2015-2016学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期末数学试卷
一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）
1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，4}，B={2，4}，则A∩∁UB= ．
2．cos300°的值是 ． 3．函数
4．已知函数f（x）=x2﹣3x的定义域为{1，2，3}，则f（x）的值域为 ．
5．已知向量=（1，2），=（﹣2，2），则|﹣|的值为 ．
6．fx）=ax+1﹣1 已知函数（（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为 ．
7．已知tan（α+
8．若cos2α=，则sin4α﹣cos4α= ．
9．已知扇形的半径为1cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为 cm2．
10．已知sinα﹣
11．已知函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜π）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为f（x）= ．
cosα=m﹣1，则实数m的取值范围是 ． ）=2，则tanα= ．
的最小正周期为 ．
1
12．在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，且CF=2DF．若
，λ，μ均为实数，则λ+μ的值为 ．
13．已知f（x）是定义在R上且周期为6的奇函数，当x∈（0，3）时，f（x）=lg（2x2﹣x+m）．若函数f（x）在区间[﹣3，3]上有且仅有5个零点（互不相同），则实数m的取值范围是 ．
14．对任意两个非零的平面向量
，，定义
和
之间的新运算⊙：
．已
知非零的平面向量满足：和都在集合，则
中，且= ．
．设与的夹角
二、解答题（共6小题，满分64分） 15．已知
，
，α，β均为锐角．
（1）求sin2α的值； （2）求sinβ的值．
16．已知||=3，||=5，|+|=7． （1）求向量与的夹角θ；
（2）当向量k+与﹣2垂直时，求实数k的值．
17．已知向量
，
，θ为第二象限角．
2
（1）若，求sinθ﹣cosθ的值；
（2）若∥，求
的值．
18．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）之间满足函数关系y=ekx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．已知该食品在0℃的保鲜时间为160小时，在20℃的保鲜时间为40小时． （1）求该食品在30℃的保鲜时间；
（2）若要使该食品的保鲜时间至少为80小时，则储存温度需要满足什么条件？
19．已知函数f（x）=4﹣log2x，g（x）=log2x． （1）当
时，求函数h（x）=f（x）•g（x）的值域；
（2）若对任意的x∈[1，8]，不等式f（x3）•f（x2）＞kg（x）恒成立，求实数k的取值范围．
20．已知函数
．
的值；②求
的取值范围；
（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，①求
（2）已知函数g（x）的定义域为D，若存在区间[m，n]⊆D，当x∈[m，n]时，g（x）的值域为[m，n]，则称函数g（x）是D上的“保域函数”，区间[m，n]叫做“等域区间”．试判断函数f（x）是否为（0，+∞）上的“保域函数”？若是，求出它的“等域区间”；若不是，请说明理由．
3
2015-2016学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期末数学
试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）
1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，4}，B={2，4}，则A∩∁UB= {1} ． 【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题；集合思想；数学模型法；集合． 【分析】直接利用交、并、补集的混合运算求得答案． 【解答】解：∵U={1，2，3，4}，B={2，4}， ∴∁UB={1，3}， 又A={1，4}， ∴A∩∁UB={1}． 故答案为：{1}．
【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础的计算题．
2．cos300°的值是 ．
【考点】运用诱导公式化简求值． 【专题】计算题．
【分析】根据诱导公式，可先借助300°=360°﹣60°，再利用诱导公式和特殊角的三角函数值求出．
【解答】解：cos300°=cos（360°﹣60°）=cos60°= 故答案为
【点评】考查学生灵活运用诱导公式进行化简的能力． 3．函数
的最小正周期为 ．
【考点】正切函数的图象．
4
【专题】计算题；函数思想；分析法；三角函数的图像与性质． 【分析】根据正切函数的周期性进行求解即可． 【解答】解：故答案为：
．
的周期为T=
．
【点评】本题主要考查三角函数的周期的计算，比较基础．
