt，其中t为常数，且t[0,1]．

2(ax)(Ⅰ)设yf(x)，求f(x)表达式，并求yf(x)的定义域； （Ⅱ）求出附加值y的最大值，并求出此时的技术改造投入．

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换

10已知矩阵M．

21（Ⅰ）请写出矩阵Ｍ对应的变换f的变换公式；

（Ⅱ）从变换的角度说明矩阵Ｍ可逆吗？如果可逆，请用求逆变换的方式求出对应的逆矩阵M

（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程

在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． 已知点A、B的极坐标分别为(1,0)、(1,参数，r0）．

（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线AB和曲线C只有一个交点，求r的值．

（３）（本小题满分7分）选修4—5: 不等式证明选讲

已知正实数a、b、c满足条件abc3， (Ⅰ) 求证：abc3；

（Ⅱ）若cab，求c的最大值．

1．

xrcos,)，曲线C的参数方程为(为2yrsin德化一中2012届毕业班考前适应性考试数学（理）试卷 第 - 4 - 页 共 9 页

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数学（理）试卷参考解答及评分标准

一、选择题：

1．B 2．C 3．D 4．C 5．D 6．C 7．D 8．D 9．D 10．D 二、填空题 11．

4； 12． －1 ； 13． 1 ； 14． －1； 15．p(k1).

三、解答题

16．证明： （Ⅰ）连结BD交AC于点O，并连结EO， 四边形ABCD为平行四边形

∴O为BD的中点 又E为PD的中点 ∴在PDB中EO为中位线，EO//PB

E

A

D

C

B

P

PB面AEC,EO面AEC

∴PB//面AEC ．„„„„„„„5分

（Ⅱ）以A为原点，AC,AB,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则

33A(0,0,0),B(0,3,0),C(4,0,0)，D(4,3,0)，P(0,0,3)，E(2,,)，

2233则AB=(0,3,0)，AE(2,,),AC=(4,0,0), „„„„„„„„„„„„„„7分

2233(x,y,z)(2,,)0nAE0设平面EAC一个法向量n(x,y,z)，则，即， 22nAC0(x,y,z)(4,0,0)0令y1，得x0,z1，所以n(0,1,1)．„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分

设直线AB与平面EAC所成角为，则

|ABn|32， sin|cosAB,n|2|AB||n|32又[0,2]，所以求直线AB与平面EAC所成角等于

2．„„„„„„„„„„„13分 417． 解：（Ⅰ）∵f(x)xmx∴f(x)f(x)，即xmx21是偶函数， 411x2mx，∴m0„„„„„„„„„„„„2分 44德化一中2012届毕业班考前适应性考试数学（理）试卷 第 - 5 - 页 共 9 页

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又f(cosBB11cosB1)0，∴cos2，即， 2242412∴cosB，又B(0,)∴B．„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分

23（Ⅱ）∵△ABC的外接圆半径为73 ， 3∴根据正弦定理

bb1432R得，，b7．„„„„„„„„„„7分

2sinB3sin3又SABC1153，∴ac15． „„„„„„„„„„„„„„„„9分 acsinB24249，a2c234 „„„„11分 3在△ABC中，根据余弦定理得，

b2a2c22accosB，即a2c230cos∴(ac)2a2c22ac64，∴ac8，

∴△ABC的周长等于15．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„13分

18．解：(Ⅰ)依题意得，数列pn是以

1为首项，以2为公比的等比数列， „„„1分 151(12n)所以Snp1p2pn15=1 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分

12解得n=4．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分

122223EXp12p23p34p41234

151515151120221322423 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 1549„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分 15（Ⅱ）由(Ⅰ)知随机变量X的分布列为

1 X

1 P 15

2 3 4 2 154 158 15设“甲在第i(i1,2,3)局取胜”为事件Ai， 依题意，P(Ai)P(X2)121„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分 15155设“甲在比赛中赢的局数比输的局数多”为事件A，

则事件A等价A „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11分 1A2A1A2A3A1A2A3，

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1141114113„13分 55555555125pp219． 解:（Ⅰ）抛物线y2px的准线为x,于是45,p2.

