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中考数学平行四边形综合题

2021-09-03 来源:汇智旅游网


一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题)

1.在四边形ABCD中,BD180,对角线AC平分BAD.

(1)如图1,若DAB120,且B90,试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.

(2)如图2,若将(1)中的条件“B90”去掉,(1)中的结论是否成立?请说明理由.

(3)如图3,若DAB90,探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.

【答案】(1)ACADAB.证明见解析;(2)成立;(3)ADAB见解析. 【解析】

试题分析:(1)结论:AC=AD+AB,只要证明AD=

2AC.理由

11AC,AB=AC即可解决问题; 22(2)(1)中的结论成立.以C为顶点,AC为一边作∠ACE=60°,∠ACE的另一边交AB延长线于点E,只要证明△DAC≌△BEC即可解决问题;

(3)结论:AD+AB=2AC.过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E,只要证明△ACE是等腰直角三角形,△DAC≌△BEC即可解决问题; 试题解析:解:(1)AC=AD+AB. 理由如下:如图1中,

在四边形ABCD中,∠D+∠B=180°,∠B=90°, ∴∠D=90°,

∵∠DAB=120°,AC平分∠DAB, ∴∠DAC=∠BAC=60°, ∵∠B=90°,

11AC,同理AD=AC. 22∴AC=AD+AB.

∴AB=

(2)(1)中的结论成立,理由如下:以C为顶点,AC为一边作∠ACE=60°,∠ACE的另一边交AB延长线于点E,

∵∠BAC=60°, ∴△AEC为等边三角形, ∴AC=AE=CE,

∵∠D+∠ABC=180°,∠DAB=120°, ∴∠DCB=60°, ∴∠DCA=∠BCE,

∵∠D+∠ABC=180°,∠ABC+∠EBC=180°, ∴∠D=∠CBE,∵CA=CE, ∴△DAC≌△BEC, ∴AD=BE, ∴AC=AD+AB.

(3)结论:AD+AB=2AC.理由如下:

过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E,∵∠D+∠B=180°,∠DAB=90°,

∴DCB=90°, ∵∠ACE=90°, ∴∠DCA=∠BCE, 又∵AC平分∠DAB, ∴∠CAB=45°, ∴∠E=45°. ∴AC=CE.

又∵∠D+∠ABC=180°,∠D=∠CBE,

∴△CDA≌△CBE, ∴AD=BE, ∴AD+AB=AE.

在Rt△ACE中,∠CAB=45°, ∴AE=

AC=2AC cos45∴ADAB=2AC.

2.操作:如图,边长为2的正方形ABCD,点P在射线BC上,将△ABP沿AP向右翻折,得到△AEP,DE所在直线与AP所在直线交于点F.

探究:(1)如图1,当点P在线段BC上时,①若∠BAP=30°,求∠AFE的度数;②若点E恰为线段DF的中点时,请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置?并求出此时∠AFD的度数.

归纳:(2)若点P是线段BC上任意一点时(不与B,C重合),∠AFD的度数是否会发生变化?试证明你的结论;

猜想:(3)如图2,若点P在BC边的延长线上时,∠AFD的度数是否会发生变化?试在图中画出图形,并直接写出结论.

【答案】(1)①45°;②BC的中点,45°;(2)不会发生变化,证明参见解析;(3)不会发生变化,作图参见解析. 【解析】

试题分析:(1)当点P在线段BC上时,①由折叠得到一对角相等,再利用正方形性质求出∠DAE度数,在三角形AFD中,利用内角和定理求出所求角度数即可;②由E为DF中点,得到P为BC中点,如图1,连接BE交AF于点O,作EG∥AD,得EG∥BC,得到AF垂直平分BE,进而得到三角形BOP与三角形EOG全等,利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1,得到P为BC中点,进而求出所求角度数即可;(2)若点P是线段BC上任意一点时(不与B,C重合),∠AFD的度数不会发生变化,作AG⊥DF于点G,如图1(a)所示,利用折叠的性质及三线合一性质,根据等式的性质求出∠1+∠2的度数,即为∠FAG度数,即可求出∠F度数;(3)作出相应图形,如图2所示,若点P在BC边的延长线上时,∠AFD的度数不会发生变化,理由为:作AG⊥DE于G,得∠DAG=∠EAG,设∠DAG=∠EAG=α,根据∠FAE为∠BAE一半求出所求角度数即可.