4．已知函数f（x）=x2﹣3x的定义域为{1，2，3}，则f（x）的值域为 {﹣2，0} ． 【考点】函数的值域．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用． 【分析】直接把x的取值代入函数解析式求解．
【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣3x的定义域为{1，2，3}， 得f（1）=﹣2，f（2）=﹣2，f（3）=0． ∴f（x）的值域为{﹣2，0}． 故答案为：{﹣2，0}．
【点评】本题考查函数值域的求法，是基础的计算题．
5．已知向量=（1，2），=（﹣2，2），则|﹣|的值为 3 ． 【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；对应思想；平面向量及应用． 【分析】首先求出﹣的坐标，然后求模．
【解答】解：因为向量=（1，2），=（﹣2，2），所以﹣=（3，0），所以|﹣|=3；故答案为：3．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算以及求向量的模；属于基础题．
6．已知函数f（x）=ax+1﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为 （﹣1，0） ．
【考点】指数函数的图像与性质．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】令x+1=0，得x=﹣1，f（﹣1）=a0﹣1=0．于是f（x）恒过点（﹣1，0）．
5
【解答】解：令x+1=0，解得x=﹣1，f（﹣1）=a0﹣1=0．∴f（x）恒过点（﹣1，0）． 故答案为（﹣1，0）．
【点评】本题考查了指数函数的性质，是基础题．
7．已知tan（α+
）=2，则tanα=
．
【考点】两角和与差的正切函数． 【专题】计算题．
【分析】根据已知的条件，利用两角和的正切公式可得值．
【解答】解：∵已知tan（α+故答案为：．
【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．
8．若cos2α=，则sin4α﹣cos4α= ﹣ ． 【考点】二倍角的余弦． 【专题】计算题．
【分析】把所求的式子利用平方差公式化简，利用同角三角函数间的平方关系sin2α+cos2α=1进行化简，提取﹣1后再根据二倍角的余弦函数公式变形，将coc2α的值代入即可求出值． 【解答】解：∵cos2α=， ∴sin4α﹣cos4α
=（sin2α﹣cos2α）（sin2α+cos2α） =﹣（cos2α﹣sin2α） =﹣cos2α =﹣． 故答案为：﹣
【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，二倍角的余弦函数公式，以及平方差公式的运用，熟练掌握公式是解本题的关键．
6
=2，解方程求得 tanα 的
）=2，∴ =2，解得 tanα=，
9．已知扇形的半径为1cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为 1 cm2． 【考点】扇形面积公式．
【专题】计算题；分析法；三角函数的求值．
【分析】直接求出扇形的弧长，然后求出扇形的面积即可． 【解答】解：扇形的圆心角为2，半径为1，扇形的弧长为：2， 所以扇形的面积为：故答案为：1．
【点评】本题是基础题，考查扇形的面积的求法，弧长、半径、圆心角的关系，考查计算能力．
10．已知sinα﹣
cosα=m﹣1，则实数m的取值范围是 ﹣1≤m≤3 ．
=1．
【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域． 【专题】计算题；三角函数的图像与性质． 【分析】利用辅助角公式可将sinα﹣性即可求得实数m的取值范围． 【解答】解：∵m﹣1=sinα﹣
cosα=2sin（α﹣
），
cosα化简为2sin（α﹣
），利用正弦函数的有界
∴由正弦函数的有界性知，﹣2≤m﹣1≤2， 解得﹣1≤m≤3．
∴实数m的取值范围﹣1≤m≤3． 故答案为：﹣1≤m≤3．
【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，突出考查正弦函数的有界性，属于中档题．
11．已知函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜π）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为f（x）=
．
7
【考点】正弦函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式． =3sin0≤φ＜π）【解答】解：根据函数f（x）（ωx+φ）（ω＞0，的部分图象，可得求得ω=
．
•（﹣1）+φ=0，求得φ=
， ．
，
=3+1，
再根据五点法作图可得故f（x）=故答案为：
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．
12．在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，且CF=2DF．若
，λ，μ均为实数，则λ+μ的值为
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用． 【分析】设=
【解答】解：设
=，=，
=，则