22则P(A)P(A1A2)P(A1A2A3)P(A1A2A3)∴抛物线方程为y24x．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 3分 （Ⅱ）∵点A的坐标是(4,4)， 由题意得B(0,4)，M(0,2)，

43;MNFA,kMN,„„„5分 3443则FA的方程为y(x1)，MN的方程为y2x.

34又∵F(1,0)， ∴kFA84xy(x1)53,得解方程组y23xy454

84N(,)．„„„„8分

55(Ⅲ）由题意得，圆M的圆心是点(0,2)，半径为2． „„„„„„„„„„„„„„9分 当m4时，直线AK的方程为x4，此时，直线AK与圆M相离；„„„„„„„10分 当m4时，直线AK的方程为y圆心M(0,2)到直线AK的距离d4(xm), 即为4x(4m)y4m0, 4m|2m8|16(m4)2，令d2,解得m1

∴当m1时，直线AK与圆M相离； 当m1时，直线AK与圆M相切； 当m1时，直线AK与圆M相交． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„13分 20． 解：设yk(ax)x，当xa2时，ya，可得：k4，∴y4(ax)x„„2分 2x0（1）2(ax)x由0 „„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 t得2(ax)xt（2）2(ax)又x0所以由（1）得ax0,即0xa „„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 所以（2）可化为x2(ax)tx因为t[0,1]，所以

2at „„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 12t2ata „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 12t德化一中2012届毕业班考前适应性考试数学（理）试卷 第 - 7 - 页 共 9 页

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综上可得函数f(x)定义域为[0,2at]，其中t为常数，且t[0,1]．„„„„„„„„7分 12t（2）y4(ax)x4(x)2a2 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分

a22ata1a时，即t1，x时，ymaxa2 „„„„„„„„„„„„„„11分 12t2222ata12at当，即0t，y4(ax)x在[0,]上为增函数 12t2212t当

8a2t2at∴当x时，ymax „„„„„„„„„„„„„„„„„„„13分 2(12t)12t答：当

1at1，投入x时，附加值y最大，为a2万元； 228a2t12at当0t，投入x时，附加值y最大，为万元 „„„„„„„14分

(12t)2212t21． ⑴矩阵与变换 解：（Ⅰ）假设M10把任一点x,y变成x',y'， 21x'10x则

y'21yx'x ················································································································· ３分 y'2xy（Ⅱ）从变换的角度看，变换f是可逆的．由（Ⅰ）得矩阵Ｍ对应的变换f是y轴方向上的

切变变换．因为变换f把每个点在横坐标不变的情况下，纵坐标变为原来纵坐标加上横坐标的２倍，所以它的逆变换f1应该是把每个点在横坐标不变的情况下，纵坐标变为原来纵坐标

减去横坐标的２倍． ·············································································································· ５分

x'x ····················································································································· ６分 y'2xy∴M110············································································································· 7分 ． ·

21（2）极坐标与参数方程

解：（Ⅰ）∵点A、B的极坐标分别为(1,0)、(1,2)，

∴点A、B的直角坐标分别为(1,0)、(0,1)， ································································· 2分 ∴直线AB的直角坐标方程为xy10． ······································································ 4分

xrcos,C（Ⅱ）由曲线的参数方程化为普通方程为x2y2r2， ·· 5分 (为参数）yrsin ∵直线AB和曲线C只有一个交点，

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∴直线AB与圆C相切 ∴半径r······························································································· 7分 2． ·

222111⑶不等式证明选讲

解：(Ⅰ)由柯西不等式得(abc)2(abc)(111) 代入已知 abc3

(abc)29

abc3

当且仅当abc1取等号． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 （Ⅱ）由ab2ab得2abc3，若cab，则2cc3，

c3 c10，

所以c1，c1，当且仅当ab1时，c有最大值1．„„„„„„„„„„„„7分

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