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全“将军饮马”类问题(类型年夜全+分类汇编)
1.如图, 直线l和l的异侧两点A、B, 在直线l上求作一点P, 使PA+PB最小.
2.如图, 直线l和l的同侧两点A、B, 在直线l上求作一点P, 使PA+PB最小.
3.如图, 点 P 是∠MON 内的一点, 分别在OM, ON 上作点A, B.使△PAB 的周长最小
4.如图, 点P, Q为∠MON内的两点, 分别在OM, ON上作点A, B.使四边形PAQB的 周长最小.
5.如图, 点A是∠MON外的一点, 在射线OM上作点P, 使PA与点P到射线ON的距离之和最小
6..如图, 点A是∠MON内的一点, 在射线OM上作点P, 使PA与点P到射线ON的距离之和最小
创作时间：二零二一年六月三十日
创作时间：二零二一年六月三十日
二、罕见题型
三角形问题
1．如图, 在等边△ABC中, AB=6, AD⊥BC, E是AC上的一点, M是AD上的一点, 若AE =2, 求
EM+EC的最小值
解：∵点C关于直线AD的对称点是点B, A A
∴连接BE, 交 AD 于点M, 则 ME+MD最小, 过点B作BH⊥AC于点H, 则 EH = AH – AE = 3 – 2 =1, E E BH= BC2 - CH2= 62 - 32 = 3 3M H M 在直角△BHE 中, BE= BH2 +HE2B DCBDC=(3 3)2 + 12 = 2 7 2．如图, 在锐角△ABC 中, AB = 4 2, ∠BAC＝45°, ∠BAC 的平分线交BC 于点D, M、N 分别是AD 和 AB上的动点,
则 BM+MN的最小值是． =4
解：作点B 关于AD 的对称点B',
C
过点B'作B'E⊥AB于点E, 交AD于点F, B'
则线段B'E 的长就是BM＋ＭＮ的最小值在M FD
等腰Rt△AEB'中, 根据勾股定理获得, B'E ANEB3．如图, △ABC中, AB=2, ∠BAC=30°, 若在AC、AB上各取一点M、N, 使BM+MN的值最小, 则这个最小值
C 解：作AB 关于AC 的对称线段AB',
过点B'作 B'N⊥AB, 垂足为 N, 交 AC 于点M, 则 B'N = M MB'+MN =MB+MN
B'N 的长就是MB+MN的最小值 则∠B'AN = 2∠BAC= 60°, AB' = AB =2, 30° ∠ANB'= 90°, ∠B' =30°. A
∴AN =1
N2B
在直角△AB'N中, 根据勾股定理B' B'N= 3
A
M N2B30° 创作时间：二零二一年六月三十日
C
创作时间：二零二一年六月三十日
正方形问题
1．如图, 正方形ABCD的边长为8, M在DC上, 丐DM＝2, N是AC上的一动点, DN＋MN的最小值
为_.