=
，
=
+，从而 ．
，由此能求出λ+μ． =，
∵在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，且CF=2DF， ∴∵∴
==
，
=
+，
， ，
，λ，μ均为实数，
8
∴，解得，
∴λ+μ=． 故答案为：．
【点评】本题考查代数式求值，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用．
13．已知f（x）是定义在R上且周期为6的奇函数，当x∈（0，3）时，f（x）=lg（2x2﹣x+m）．若函数f（x）在区间[﹣3，3]上有且仅有5个零点（互不相同），则实数m的取值范围是
．
【考点】函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理． 【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由奇函数的性质和函数的周期性，可得0、±3是函数f（x）的零点，将函数f（x）在区间[﹣3，3]上的零点个数为5，转化为当x∈（0，3）时，2x2﹣x+m＞0恒成立，且2x2﹣x+m=1在（0，3）有一解，由此构造关于m的不等式组，解不等式组可得实数m的取值范围．
【解答】解：由题意知，f（x）是定义在R上的奇函数， 所以f（0）=0，即0是函数f（x）的零点，
因为f（x）是定义在R上且以6为周期的周期函数，
所以f（﹣3）=f（3），且f（﹣3）=﹣f（3），则f（﹣3）=f（3）=0， 即±3也是函数f（x）的零点，
因为函数f（x）在区间[﹣3，3]上的零点个数为5， 且当x∈（0，3）时，f（x）=lg（2x2﹣x+m）．
所以当x∈（0，3）时，2x2﹣x+m＞0恒成立，且2x2﹣x+m=1在（0，3）有一解，
9
即或，
解得故答案为：
．
．
【点评】本题考查奇函数的性质，函数的周期性，对数函数的性质，函数的零点的综合应用，二次函数根的分布问题，难度比较大．
14．对任意两个非零的平面向量
，，定义
和
之间的新运算⊙：
．已
知非零的平面向量满足：和都在集合，则
=
中，且 ．
．设与的夹角
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】新定义；对应思想；综合法；平面向量及应用． 【分析】令
=
=
，
=
=
和sinθ． =
=
，
=
．则cos2θ=
，根
据θ的范围和||＞||得出k1，k2的值，计算出【解答】解：
=
=
===cos2θ=）
=．
∴＜cos2θ＜，，即＜
∴（＜．
•）（
∵，
k2∈Z，∵k1，∴k1k2=2．∵∴
故答案为：．
=
×
k1=1，sinθ=∴k1=2，∴cos2θ=，，=．
．： = ．
10
【点评】本题考查了向量的数量积运算和对新定义的应用，根据所给条件找出k1，k2的值是解题关键．
二、解答题（共6小题，满分64分） 15．已知
，
，α，β均为锐角．
（1）求sin2α的值； （2）求sinβ的值．
【考点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦． 【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+β）的值，再利用两角和差的正弦公式求得sinβ的值． 【解答】解：（1）∵
，α为锐角，∴
，
∴
（2）∵α，β均为锐角，
．
，∴α+β∈（0，π），
∴∴
，
．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和差的正弦公式的应用，属于基础题．
16．已知||=3，||=5，|+|=7． （1）求向量与的夹角θ；
（2）当向量k+与﹣2垂直时，求实数k的值．
11
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．
【分析】（1）对模两边平方，利用两个向量的数量积的定义解得cosθ=，即可求出θ的度数；
（2）根据向量垂直，其数量积为0，即可求出k的值． 【解答】解：（1）∵||=3，||=5，|+|=7， ∴|+|2=（）2+（）2+2∴cosθ= ∵0°≤θ≤180°， ∴θ=60°；
（2）∵向量k+与﹣2垂直， ∴（k+）（﹣2）=0，
∴k||2﹣2||2+（1﹣2k）||||cosθ=0， 即9k﹣50+（1﹣2k）×3×5×=0， 解得k=﹣
．
=||2+||2+2||||cosθ=9+25+30cosθ=47，
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量数量积的运算，向量的垂直的条件，根据三角函数的值求角，属于中档题
17．已知向量（1）若
，
，求sinθ﹣cosθ的值；
，θ为第二象限角．
（2）若∥，求
【考点】平面向量数量积的运算．
的值．
【专题】计算题；对应思想；综合法；平面向量及应用． 【分析】（1）由
得
2
=，，对sinθ﹣cosθ取平方得（sinθ﹣cosθ）
根据θ的范围开方得出sinθ﹣cosθ的值；
12
（2）由∥得，对进行化简得出答案．
【解答】解：（1）∵∴
，∴
．
，∴．
∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0， ∴
．
．
（2）∵∥，∴﹣2sinθ﹣cosθ=0，∴
∴，．
∴．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的恒等变换与化简求值，是中档题．