试题解析:(1)①当点P在线段BC上时,∵∠EAP=∠BAP=30°,∴∠DAE=90°﹣30°×2=30°,在△ADE中,AD=AE,∠DAE=30°,∴∠ADE=∠AED=(180°﹣30°)÷2=75°,在△AFD中,∠FAD=30°+30°=60°,∠ADF=75°,∴∠AFE=180°﹣60°﹣75°=45°;②点E为DF

的中点时,P也为BC的中点,理由如下:

如图1,连接BE交AF于点O,作EG∥AD,得EG∥BC,∵EG∥AD,

DE=EF,∴EG=AD=1,∵AB=AE,∴点A在线段BE的垂直平分线上,同理可得点P在线段BE的垂直平分线上,∴AF垂直平分线段BE,∴OB=OE,∵GE∥BP,∴∠OBP=∠OEG,∠OPB=∠OGE,∴△BOP≌△EOG,∴BP=EG=1,即P为BC的中点,∴∠DAF=90°﹣∠BAF,∠ADF=45°+∠BAF,∴∠AFD=180°﹣∠DAF﹣∠ADF=45°;(2)∠AFD的度数不会发生变化,作AG⊥DF于点G,如图1(a)所示,

在△ADE中,AD=AE,AG⊥DE,∵AG平分∠DAE,即∠2=∠DAG,且

∠1=∠BAP,∴∠1+∠2=×90°=45°,即∠FAG=45°,则∠AFD=90°﹣45°=45°;(3)如图2所示,∠AFE的大小不会发生变化,∠AFE=45°,

作AG⊥DE于G,得∠DAG=∠EAG,设∠DAG=∠EAG=α,

∴∠BAE=90°+2α,∴∠FAE=∠BAE=45°+α,∴∠FAG=∠FAE﹣∠EAG=45°,在Rt△AFG中,∠AFE=90°﹣45°=45°.

考点:1.正方形的性质;2.折叠性质;3.全等三角形的判定与性质.

3.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF. (1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系;

(2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由

(3)若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长.

【答案】(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP的长为62或23. 3【解析】

【分析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE;

(2)如图2中,延长EO交CF于K,由已知证明△ABE≌△BCF,△AOE≌△COK,继而可证得△EFK是等腰直角三角形,由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK,OF=OE; (3)分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得. 【详解】(1)如图1中,延长EO交CF于K,

∵AE⊥BE,CF⊥BE,∴AE∥CK,∴∠EAO=∠KCO, ∵OA=OC,∠AOE=∠COK,∴△AOE≌△COK,∴OE=OK,

1EK=OE; 2(2)如图2中,延长EO交CF于K,

∵△EFK是直角三角形,∴OF=

∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°,

∴∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°,∴∠BAE=∠CBF, ∵AB=BC,∴△ABE≌△BCF,∴BE=CF,AE=BF, ∵△AOE≌△COK,∴AE=CK,OE=OK,∴FK=EF, ∴△EFK是等腰直角三角形,∴OF⊥EK,OF=OE;

(3)如图3中,点P在线段AO上,延长EO交CF于K,作PH⊥OF于H,

∵|CF﹣AE|=2,EF=23,AE=CK,∴FK=2, 在Rt△EFK中,tan∠FEK=∴EK=2FK=4,OF=

3,∴∠FEK=30°,∠EKF=60°, 31EK=2, 21PF=1,HF=3,OH=2﹣3, 2∵△OPF是等腰三角形,观察图形可知,只有OF=FP=2, 在Rt△PHF中,PH=∴OP=1223262.

如图4中,点P在线段OC上,当PO=PF时,∠POF=∠PFO=30°, ∴∠BOP=90°, ∴OP=323OE=, 3323. 3综上所述:OP的长为62或【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰

直角三角形的判定与性质、解直角三角形等,综合性较强,正确添加辅助线是解题的关键.