即在直线AC 上求一点N, 使 DN+MN最小A D
解：故作点D 关于AC 的对称点B, 连接BM,
交 AC 于点N.则DN＋ＭＮ＝BN＋ＭＮ＝ＢＭM
线段ＢＭ的长就是DN＋ＭＮ的最小值 在直角△ＢＣＭ中, N ＣＭ＝６, ＢＣ＝８, 则ＢＭ＝１０
故DN＋ＭＮ的最小值是１０B
C
2．如图所示, 正方形 ABCD 的面积为12, △ABE 是等边三角形, 点E 在正方形ABCD 内, 在对角线AC 上有一点P, 使 PD＋PE的和最小, 则这个最小值为（ ） A．23B．26 C．3D．6AD
解：即在AC上求一点P, 使
PE+PD的值最小
E 点 D 关于直线AC 的对称点是点B,
连接BE交AC于点P, 则BE=PB+PE=PD+PE, P BE 的长就是PD+PE 的最小值BE = AB = 2 3B C 3．在边长为2㎝的正方形ABCD中, 点Q为BC边的中点, 点P为对角线AC上一动点, 连接PB、
PQ, 则△PBQ周长的
最小值为_㎝（结果不取近似值）.解：在AC
据勾股定理, 得, 上求一点P, 使PB+PQ的值最小 ∵点 B 关于AC 的对称点是D点,
DQ=
∴连接DQ, 与 AC 的交点P就是满足条件的点A DQ = PD+PQ =PB+PQ
P 故 DQ 的长就是PB+PQ的最小值 B QC在直角△CDQ 中, CQ = 1 , CD =2 根
4．如图, 四边形 ABCD 是正方形, AB = 10cm, E 为边BC 的中点, P 为 BD 上的一个动点, 求PC+PE的最小值；
解：连接AE, 交BD于点P, 则AE就是PE+PC的最小值
A D
在直角△ABE 中, 求得AE 的长为5 5
B EC创作时间：二零二一年六月三十日
5
D创作时间：二零二一年六月三十日
矩形问题
1．如图, 若四边形ABCD是矩形, AB=10cm, BC =20cm, E为边BC上的一个动点, P为BD上的一个动点, 求PC+PD的最小值；
解：作点C关于BD的对称点C', 过点C',
作C'B⊥BC, 交BD于点P, 则C'E就是PE+PC的最小值 直角△BCD 中, CH= C'
20A
5
D H P BEC菱形问题
直角△BCH 中, BH = 8 5△BCC'的面积为：BH×CH =160 ∴ C'E×BC =2×160则 CE' =16
1．如图, 若四边形 ABCD 是菱形, AB=10cm, ∠ABC=45°, E 为边BC 上的一个动点, P 为 BD 上的
一个动点, 求PC+PE
的最小值；
解：点C关于BD的对称点是点A, 过点
A 作AE⊥BC,
交BD于点P, 则AE 就是PE+PC的最小值在等腰△EAB 中, 求得AE 的长为5 2
A BPDE C梯形问题
1．已知直角梯形ABCD中, AD∥BC, AB⊥BC, AD=2, BC=DC=5, 点P在BC上秱动, 则
当PA+PD取最小值时, △
APD中边AP上的高为（ ）
17 A、2B、4C、 17 171717
则 A'D = PA'+PD =PA+PD A'D的长就是PA+PD的最小值S△APD =4
在直角△ABP 中, AB = 4, BP =1 根据
8 17 D、3AD
勾股定理, 得AP = 17 解：作点A关于BC的对称点A', 连接A'D, 交BC于点P
BPC4
∴AP 上的高为：2× =
17 8 17 17
A'
创作时间：二零二一年六月三十日
创作时间：二零二一年六月三十日
圆的有关问题
︵
1．已知⊙O的直径CD为4, ∠AOD的度数为60°, 点B是AD的中点, 在直径CD上找一点P, 使BP+AP的值最小, 并 求 BP+AP的最小值．
解：在直线CD上作一点P, 使PA+PB 的值最小A
作点A关于CD的对称点A', 连接A'B, B 交CD于点P, 则A'B的长就是PA+PB的最小值 连接OA', OB, 则∠A'OB=90°, CD OA' = OB =4OP 根据勾股定理, A'B = 4 2 A' 2．如图, MN是半径为1的⊙O的直径, 点A在⊙O上, ∠AMN＝30°, B为AN弧的中点, P是直径MN上一动点, 则 PA＋PB的最小值为( )
A 2 2 B
2
C 1 D 2
A 解：MN 上求一点P, 使 PA+PB的值最小
则点P就是所要作的点
作点A关于MN的对称点A', 连接A'B, 交MN于点P, B
A'B 的长就是PA+PB的最小值MN OP
连接OA'、OB, 则△OA'B是等腰直角三角形 ∴ A'B=
2
A' 一次函数问题
20．一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2, 0）, B（0, 4）． （1）求该函数的解析式；
（2）O为坐标原点, 设OA、AB的中点分别为C、D, P为OB 上一动点, 求PC＋PD的最小值, 并求取得最小值时P点 坐标． 解：(1)由题意得：0
