吉林省2021年中考数学真题试卷及答案

一、单项选择题（每小题2分，共12分）

1.化简1的结果为（A.－1【答案】C【解析】【分析】括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号．【详解】解：11，故选：C．《吉林日报》第一季度一汽集团销售整车70060辆，数据700602.据2021年5月14日报道，用科学记数法表示为（A.7.006103

）B.7.006104

C.70.06103

D.B.0）C.1D.20.7006104

【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【详解】解：700607.0060104，故选：B．3.不等式2x13的解集是（A.x1【答案】B【解析】B.x2

）C.x1

D.x2

【分析】按照解不等式步骤：移项，合并同类项，系数化为1求解．【详解】解：2x13，2x31，2x4，x2．故选：B．4.如图，粮仓可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，其主视图是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形．【详解】解：粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形．故选：A．5.如图，四边形ABCD内接于O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若B120，则APC的度数可能为（）A.30°【答案】D【解析】B.45C.50D.65

【分析】由圆内接四边形的性质得D度数为60，再由APC为PCD的外角求解．【详解】解：∵四边形ABCD内接于O，∴BD180，∵B120，∴D180B60，∵APC为PCD的外角，∴APCD，只有D满足题意．故选：D．6.古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，若设这个数是x，则所列方程为（）A.21

xxx3337B.211xxx33327211

xxx33372C.211

xxxx33327D.x

【答案】C【解析】【分析】根据题意列方程211

xxxx33．327211

xxxx33．327【详解】解：由题意可得故选C二、填空题（每小题3分，共24分）

7.计算：9-1＝_____．【答案】2【解析】【分析】利用二次根式的性质化简，进而通过计算即可得出答案．【详解】9-1＝3-1＝2故答案为：2．8.因式分解：m22m__________．【答案】mm2【解析】【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式m即可．【详解】m22mmm2故答案为：mm29.计算：【答案】【解析】【分析】根据同分母分式的加减法则运算．2xx

__________．x1x1xx1【详解】解：2xx2xxx

．x1x1x1x1故答案为：x．x1则c的值为__________．10.若关于x的一元二次方程x23xc0有两个相等的实数根，【答案】【解析】【分析】根据判别式0求解即可．【详解】解：∵一元二次方程x23xc0有两个相等的实数根，∴324c0，解得c

9

49．49．4故答案为：11.如图，已知线段AB2cm，其垂直平分线CD的作法如下：①分别以点A和点B为圆心，bcm长为半径画弧，两弧相交于C，D两点；②作直线CD．上述作法中b满足的条作为b___1.（填“”，“”或“”）【答案】＞【解析】【分析】作图方法为：以A，B为圆心，大于答案．【详解】解：∵AB2cm，∴半径b长度即b1cm．故答案为：．1

AB长度画弧交于C，D两点，由此得出21

AB，212.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为0,3，点B的坐标为4,0，连接AB，若将ABO绕点B顺时针旋转90，得到△A'BO'，则点A'的坐标为__________．【答案】【解析】7,4【分析】根据旋转的性质可求得OA和OB的长度，进而可求得点A'的坐标．【详解】解：作ACx轴于点C，由旋转可得O'90，O'Bx轴，∴四边形O'BCA'为矩形，∴BCA'O'OA3，A'CO'BOB4，∴点A'坐标为故答案为：7,4．7,4．13.如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m，则坝高CF为__________m．【答案】2.7【解析】【分析】根据DE//CF，可得ADDE，进而得出CF即可．ACCF【详解】解：如图，过C作CFAB于F，则DE//CF，∴10.6ADDE，即，ACCF4.5CF解得CF2.7，故答案为：2.714.如图，在RtABC中，C90，A30，BC2．以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC，AB于点D，E，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留）．【答案】【解析】2

33【分析】连接CE，由扇形CBE面积﹣三角形CBE面积求解．【详解】解：连接CE，∵A30，∴B90A60，∵CECB，∴△CBE为等边三角形，∴ECB60，BEBC2，∴S扇形CBE∵S△BCE

