高中物理万有引力与航天试题经典及解析

一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天

1．设地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G．将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体，不考虑空气的影响．若把一质量为m的物体放在地球表面的不同位置，由于地球自转，它对地面的压力会有所不同．

（1）若把物体放在北极的地表，求该物体对地表压力的大小F1； （2）若把物体放在赤道的地表，求该物体对地表压力的大小F2；

（3）假设要发射一颗卫星，要求卫星定位于第（2）问所述物体的上方，且与物体间距离始终不变，请说明该卫星的轨道特点并求出卫星距地面的高度h．

2GMmMm42GMT （2）F2G2m2R（3）h3【答案】（1）R 2R2RT4【解析】 【详解】

(1) 物体放在北极的地表，根据万有引力等于重力可得：G物体相对地心是静止的则有：F1mg，因此有：F1GMmmg 2RMm R2(2)放在赤道表面的物体相对地心做圆周运动，根据牛顿第二定律：

GMmR2F2m42T2R

Mm42解得： F2G2m2R

RT(3)为满足题目要求，该卫星的轨道平面必须在赤道平面内，且做圆周运动的周期等于地球自转周期T

以卫星为研究对象，根据牛顿第二定律：GMm(Rh)2m42T2(Rh)

2GMT解得卫星距地面的高度为：h3R 24

2．经过逾6 个月的飞行，质量为40kg的洞察号火星探测器终于在北京时间2018 年11 月27 日03：56在火星安全着陆。着陆器到达距火星表面高度800m时速度为60m/s，在着陆器底部的火箭助推器作用下开始做匀减速直线运动；当高度下降到距火星表面100m时速度减为10m/s。该过程探测器沿竖直方向运动，不计探测器质量的变化及火星表面的大气阻力，已知火星的质量和半径分别为地球的十分之一和二分之一，地球表面的重力加速度为g = 10m/s2。求：

(1)火星表面重力加速度的大小； (2)火箭助推器对洞察号作用力的大小.

【答案】(1)g火=4m/s (2)F=260N 【解析】 【分析】

火星表面或地球表面的万有引力等于重力，列式可求解火星表面的重力加速度；根据运动公式求解下落的加速度，然后根据牛顿第二定律求解火箭助推器对洞察号作用力. 【详解】

（1）设火星表面的重力加速度为g火，则G2M火mr2火=mg火

GM地m=mg 2r地解得g火=0.4g=4m/s2

（2）着陆下降的高度：h=h1-h2=700m，设该过程的加速度为a，则v22-v12=2ah 由牛顿第二定律：mg火-F=ma 解得F=260N

3．我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，经过一系列过程，在离月球表面高为h处悬停，即相对月球静止．关闭发动机后，探测器自由下落，落到月球表面时的速度大小为v，已知万有引力常量为G，月球半径为R，hR，忽略月球自转，求： （1）月球表面的重力加速度g0； （2）月球的质量M；

（3）假如你站在月球表面，将某小球水平抛出，你会发现，抛出时的速度越大，小球落回到月球表面的落点就越远．所以，可以设想，如果速度足够大，小球就不再落回月球表面，它将绕月球做半径为R的匀速圆周运动，成为月球的卫星．则这个抛出速度v1至少为多大？

2v2v2R2vR（2）M（3）v1【答案】（1）g0 2h2hG2h【解析】

v2（1）根据自由落体运动规律v2g0h，解得g0

2h2（2）在月球表面，设探测器的质量为m，万有引力等于重力，GMmmg0，解得月球2Rv2R2质量M

2hG（3）设小球质量为m'，抛出时的速度v1即为小球做圆周运动的环绕速度

v12Mm'v2R万有引力提供向心力Gm'，解得小球速度至少为v1 R2R2h

4．宇航员在某星球表面以初速度v0竖直向上抛出一个物体，物体上升的最大高度为h.已知该星球的半径为R，且物体只受该星球的引力作用.求： (1)该星球表面的重力加速度；

(2)从这个星球上发射卫星的第一宇宙速度.

2v0R (2) v0【答案】(1) 2h2h【解析】

本题考查竖直上抛运动和星球第一宇宙速度的计算．

2(1) 设该星球表面的重力加速度为g′，物体做竖直上抛运动，则v02gh

2v0解得，该星球表面的重力加速度g

2hv2(2) 卫星贴近星球表面运行，则mgm

R解得：星球上发射卫星的第一宇宙速度vgRv0R 2h

5．假设在月球上的“玉兔号”探测器，以初速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t小球落回抛出点，已知月球半径为R，引力常数为G． (1)求月球的密度．