= 2x+b, 4 =b解得k = -2, b=4, ∴ y =-2x+4
(2)作点C关于y轴的对称点C', 连接C'D, 交y轴于点P则 C'D = C'P+PD =PC+PD
C'D 就是PC+PD的最小值 连接CD, 则 CD = 2, CC' =2 在直角△C'CD 中, 根据勾股定理C'D = 22求直线C'D的解析式, 由C'(-1, 0), D(1, 2) ∴, 有 0 = -k+b, 2
y B D P x C' O C A 创作时间：二零二一年六月三十日
创作时间：二零二一年六月三十日
=k+b解得k = 1, b =1, ∴ y =x+1
当 x = 0 时, y =1, 则P(0, 1)
创作时间：二零二一年六月三十日
创作时间：二零二一年六月三十日
二次函数问题
1．如图, 在直角坐标系中, 点A的坐标为（-2, 0）, 连结0A, 将线段OA绕原点O顺时针旋转120., 获得线段OB. （1）求点 B的坐标；
（2）求经过 A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C, 使△BOC 周长最小？若存在求出点C坐标；若不存在, 请说明理由.解：(1)B(1, 3 )
(2) y= 3
3
y x2+
2 3 3
x
B C (3)∵点O关于对称轴的对称点是点A, 则连接AB, 交对称轴于点C, 则△BOC
x 的周长最小
3 2 3 3 A O x , 当 x=-1 时, y= y=
x2+3 3
3 3 ∴
C(-1, ) 3
2．如图, 在直角坐标系中, A, B, C 的坐标分别为（-1, 0）, （3, 0）, （0, 3）, 过 A, B, C三点的抛物线
的对称轴为直 线l, D为直线l上的一个动点, (1)求抛物线的解析式；
(2)求当AD+CD最小时点D的坐标； (3)以点A 为圆心, 以AD 为半径作圆A；
解：（1）①证明：当AD+CD最小时, 直线BD与圆A相切；
②写出直线BD与圆A相切时, 点D的另一个坐标.
（2）连接 BC, 交直线 l 于点D, 则 DA+DC = DB+DC =BC, BC 的长就是AD+DC的最小值 BC：y = -x +3
3．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴为x=-1, 与x轴交于A、B 两点, 与y轴交于点C, 其中A(-3, 0)、C(0, -2)
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P, 使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．
（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E, 连接PD、PE．设CD的长为m, △PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式． 试说明S是否存在最年夜值, 若存在, 请求出最年夜值；若不存在, 请说明理由． b 由题意得
y 则直线BC 与直线x = 1 的交点D(1, 2), y C D AOBx
2a =1 (1)9a-3b+c =0
c =-2
∴抛物线的解析式为y= 4
x -2
2
3
x2+3
2 4 , c = -2
解得a= , b=
3 3
O A P C B x 创作时间：二零二一年六月三十日
创作时间：二零二一年六月三十日
(2)点B关于对称轴的对称点是点A, 连接AC交对称轴于点P, 则△PBC的周长最小设直线AC 的解析式为y = kx+b, ∵A(-3, 0), C(0, -2), 则 0 = -3k +b
-2 =b 解得k =-
y 3
2
, b =-2
E ∴直线AC 的解析式为y =- 把 x = -1 代入得y =-
4 3
2 x –2 3
4
O D B x A , ∴P(-1, -) 3
P C (3)S存在最年夜值
, 即= OE -m OC3 ∵DE∥PC, ∴=OA
2ODOE 2
3 3 m , AE = OA–OE = m 2 2
OE = 3- 方法一, 连接OP
S = S 四边形PDOE – S△OED = S△POE + S△POD –S△OED
1 3 4 1 1 3 = ×(3- m)× + ×(2 - m)×1-×(3- m)×(2 -m)
22 2 3 2 2 3
= - m2+4
3
3 3 (m-1)2+ m =-2
4
4
3 4
∴, 当 m = 1 时, S 最年夜=
方法二,
S = S△OAC – S△AEP – S△OED –S△PCD
3 3 3 3 = - m2 + m= - (m-1)2 +
4 2 4 4
创作时间：二零二一年六月三十日 创作时间：二零二一年六月三十日
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