弦长公式及其运用

弦长公式在职业高中数学解题中的应用

邹志勇

摘要：直线与圆锥曲线的位置关系是平面解析几何中的一个重要内容之一，而弦长公式的应用是其中的一个重要知识点，也是高考的热点，如何培养学生的创新思维，找到求解弦长的有效方法，在数学教学中显得尤为重要。

关键词：弦长、弦长公式、弦长公式的应用。

与“求弦长”有关的知识点在职高数学教学中经常遇到，而弦长公式是求弦长的最快捷方法之一，在实际应用中，如何让学生灵活地应用弦长公式求弦长在解题中显得至关重要。

一、弦长：这里指的是直线与圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）相交所截的线段。 二、弦长公式：这里指的是弦长计算公式，弦长公式有好几个，而这里所要讲的是简化后的弦长公式（Ｌ＝

1k2a ）

（1）弦长公式的推导

设直线y=kx+t与圆锥曲线相交于A（x1 ，y1 ） B（x2 ，y2 ）两点。则弦长为AB,把y=kx+t代入圆锥曲线方程消去y化简整理得到一个关于x的一元二次方程 x+bx+c=0 （≠0）

则x1+x2=－

2bc ，x1x2= aa22∴ AB=(x2x1)(y2y1)=(x2x1)(kx2t)(kx1t)

222 =(1k)(x2x1)2=(1k)2(x1x2)24x1x2

=(1k)

2bc()24=(1k2) aa1k2b24ac=

aa21k2∴ 弦长公式为=

a（其中k表示直线的斜率，△=b-4ac，表示一元二次方程中x的系数） （2）弦长公式的应用

①直线与圆相交时，弦长公式的应用举例。

例1：已知直线y=2x-5与圆x2+y2=25相交于A，B两点，求AB 解：把y=2x-5代入x2+y2=25化简得x—4x=0 ∴ k=2

2

22=1 △= (4)2-4×1×0=16

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1k2∴ AB=

a=

12216=45 1②直线与椭圆相交时，弦长公式的应用

x2例2：已知直线y=x+2与椭圆+y2=1相交于A，B两点，求AB

9x2解：把y=x+2代入+ y2=1化简得10x2+36x+27=0

91k2∴ AB=

a=

1123624102763= 510③直线与双曲线相交时，弦长公式的应用

y22例3：已知直线y=x-2与双曲线x—=1化简得x+4x-6=0

221k2∴ AB=

a=

1124241(6)=45

1④直线与抛物线相交时，弦长公式的应用

例4：已知直线y=2x+m与抛物线y2 =4x相交于Ａ，Ｂ两点，若AB＝３5，求ｍ的值 解：把ｙ＝2x+m代入y2 =4x化简得4x+（4m—4）x＋m=0 ∵ AB=35

22∴

122(4m4)244m2=35

4解得m=—4

弦长公式的推导是一个难点，如果弄清了公式的来龙去脉，定能加深对公式的理解和记忆，弦长公式是一个实用性很强的公式，如果能够灵活地应用弦公式，在解题中往往能取到事半功倍的效果。

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