22602，36033BC23，42

3．3∴阴影部分的面积为故答案为：2

3．3三、解答题（每小题5分共20分）

15.先化简，再求值：x2x2xx1，其中x【答案】x4，3【解析】【分析】先根据平方差公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．【详解】解：x2x2xx11．212x24x2x

x4，当x

111时，原式43．22216.第一盒中有1个白球、1个黑球，第二盒中有1个白球，2个黑球．这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，用画树状图或列表的方法，求取出的2个球都是白球的概率．【答案】【解析】【分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而得出两次都是白球的概率即可．【详解】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：白白黑1黑2白、白白、黑1白、黑2黑黑、白黑1、黑黑、黑216共有6种等可能出现的结果情况，其中两球都是白球的有1种，所以取出的2个球都是白球的概率为1．61．6答：取出的2个球都是白球的概率为【点睛】本题考查简单事件的概率，正确列表或者画树状图是解题关键．17.如图，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB＝AC，∠B＝∠C.求证：AD＝AE【答案】见解析.【解析】【分析】根据ASA△ADC≌△AEB，即可得出结论．【详解】证明：在△ABE和△ACD中，A＝A

AB＝ACB＝C

∴△ABE≌△ACD（ASA）∴AE=AD18.港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55km．其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4km．求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．【答案】港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1km和5.9km【解析】【分析】设港珠澳大桥隧道长度为xkm，桥梁长度为ykm．由桥梁和隧道全长共55km，得xy55．桥梁长度比隧道长度的9倍少4km，得y9x4，然后列出方程组，解方程组即可．【详解】解：设港珠澳大桥隧道长度为xkm，桥梁长度为ykm．xy55

由题意列方程组得：．y9x4x5.9

解得：．y49.1

答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1km和5.9km．四、解答题（每小题27分，共28分）

19.图①、图2均是44的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．（1）在图①中，以点A，B，C为顶点画一个等腰三角形；（2）在图②中，以点A，B，D，E为顶点画一个面积为3的平行四边形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可：如以B为顶点，AC为底边，即可做出等腰三角形；（2）作底为1，高为3的平行四边形即可．【详解】解：（1）如图①中，此时以B为顶点，AC为底边，该ABC即为所求（答案不唯一）．（2）如图②中，此时底AE1，高h3，因此四边形ABDE即为所求．20.2020年我国是全球主要经济体中唯一实现经济正增长的国家，各行各业蓬勃发展，其中快递业务保持着较快的增长．给出了快递业务的有关数据信息．2016﹣2017年快递业务量增长速度统计表年龄增长速度2016201720182019202051.4%28.0%26.6%25.3%31.2%

说明：增长速度计算办法为：增长速度=（本年业务量-去年业务量）÷去年业务量×100%．根据图中信息，解答下列问题：（1）2016﹣2020年快递业务量最多年份的业务量是__________亿件．（2）2016﹣2020年快递业务量增长速度的中位数是__________．（3）下列推断合理的是__________（填序号）．①因为2016﹣2019年快递业务量的增长速度逐年下降，所以预估2021年的快递业务量应低于2020年的快递业务量；②因为2016﹣2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上．所以预估2021年快递业务量应在833.6125%1042亿件以上．【答案】（1）833.6；（2）28.0%；（3）②【解析】【分析】（1）根据2016﹣2020年快递业务量统计图可得答案；（2）根据中位数的意义，将2016﹣2020年快递业务量增长速度从小到大排列找出中间位置的一个数即可；（3）利用业务量的增长速度率估计2021年的业务量即可．【详解】解：（1）由2016﹣2020年快递业务量统计图可知，2020年的快递业务量最多是833.6亿件，故答案为：833.6；（2）将2016﹣2020年快递业务量增长速度从小到大排列处在中间位置的一个数是28.0%，因此中位数是28.0%，故答案为：28.0%；（3）①2016﹣2019年快递业务量的增长速度下降，并不能说明快递业务量下降，而业务量也在增长，只是增长的速度没有那么快，因此①不正确；②因为2016﹣2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上．所以预估2021年快递业务量应在833.6125%1042亿件以上，因此②正确；故答案为：②．21.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y例函数y

4

x2的图象与y轴相交于点A，与反比3k

在第一象限内的图象相交于点Bm,2，过点B作BCy轴于点C．x（1）求反比例函数的解析式；（2）求ABC的面积．【答案】（1）y【解析】【分析】（1）因为一次函数与反比例函数交于B点，将B代入到一次函数解析式中，可以求得B点坐标，从而求得k，得到反比例函数解析式；（2）因为BCy轴，所以C0,2，利用一次函数解析式可以求得它与y轴交点A的坐标0,2，由A，B，C三点坐标，可以求得AC和BC的长度，并且BC//x轴，所以6