(2)若将该小球水平抛出后，小球永不落回月面，则抛出的初速度至少为多大？ 【答案】（1）【解析】 【详解】

3v02Rv0 （2） 2GRttgt 22v所以月球表面的重力加速度g0

t(1)由匀变速直线运动规律：v0由月球表面，万有引力等于重力得

GMmmg R2gR2 MG月球的密度=3v0M V2GRtv2(2)由月球表面，万有引力等于重力提供向心力：mgm

R可得：v2Rv0 t

6．在物理学中，常常用等效替代、类比、微小量放大等方法来研究问题．如在牛顿发现万有引力定律一百多年后，卡文迪许利用微小量放大法由实验测出了万有引力常量G的数值，如图所示是卡文迪许扭秤实验示意图．卡文迪许的实验常被称为是“称量地球质量”的实验，因为由G的数值及其它已知量，就可计算出地球的质量，卡文迪许也因此被誉为第一个称量地球的人．

（1）若在某次实验中，卡文迪许测出质量分别为m1、m2相距为r的两个小球之间引力的大小为F，求万有引力常量G；

（2）若已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，忽略地球自转的影响，请推导出地球质量及地球平均密度的表达式．

Fr2【答案】（1）万有引力常量为G．

m1m23gR2g（2）地球质量为，地球平均密度的表达式为

4RGG【解析】 【分析】

根据万有引力定律FGm1m2，化简可得万有引力常量G； 2rMmmg，可以解得地球的质量M，地2R在地球表面附近的物体受到重力等于万有引力G球的体积为V【详解】

（1）根据万有引力定律有：

4MR3，根据密度的定义，代入数据可以计算出地球平均密度． 3VFG解得：

m1m2 r2Fr2G

m1m2（2）设地球质量为M，在地球表面任一物体质量为m，在地球表面附近满足：

GMmmg 2RR2g得地球的质量为： M

G4R3 3解得地球的密度为：

地球的体积为：VFr2答：（1）万有引力常量为G．

m1m2R2g（2）地球质量MG3g 4RG，地球平均密度的表达式为3g． 4RG

7．今年6月13日，我国首颗地球同步轨道高分辨率对地观测卫星高分四号正式投入使用，这也是世界上地球同步轨道分辨率最高的对地观测卫星．如图所示，A是地球的同步卫星，已知地球半径为R，地球自转的周期为T，地球表面的重力加速度为g,求：

（1）同步卫星离地面高度h （2）地球的密度ρ(已知引力常量为G)

223ggRT【答案】（1）3 （2） R24GR4【解析】 【分析】 【详解】

（1）设地球质量为M，卫星质量为m，地球同步卫星到地面的高度为h，同步卫星所受万有引力等于向心力为

42RhmM Gm22(Rh)T在地球表面上引力等于重力为

G故地球同步卫星离地面的高度为

Mmmg R2h（2）根据在地球表面上引力等于重力

3gR2T2R 24GMmmg R2结合密度公式为

gR2M3gG

434GRVR3

8．已知地球的半径为R，地面的重力加速度为g，万有引力常量为G。求 (1)地球的质量M； (2)地球的第一宇宙速度v；

(3)相对地球静止的同步卫星，其运行周期与地球的自转周期T相同。求该卫星的轨道半径r。

22R2gRgT【答案】（1）M（2）gR （3）3 2G4【解析】 【详解】

（1）对于地面上质量为m的物体，有 GMmmg R2R2g 解得 MG（2）质量为m的物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有

Mmv2G2m RR解得 vGMgR R（3）质量为m的地球同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有

Mm42G2m2r rTGMT23R2gT2解得r 22443

9．宇航员乘坐宇宙飞船靠近某星球，首先在距离该星球球心r的圆轨道上观察星球表面，他发现宇宙飞船无动力绕星球的周期为T；安全降落到星球表面后，他做了一个实验：如图所示，在倾角θ＝30º的斜面上，以一定的初速度v0沿水平方向抛出一个小物体，测得落点与抛出点间的距离为L，已知引力常量为G。求： （1）该星球的质量M； （2）该星球的半径R。

【答案】

【解析】（1）在半径为r的圆轨道运动时，对宇宙飞船，根据向心力公式有

解得：

（2）设星球表面的加速度为g，平抛时间为t，有：

解得：

对星球表面物体有：

。

解得：

点睛：此题是万有引力定律和平抛运动的结合题目，解题的关键是通过平抛运动问题求解星球表面的重力加速度，然后结合万有引力求解.

10．“嫦娥四号”卫星从地球经地一月转移轨道，在月球附近制动后进入环月轨道，然后以大小为v的速度绕月球表面做匀速圆周运动，测出其绕月球运动的周期为T，已知引力常量G，月球的半径R未知，求： （1）月球表面的重力加速度大小； （2）月球的平均密度。 【答案】(1)g【解析】 【详解】

（1）在月球表面，万有引力等于重力，重力加速度等于向心加速度gan

2v3 (2) TGT2gv

2 T以上各式联立得g2v T（2）“嫦娥四号”卫星绕月球表面做匀速圆周运动，万有引力提供向心力

Mm42R G2m 2RTM 由密度公式：

V球球体的体积公式为V球联立以上各式得43R 332 GT