4.如图,正方形ABCD的边长为8,E为BC上一定点,BE=6,F为AB上一动点,把△BEF沿EF折叠,点B落在点B′处,当△AFB′恰好为直角三角形时,B′D的长为?

465或22 5【解析】 【分析】

【答案】分两种情况分析:如图1,当∠AB′F=90°时,此时A、B′、E三点共线,过点B′作

B′M⊥AB,B′N⊥AD,由三角形的面积法则可求得B′M=2.4,再由勾股定理可求得B′N=3.2,在Rt△CB′N中,由勾股定理得,B′D=BN2+DN2=3.225.62;如图2,当∠AFB′=90°时,由题意可知此时四边形EBFB′是正方形,AF=2,过点B′作B′N⊥AD,则四边形AFB′N为矩形,在Rt△CB′N中,由勾股定理得,B′D=BN2+DN2=2222; 【详解】

如图1,当∠AB′F=90°时,此时A、B′、E三点共线, ∵∠B=90°,∴AE=AB2BE2=8262=10, ∵B′E=BE=6,∴AB′=4, ∵B′F=BF,AF+BF=AB=8,

在Rt△AB′F中,∠AB′F=90°,由勾股定理得,AF2=FB′2+AB′2, ∴AF=5,BF=3,

过点B′作B′M⊥AB,B′N⊥AD,由三角形的面积法则可求得B′M=2.4,再由勾股定理可求得B′N=3.2,

∴AN=B′M=2.4,∴DN=AD-AN=8-2.4=5.6,

在Rt△CB′N中,由勾股定理得,B′D=BN2+DN2=3.225.62 =465 ; 5

如图2,当∠AFB′=90°时,由题意可知此时四边形EBFB′是正方形,∴AF=2,

过点B′作B′N⊥AD,则四边形AFB′N为矩形,∴AN=B′F=6,B′N=AF=2,∴DN=AD-AN=2,

在Rt△CB′N中,由勾股定理得,B′D=BN2+DN2=2222 =22 ;

综上,可得B′D的长为【点睛】

465或22. 5本题主要考查正方形的性质与判定,矩形有性质判定、勾股定理、折叠的性质等,能正确地画出图形并能分类讨论是解题的关键.

5.已知AD是△ABC的中线P是线段AD上的一点(不与点A、D重合),连接PB、PC,E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点,AD与EF交于点M;

(1)如图1,当AB=AC时,求证:四边形EGHF是矩形;

(2)如图2,当点P与点M重合时,在不添加任何辅助线的条件下,写出所有与△BPE面积相等的三角形(不包括△BPE本身).

【答案】(1)见解析;(2)△APE、△APF、△CPF、△PGH. 【解析】 【分析】

(1)由三角形中位线定理得出EG∥AP,EF∥BC,EF=

11BC,GH∥BC,GH=BC,推出22EF∥GH,EF=GH,证得四边形EGHF是平行四边形,证得EF⊥AP,推出EF⊥EG,即可得出结论;

(2)由△APE与△BPE的底AE=BE,又等高,得出S△APE=S△BPE,由△APE与△APF的底EP=FP,又等高,得出S△APE=S△APF,由△APF与△CPF的底AF=CF,又等高,得出S△APF=S△CPF,证得△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半,推出