；（2）6xSVABC

1

ACBC，即可求解．2【详解】解：（1）∵B点是直线与反比例函数交点，∴B点坐标满足一次函数解析式，∴4

m22，3∴m3，∴B

3,2，6；x∴k6，∴反比例函数的解析式为y（2）∵BCy轴，∴C0,2，BC//x轴，∴BC3，令x0，则y∴A0,2，∴AC4，∴S△ABC

4

x22，31

ACBC6，2∴ABC的面积为622.数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬44，求北纬44纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：（1）在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；（2）如图，O是经过南、北极的圆，地球半径OA约为6400km．弦BC//OA，过点O作OKBC于点K，连接OB．若AOB44，则以BK为半径的圆的周长是北纬44纬线的长度；（3）参考数据：取3，sin440.69，cos440.72．小组成员给出了如下解答，请你补充完整：解：因为BC//OA，AOB44，所以BAOB44（）（填推理依据），因为OKBC，所以BKO90，在RtBOK中，OBOA6400．．BKOB_______（填“sinB”或“cosB”）所以北纬44的纬线长C2BK

236400

（填相应的三角形函数值）

（km）（结果取整数）．【答案】两直线平行，内错角相等；cosB；0.72；27648【解析】【分析】由平行线的性质，锐角三角函数的定义求解．【详解】解：因为BC//OA，AOB44，所以BAOB44（两直线平行，内错角相等）（填推理依据），因为OKBC，所以BKO90，在RtBOK中，OBOA6400．．BKOBcosB（填“sinB”或“cosB”）所以北纬44的纬线长C2BK．2364000.72（填相应的三角形函数值）27648km（结果取整数）．故答案为：两直线平行，内错角相等；cosB；0.72；27648.五、解答题（每小题8分，共16分）

23.疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示．（1）直接写出乙地每天接种的人数及a的值；（2）当甲地接种速度放缓后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．【答案】（1）a40；（2）y【解析】【分析】（1）由接种速度＝接种人数÷接种天数求解．（2）利用待定系数法求解．（3）将x80代入（2）问中解析式得出y34，然后由40346．【详解】解：（1）乙地接种速度为40800.5（万人/天），1

x1540x100；（3）5万人40.5a255，解得a40．（2）设ykxb，将40,25，100,40代入解析式得：2540kb

，

40100kb

1k解得4， b15

∴y

1

x1540x100．411

x15得y801535，44（3）把x80代入y．40355（万人）24.如图①，在RtABC中，ACB90，A60，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．（1）若AB=a．直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；（2）若DFBC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如图②，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；（3）若DFAB，直接写出BDE的度数．【答案】（1）【解析】1

a；（2）菱形，见解析；（3）BDE45或BDE135211ABa；22【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得CD（2）由题意可得DF//AC，DF边的一半”，得AC

1

AB，由“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜21

AB，得DFAC，则四边形ADFC是平行四边形，再由折叠得2DFBDAD，于是判断四边形ADFC是菱形；（3）题中条件是“点E是射线BC上一点”，因此DFAB又分两种情况，即点F与点D在直线CE的异侧或同侧，正确地画出图形即可求出结果．【详解】解：（1）如图①，在RtABC中，ACB90，∵CD是斜边AB上的中线，AB=a，∴CD

11

ABa．22（2）四边形ADFC是菱形．理由如下：如图②∵DFBC于点G，∴DGBACB90，∴DF//AC；由折叠得，DFDB，∵DB∴DF

1

AB，21

AB；2∵ACB90，A60，∴B906030，∴AC

1

AB，2∴DFAC，∴四边形ADFC是平行四边形；∵AD

1

AB，2∴ADDF，∴四边形ADFC是菱形．（3）如图③，点F与点D在直线CE异侧，∵DFAB，∴BDF90；由折叠得，BDEFDE，∴BDEFDE

11

BDF9045；22如图④，点F与点D在直线CE同侧，∵DFAB，∴BDF90，∴BDEFDE36090270，由折叠得，BDEFDE，∴BDEBDE270，∴BDE135．综上所述，BDE45或BDE135．六、解答题（每小题10分，共20分）