18．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）之间满足函数关系y=ekx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．已知该食品在0℃的保鲜时间为160小时，在20℃的保鲜时间为40小时． （1）求该食品在30℃的保鲜时间；
（2）若要使该食品的保鲜时间至少为80小时，则储存温度需要满足什么条件？ 【考点】函数模型的选择与应用．
【专题】应用题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出ek，eb的值，运用指数幂的运算性质求解e30k+b即可．
（2）由题意y=ekx+b≥80，结合指数幂的运算法则进行求解即可．
【解答】解：（1）由题意，，∴…
∴当x=30时，
答：该食品在30℃的保鲜时间为20小时．…
．…
13
（2）由题意y=ekx+b≥80，∴∴kx≥10k． 由
可知k＜0，故x≤10．…
，…
答：要使该食品的保鲜时间至少为80小时，储存温度不能超过10℃．…
【点评】本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解．
19．已知函数f（x）=4﹣log2x，g（x）=log2x． （1）当
时，求函数h（x）=f（x）•g（x）的值域；
（2）若对任意的x∈[1，8]，不等式f（x3）•f（x2）＞kg（x）恒成立，求实数k的取值范围．
【考点】分段函数的应用．
【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）h（x）=（4﹣log2x）•log2x，利用换元法，配方法，即可求函数h（x）=f（x）•g（x）的值域；
（2）令t=log2x，则t∈[0，3]﹒（4﹣3t）（4﹣2t）＞kt对t∈[0，3]恒成立．令φ（t）=（4﹣3t）（4﹣2t）﹣kt=6t2﹣（k+20）t+16，则t∈[0，3]时，φ（t）＞0恒成立，分类讨论，即可求实数k的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，h（x）=（4﹣log2x）•log2x， 令t=log2x，则y=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，… ∵
，∴t∈（﹣1，3），y∈（﹣5，4]
即函数h（x）的值域为（﹣5，4]．…
（2）∵f（x3）•f（x2）＞kg（x），令t=log2x，则t∈[0，3]﹒ ∴（4﹣3t）（4﹣2t）＞kt对t∈[0，3]恒成立．… 令φ（t）=（4﹣3t）（4﹣2t）﹣kt=6t2﹣（k+20）t+16， 则t∈[0，3]时，φ（t）＞0恒成立．… ∵φ（t）的图象抛物线开口向上，对称轴∴①当
，
，即k≤﹣20时，∵φ（0）＞0恒成立，
∴k≤﹣20； …
14
②当，即k≥16时，
，不成立； … ，即﹣20＜k＜16时， ，得
．… ．…
，
由φ（3）＞0，得③当由∴综上，
【点评】本题考查分段函数，考查函数的值域，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
20．已知函数
．
的值；②求
的取值范围；
（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，①求
（2）已知函数g（x）的定义域为D，若存在区间[m，n]⊆D，当x∈[m，n]时，g（x）的值域为[m，n]，则称函数g（x）是D上的“保域函数”，区间[m，n]叫做“等域区间”．试判断函数f（x）是否为（0，+∞）上的“保域函数”？若是，求出它的“等域区间”；若不是，请说明理由．
【考点】函数单调性的性质．
【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】（1）①f（x）在fa）=f＜b且（（b）时，代入，利用配方法求
上为减函数，在，且的取值范围；
，
，即可求
上为增函数，当0＜a②由①知的值；
，
n]⊆+∞）n]时，fn]，（2）假设存在[m，（0，，当x∈[m，（x）的值域为[m，则m＞0.可得
．利用分类讨论，即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意，
∴f（x）在上为减函数，在上为增函数． …
①∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），
15
∴∴
．…
，且，
②由①知∴∵
，∴
，
，
．…
（2）假设存在[m，n]⊆（0，+∞），当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，则m＞0． ∵①若
，∴
．…
，∵f（x）在
上为减函数，
∴解得或，不合题意．…
②若，∵f（x）在上为增函数，
∴解得不合题意．…
综上可知，不存在[m，n]⊆（0，+∞），当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，即f（x）不是（0，+∞）上的“保域函数”．…
【点评】本题主要考查了新的定义，以及函数的值域，同时考查了等价转化的数学思想，属于中档题．
16
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