1S△AEF=S△APF,即可得出结果. 2【详解】

S△PGH=

(1)证明:∵E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点,

∴EG∥AP,EF∥BC,EF=∴EF∥GH,EF=GH,

11BC,GH∥BC,GH=BC, 22∴四边形EGHF是平行四边形, ∵AB=AC, ∴AD⊥BC, ∴EF⊥AP, ∵EG∥AP, ∴EF⊥EG,

∴平行四边形EGHF是矩形; (2)∵PE是△APB的中线,

∴△APE与△BPE的底AE=BE,又等高, ∴S△APE=S△BPE, ∵AP是△AEF的中线,

∴△APE与△APF的底EP=FP,又等高, ∴S△APE=S△APF, ∴S△APF=S△BPE, ∵PF是△APC的中线,

∴△APF与△CPF的底AF=CF,又等高, ∴S△APF=S△CPF, ∴S△CPF=S△BPE,

∵EF∥GH∥BC,E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点,

∴△AEF底边EF上的高等于△ABC底边BC上高的一半,△PGH底边GH上的高等于△PBC底边BC上高的一半,

∴△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半, ∵GH=EF, ∴S△PGH=

1S△AEF=S△APF, 2综上所述,与△BPE面积相等的三角形为:△APE、△APF、△CPF、△PGH. 【点睛】

本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、平行线的性质、三角形面积的计算等知识,熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键.

6.如图1,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,分别延长AC至E,BC至F,且CE=EF,延长FE交AD的延长线于G. (1)求证:AE=EG;

(2)如图2,分别连接BG,BE,若BG=BF,求证:BE=EG; (3)如图3,取GF的中点M,若AB=5,求EM的长.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【解析】 【分析】

5 2(1)根据平行线的性质和等腰三角形的三线合一的性质得:∠CAD=∠G,可得AE=EG; (2)作辅助线,证明△BEF≌△GEC(SAS),可得结论;

(3)如图3,作辅助线,构建平行线,证明四边形DMEN是平行四边形,得EM=DN=

1AC,计算可得结论. 2【详解】

证明:(1)如图1,过E作EH⊥CF于H,

∵AD⊥BC, ∴EH∥AD,

∴∠CEH=∠CAD,∠HEF=∠G, ∵CE=EF, ∴∠CEH=∠HEF, ∴∠CAD=∠G, ∴AE=EG;

(2)如图2,连接GC,

∵AC=BC,AD⊥BC, ∴BD=CD,

∴AG是BC的垂直平分线, ∴GC=GB, ∴∠GBF=∠BCG, ∵BG=BF, ∴GC=BE, ∵CE=EF,

∴∠CEF=180°﹣2∠F, ∵BG=BF,

∴∠GBF=180°﹣2∠F, ∴∠GBF=∠CEF, ∴∠CEF=∠BCG,

∵∠BCE=∠CEF+∠F,∠BCE=∠BCG+∠GCE, ∴∠GCE=∠F, 在△BEF和△GCE中,

CEEFGCEF, CGBF∴△BEF≌△GEC(SAS), ∴BE=EG;

(3)如图3,连接DM,取AC的中点N,连接DN,

由(1)得AE=EG, ∴∠GAE=∠AGE,

在Rt△ACD中,N为AC的中点,

1AC=AN,∠DAN=∠ADN, 2∴∠ADN=∠AGE, ∴DN∥GF,

在Rt△GDF中,M是FG的中点,

∴DN=

1FG=GM,∠GDM=∠AGE, 2∴∠GDM=∠DAN, ∴DM∥AE,

∴四边形DMEN是平行四边形,

∴DM=

1AC, 2∵AC=AB=5,

∴EM=DN=

5. 2【点睛】

∴EM=

本题是三角形的综合题,主要考查了全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边中线的性质,等腰三角形的性质和判定,平行四边形的性质和判定等知识,解题的关键是作辅助线,并熟练掌握全等三角形的判定方法,特别是第三问,辅助线的作法是关键.

7.如图所示,矩形ABCD中,点E在CB的延长线上,使CE=AC,连接AE,点F是AE的中点,连接BF、DF,求证:BF⊥DF.

【答案】见解析. 【解析】 【分析】

延长BF,交DA的延长线于点M,连接BD,进而求证△AFM≌△EFB,得AM=BE,FB=FM,即可求得BC+BE=AD+AM,进而求得BD=BM,根据等腰三角形三线合一的性质即可求证BF⊥DF. 【详解】

延长BF,交DA的延长线于点M,连接BD.

∵四边形ABCD是矩形,∴MD∥BC,∴∠AMF=∠EBF,∠E=∠MAF,又FA=FE,∴△AFM≌△EFB,∴AM=BE,FB=FM.