25.如图，在矩形ABCD中，AB3cm，AD

3cm．动点P从点A出发沿折线ABBC向终点C运动，在边AB上以1cm/s的速度运动；在边BC上以3cm/s的速度运动，过点P作线段PQ与射线DC相交于点Q，且PQD60，连接PD，BD．设点P的运动时间为x

s，VDPQ与△DBC重合部分图形的面积为ycm2．（1）当点P与点A重合时，直接写出DQ的长；（2）当点P在边BC上运动时，直接写出BP的长（用含x的代数式表示）；（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．3233xx(0x2)84815333293xx(2x3)【答案】（1）1；（2）PB3x3；（3）y8483363x(3x4)

2

【解析】【分析】（1）在RtPDQ中，由tan60

AD

3求解即可；DQ3x3．（2）点P在AB上运动时间为313s，则点P在BC上时PB

（3）分类讨论①：点P在AB上，点Q在CD上；②：点P在AB上，点Q在DC延长线上；③：点P在BC上．【详解】解：（1）如图，在RtPDQ中，AD∴tan60

3，PQD60，AD

3，DQ∴DQ

3AD1．3（2）点P在AB上运动时间为313s，∴点P在BC上时：PB

3x3．（3）当0x3时，点P在AB上，作PMCD于点M，PQ交AB于点E，作ENCD于点N，同（1）可得MQ

3AD1．3∴DQDMMQAPMQx1，当x13时x2，①∴0x2时，点Q在DC上，∵tanBDC

BC3，

CD3∴DBC30，∵PQD60，∴DEQ90°．∵sin30∴EQ

EQ1，DQ21x1DQ，22EN3，

EQ2∵sin60

∴EN∴y．33EQx1，2411333332DQENx1x1x1x2x0x22248848②当2x3时，点Q在DC延长线上，PQ交BC于点F，如图，∵CQDQDCx13x2，tan60∴CFCQtan60∴S△CQF

CF

，CQ3x2，1132CQCF(x2)3(x2)x23x23，222323332

xxx23x238482∴yS△DEQS△CQF



33293153xx(2x3)．848③当3x4时，点P在BC上，如图，∵CPCBBP∴y

33(x3)433x，1133DCCP3(433)63x(3x4)．2223233xx(0x2)48815333293xx(2x3)．综上所述：y

4883363x(3x4)

2

26.如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2bxc的图象经过点A0,





7，点4

1B1,．4

（1）求此二次函数的解析式；（2）当2x2时，求二次函数yx2bxc的最大值和最小值；（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ//x轴，点Q的横坐标为2m1．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．①求m的取值范围；②当PQ7时，直接写出线段PQ与二次函数yxbxc2x数及对应的m的取值范围．【答案】（1）yxx

2

2





1

的图象交点个3

74117；（2）最大值为；最小值为－2；（3）①m；②2m

34344111m时，PQ与图象交点个数为1，m时，PQ与图象有2个交点．或󰁥2332【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解．（2）将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解．（3）①由0PQ7求出m取值范围，②通过数形结合求解．【详解】解：（1）将A0,





712

B，点1,代入yxbxc得：44

7

c4，

11bc4b1

解得7，c4

∴yxx

2

2

7

．42

71

（2）∵yxxx2，42

1∵抛物线开口向上，对称轴为直线x．21∴当x时，y取最小值为－2，2∵2

11(2)，22

2

∴当x2时，y取最大值22

717

．44（3）①PQ2m1m3m1，当3m10时，PQ3m1，PQ的长度随m的增大而减小，当3m10时，PQ3m1，PQ的长度随m增大而增大，∴3m10满足题意，1解得m．3②∵0PQ7，∴03m17，解得2m

1，31如图，当x时，点P在最低点，PQ与图象有1交点，211

m增大过程中，m，点P与点Q在对称轴右侧，PQ与图象只有1个交点，23直线x∴

141关于抛物线对称轴直线x对称后直线为x，23341

m时，PQ与图象有2个交点，32当2m

4

时，PQ与图象有1个交点，32m综上所述，与图象有2个交点．44111PQ与图象交点个数为1，m时，m时，PQ或󰁥23332