高考数学 高考试题教学运用与探究 再探三次曲线的切线条数

一、问题的提出

引例：（2020·北京文·20） 已知函数fx2x33x. （1）求fx在区间2,1上的最大值；

（2）若过点P1,t存在3条直线与曲线yfx相切，求t的取值范围；

（3）问过点A1,2,B2,10,C0,2分别存在几条直线与曲线yfx相切？(只需写出结论) 本题第（2）（3）问都是“过一点作三次函数图象切线的条数”的问题，特别是第（3）问只需写出结论，如何才能迅速地进行判断呢？有没有规律性的结论呢？ 二、直线与曲线相切的概念

如图1，设曲线C是函数yf(x)的图象，在曲线C上取一点Px0,y0及邻近的一点Qx0x,y0y，过两点P,Q作割线，并分别过P,Q两点作x轴与y轴的平行线

MP,MQ,又设割线PQ的倾斜角为,，那么MPx,MQy,这就是说，y Q ytan. xy就是割线的斜率. xyfx y Q yfx Δy P 割线 P T 切线  Δx 图1 M  x x O O 图2 如图2，当点Qx0x,y0y沿着曲线逐渐向点Px0,y0接近时，割线PQ将绕着点P逐渐转动.当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时，如果割线PQ有一个极限位置PT，那么，直线PT叫做曲线在点P处的切线.

由直线与曲线相切的概念可知，切线是割线的极限位

置，直线与曲线相切是一个局部的概念，因而直线l与曲线C可以同时相切于点A和相交于点B，比如曲线

y 2,8 yx3与直线y3x2在点1,1处相切，在点

2,8处相交.

三、探究

函数fx2x33x，过定点Qx0,y0的直线l与函数yfx的图象相切，这样的直线有几条？

x yx3 设直线l与曲线yfx相切于Mt,ft，则切线方程为：yftftxt，

1,1 O 因为切线必过Qx0,y0，则y0ftftx0t， 所以y02t33t6t232x0t,整理可得：4t36x0t2y03x00, ①

显然，关于t的方程①有多少个不同的解，就有多少条不同的切线. 下面，解决关于t的方程①的解的个数问题.

设gt4t6x0ty03x0,则gt12t12x0t12ttx0,

32由gt0，得：t10,t2x0，

（1）当x00时，gt0，gx单调递增，关于t的方程①有一个解；

（2）当x00时，gx的示意图： 两个极值分别为g0y03x0，

gx04x036x0x02y03x0y02x033x0y02x033x0y0fx0，（ⅰ）当g0gx00即y03x0y0fx00时，两个极值同号，定点

Qx0,y0在不等式y3xyfx0所表示的平面区域内，此时，函数gx只有

一个零点，关于t的方程①有一个解；

注意到函数fx2x3x是奇函数，坐标原点是对称中心，等式y3x0所表示

3的直线恰是曲线yfx在原点处的切线.

（ⅱ）当g0gx00即y03x0y0fx00时，定点Qx0,y0在等式

y3xyfx0所表示的曲线上，此时，函数gx有两个零点，关于t的方程①

有两个解；

（ⅲ）当g0gx00即y03x0y0fx00时，定点Qx0,y0在不等式

y3xyfx0所表示的平面区域内，此时，函数gx有三个零点，关于t的方

程①有三个解；

综上所述，很容易给出结论. 四、结论

一般的，已知定点Q，三次函数对称中心N处的切线与曲线将平面分成四个平面区域（如图所示）：

（1）若点Q在图象对称中心N处或在Ⅰ、Ⅱ区域内（不含边界），则过定点Q作三次函数图象切线只能作一条；

（2）若点Q在图象对称中心N处的切线上（对称中心除外）或在函数图象上（对称中心除外），则过定点Q作三次函数图象的切线有两条；

（3）若点Q在Ⅲ、Ⅳ区域内（不含边界），则过定点Q作三次函数图象的切线有三条. 五、应用

例：（2020·北京文·20） 已知函数fx2x3x.

3 Ⅲ 3条 N Ⅱ 1条 Ⅰ 1条 Ⅳ 3条 对称中心处的切线 （1）（略）

（2）若过点P1,t存在3条直线与曲线yfx相切，求t的取值范围；

（3）问过点A1,2,B2,10,C0,2分别存在几条直线与曲线yfx相切？(只需写出结论)

解析：（2）易知f11,f03,又函数fx在对称中心处的切线为

l0:y3x，直线x1与曲线交于1,1，与切线l0交于1,3，

因为过P1,t存在3条直线与曲线yfx相切，所以P1,t必在区域Ⅳ内，故

t3,1.

（3）易知A1,2在区域Ⅲ，所以过点A1,2存在三条直线与曲线相切；易知

B2,10在曲线上，且不是对称中心，所以过点B2,10存在二条直线与曲线相切；易知C0,2在区域Ⅰ，所以过点C0,2存在一条直线与曲线相切.