∵矩形ABCD中,∴AC=BD,AD=BC,∴BC+BE=AD+AM,即CE=MD. ∵CE=AC,∴AC=CE= BD =DM. ∵FB=FM,∴BF⊥DF.

【点睛】

本题考查了矩形的性质,全等三角形的判定和对应边相等的性质,等腰三角形三线合一的性质,本题中求证DB=DM是解题的关键.

8.△ABC为等边三角形,AFAB.BCDBDCAEC.

(1)求证:四边形ABDF是菱形.

(2)若BD是ABC的角平分线,连接AD,找出图中所有的等腰三角形.

【答案】(1)证明见解析;(2)图中等腰三角形有△ABC,△BDC,△ABD,△ADF,△ADC,△ADE. 【解析】 【分析】

(1)先求证BD∥AF,证明四边形ABDF是平行四边形,再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明;(2)先利用BD平分∠ABC,得到BD垂直平分线段AC,进而证明△DAC是等腰三角形,根据BD⊥AC,AF⊥AC,找到角度之间的关系,证明△DAE是等腰三角形,进而得到BC=BD=BA=AF=DF,即可解题,见详解. 【详解】

(1)如图1中,∵∠BCD=∠BDC, ∴BC=BD,

∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC, ∵AB=AF, ∴BD=AF, ∵∠BDC=∠AEC, ∴BD∥AF,

∴四边形ABDF是平行四边形,

∵AB=AF,

∴四边形ABDF是菱形.

(2)解:如图2中,∵BA=BC,BD平分∠ABC, ∴BD垂直平分线段AC, ∴DA=DC,

∴△DAC是等腰三角形, ∵AF∥BD,BD⊥AC ∴AF⊥AC, ∴∠EAC=90°,

∵∠DAC=∠DCA,∠DAC+∠DAE=90°,∠DCA+∠AEC=90°, ∴∠DAE=∠DEA, ∴DA=DE,

∴△DAE是等腰三角形, ∵BC=BD=BA=AF=DF,

∴△BCD,△ABD,△ADF都是等腰三角形,

综上所述,图中等腰三角形有△ABC,△BDC,△ABD,△ADF,△ADC,△ADE.

【点睛】

本题考查菱形的判定,等边三角形的性质,等腰三角形的判定等知识,属于中考常考题型,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.

9.(1)问题发现:

如图①,在等边三角形ABC中,点M为BC边上异于B、C的一点,以AM为边作等边三角形AMN,连接CN,NC与AB的位置关系为 ; (2)深入探究:

如图②,在等腰三角形ABC中,BA=BC,点M为BC边上异于B、C的一点,以AM为边作等腰三角形AMN,使∠ABC=∠AMN,AM=MN,连接CN,试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由; (3)拓展延伸:

如图③,在正方形ADBC中,AD=AC,点M为BC边上异于B、C的一点,以AM为边作正方形AMEF,点N为正方形AMEF的中点,连接CN,若BC=10,CN=2,试求EF的长.

【答案】(1)NC∥AB;理由见解析;(2)∠ABC=∠ACN;理由见解析;(3)241; 【解析】

分析:(1)根据△ABC,△AMN为等边三角形,得到AB=AC,AM=AN且

∠BAC=∠MAN=60°从而得到∠BAC-∠CAM=∠MAN-∠CAM,即∠BAM=∠CAN,证明△BAM≌△CAN,即可得到BM=CN.

(2)根据△ABC,△AMN为等腰三角形,得到AB:BC=1:1且∠ABC=∠AMN,根据相似

ABAC=,利用等腰三角形的性质得到∠BAC=∠MAN,根据相似三AMAN角形的性质即可得到结论;

三角形的性质得到

(3)如图3,连接AB,AN,根据正方形的性质得到∠ABC=∠BAC=45°,∠MAN=45°,根据

BMAB=,得到BM=2,CM=8,再根据勾股定理即可得到答案. CNAC详解:(1)NC∥AB,理由如下: ∵△ABC与△MN是等边三角形,

∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°, ∴∠BAM=∠CAN, 在△ABM与△ACN中,

相似三角形的性质得出

ABACBAMCAN , AMAN∴△ABM≌△ACN(SAS), ∴∠B=∠ACN=60°,

∵∠ANC+∠ACN+∠CAN=∠ANC+60°+∠CAN=180°,

∴∠ANC+∠MAN+∠BAM=∠ANC+60°+∠CAN=∠BAN+∠ANC=180°, ∴CN∥AB;

(2)∠ABC=∠ACN,理由如下:

ABAM=1且∠ABC=∠AMN, BCMN∴△ABC~△AMN

ABAC=, AMAN∵AB=BC,

1(180°﹣∠ABC), 2∵AM=MN

1∴∠MAN=(180°﹣∠AMN),

2∵∠ABC=∠AMN, ∴∠BAC=∠MAN, ∴∠BAM=∠CAN, ∴△ABM~△ACN, ∴∠ABC=∠ACN;

(3)如图3,连接AB,AN,

∴∠BAC=

∵四边形ADBC,AMEF为正方形, ∴∠ABC=∠BAC=45°,∠MAN=45°, ∴∠BAC﹣∠MAC=∠MAN﹣∠MAC 即∠BAM=∠CAN, ∵∴

ABAM2, BCANABAC=, AMAN∴△ABM~△ACN

∴∴∴

BMAB=, CNACCNAC2=cos45°=, BMAB222, BM2∴BM=2, ∴CM=BC﹣BM=8, 在Rt△AMC, AM=AC2MC210282241,

∴EF=AM=241.

点睛:本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质定理和判定定理、相似三角形的性质定理和判定定理等知识;本

题综合性强,有一定难度,证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键.

10.如图1所示,(1)在正三角形ABC中,M是BC边(不含端点B、C)上任意一点,P是BC延长线上一点,N是∠ACP的平分线上一点,若∠AMN=60°,求证:AM=MN. (2)若将(1)中“正三角形ABC”改为“正方形ABCD”,N是∠DCP的平分线上一点,若∠AMN=90°,则AM=MN是否成立?若成立,请证明;若不成立,说明理由.

(3)若将(2)中的“正方形ABCD”改为“正n边形A1A2…An“,其它条件不变,请你猜想:当∠An﹣2MN=_____°时,结论An﹣2M=MN仍然成立.(不要求证明)

(n2)1800【答案】

n【解析】

分析:(1)要证明AM=MN,可证AM与MN所在的三角形全等,为此,可在AB上取一点E,使AE=CM,连接ME,利用ASA即可证明△AEM≌△MCN,然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN.

(2)同(1),要证明AM=MN,可证AM与MN所在的三角形全等,为此,可在AB上取一点E,使AE=CM,连接ME,利用ASA即可证明△AEM≌△MCN,然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN.

详(1)证明:在边AB上截取AE=MC,连接ME.

在正△ABC中,∠B=∠BCA=60°,AB=BC.

∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAE, BE=AB-AE=BC-MC=BM, ∴∠BEM=60°,∴∠AEM=120°. ∵N是∠ACP的平分线上一点, ∴∠ACN=60°,∴∠MCN=120°.

在△AEM与△MCN中,∠MAE=∠NMC,AE=MC,∠AEM=∠MCN, ∴△AEM≌△MCN(ASA), ∴AM=MN.

(2)解:结论成立;

理由:在边AB上截取AE=MC,连接ME.

∵正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,AB=BC.

∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE, BE=AB-AE=BC-MC=BM, ∴∠BEM=45°,∴∠AEM=135°. ∵N是∠DCP的平分线上一点, ∴∠NCP=45°,∴∠MCN=135°.

在△AEM与△MCN中,∠MAE=∠NMC,AE=MC,∠AEM=∠MCN, ∴△AEM≌△MCN(ASA), ∴AM=MN.

(3)由(1)(2)可知当∠An-2MN等于n边形的内角时,结论An-2M=MN仍然成立;

n21800即∠An-2MN=时,结论An-2M=MN仍然成立;

nn21800]. 故答案为[

n点睛:本题综合考查了正方形、等边三角形的性质及全等三角形的判定,同时考查了学生的归纳能力及分析、解决问题的能力.难度较大.

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