新第四章经济增长马尔萨斯与索罗

本篇讲述经济增长理论，共分为两章。前一章主要介绍新古典增长理论，后一章主要涉及新增长理论。 卢卡斯认为，深刻理解经济增长的社会收益远超经济周期。

第四章 经济增长：马尔萨斯与索罗

本章目的：

1、描述经济增长的主要事实；

2、说明解释经济增长的近因与根本原因； 3、以马尔萨斯模型解释工业化之前的经济增长； 4、以索罗模型说明资本积累的作用； 5、简介Ramsey模型。 第一节 经济增长导论

理论是用来解释事实的，所以我们从经济增长的典型事实开始，然后概述经济增长的决定因素。 一、经济增长的主要事实

1、较快的人均产出的增长只是近200年来的事情。19世纪之前，整个世界的人均产出增长非常缓慢，各国之间人均产出差异非常小。1800年前后出现的工业革命推动了现代经济增长。自此之后，世界经济增长加快，各国收入差距拉大。

2、各国人口增长率与劳均产出负相关。 3、投资率与劳均产出正相关。

4、初始人均产出水平与人均产出增长率呈现复杂的关系（1960年开始）。以所有国家为考察对象，两者基本无关；以富国为考察对象，两者负相关；以最穷国为考察对象，两者基本无关。

5、增长与国际贸易正相关。

6、劳均产出持续增长，且增长率未见下降趋势。

7、资本回报率稳定；资本产出比稳定；资本与劳动报酬份额稳定。 8、单独的要素投入不能解释经济增长。

我们后面的理论主要解释这些事实。除此之外，增长理论还研究一些重大的有趣的话题，如为什么工业革命发生在西欧？（新教伦理、制度、地理）

二、经济增长的决定因素

我们将经济增长的决定因素分为近因与根本原因。前者是指影响增长的直接力量，即生产过程中的投入（资本、劳动、技术）；后者是指影响投入数量、质量与使用效率的因素，包括政府（制度）、文化、收入不平、地理与自然资源等。自然资源有时也会作为之间的投入要素，如农业生产中用到土地。

1、近因

近因是增长理论研究的主要方面。通常我们用生产函数来刻画投入与产出之间的关系。如

YF(K,L,A)或YAF(K,L)。典型的生产函数具有边际报酬递减与规模报酬不变的性质。

我们后面的理论主要说明这些近因在经济增长中的作用。 2、根本原因

下面我们概述根本原因中的政府与收入不平等两个因素。

（1）政府（制度）。补救市场失灵是政府出现在经济生活中的最重要的经济理由。政府做的最重要的一项工作是提供法制。如果没有良好的法制，要素得不到合理的回报，生产要素也就难以积累（至少对私人可能如此），经济活动难以开展。计划与产业政策是政府干预经济的另一重要手段。虽然计划经济是失败的，但许多计划与产业政策却是成功的，如亚洲四小龙的产业计划与政策。由于腐败和盗贼统治、自我保护以及其他目标，政府往往会作出一些不利于增长的事情。

（2）收入不平等。收入不平等通过影响物质资本积累或储蓄（正）、人力资本积累（负）、效率（收入分配，负）、社会动荡等因素影响经济增长。在经验分析上，收入不平等与经济增长之间的关系可用倒U型曲线来描述。

第二节 马尔萨斯模型

马尔萨斯模型描述的是现代经济增长之前的事实。在那时，长期人均产出（消费和收入）几乎没有什么增长。该模型的主要分析线索是：技术进步导致产出（食物）增加，死亡率下降，人口增加，从而人均消费回复到维持生计的水平。

一、基本结构 生产函数为：

YAF(L,N)

其中N为土地，L为劳动投入。生产函数规模报酬不变，边际报酬递减，土地数量固定。 人口增长：

L1Lg(C)

LL1为下期人口数量。人口增长取决于人均食物消费。当人均消费较高时，人口增长率较高。这主要

是由于营养状况的改善降低了死亡率所致。反之，人口增长率较低。如图1。

人口增长 L1 g(C/L) g()L C/L L 图2

L

图1

消费与产出：假设CY。由此有：

CAF(L,N)

LL1Lg(C)Lg(AF(L,N))Lg(AF(1,N))

L1g(AF(1,N))L （1）

L二、均衡与稳态 均衡点为L1L处。上式（1）实际上是差分方程。该均衡点记为L，它是稳定的。因为如果

1L1L，则LL，即人口增加；反之则认可人口减少。如图

2。直观来看，这是由于：如果人口

低于稳态值，则人均消费较高使得人口正增长，反之人口负增长。我们以人均量来重述这一点。

yY/L，nN/L，cC/L yY/LAF(N/L,1)

将上面的生产函数记为集约形式：

yAf(n)

即人均产出是人均土地的函数。生产函数如下图

y或c Af(n) 人口增长 c n g(c) 1 c c

由人口增长方程可以确定稳态时

L1L1，再由此确定稳态人均消费水平c是常数，它是与人口

变动动态方程有关而与其他因素无关的。最后由c人口数量。

yAf(n)确定n并最终确定L即经济中的稳态

马尔萨斯的结论是悲观的，即从长期来看，技术进步不能提高生活水平，它对人均消费带来的好处会被人口增长所抵消。

三、技术进步

练习：在上面的两图中描述技术进步的影响。 时间路径的刻画为：

人均消费

第三节 Solow模型

一、索罗基本模型（无人口增长、无技术进步） 假定存在新古典生产函数：Y人口变动

F(K,L)。新古典生产函数满足的假设为：边际产品递减、规模报

酬不变与稻田条件。索罗模型的基本假设为储蓄率s固定不变，储蓄：

sYI

以集约形式表示为：

isysf(k)

资本存量的变化为：

kiksf(k)k

稳态：k0

由上面的稳态条件确定稳态资本存量的值。 结论1：长期无增长。

储蓄率变化的影响：

结论2：储蓄率上升，人均产出水平增加；而人均产出增长率不变（0）。

黄金水平：使得人均消费最大化的稳态资本存量。 稳态消费为

cf(k)k。最大化稳态消费得到f。由此确定黄金稳态资本存量kgold。进一步地，稳

态资本存量总是与储蓄率相联系的，所以黄金稳态资本存量对应一个储蓄水平，记为黄金储蓄率sgold。

如果资本存量超过黄金水平，向降低储蓄率使得黄金稳态过渡。这时是一个帕累托改进，但是产出降低了。

但是如果资本存量低于黄金水平，提高储蓄率使得经济向黄金稳态过渡，不是帕累托改进。但可以使产出水平提高。

二、有人口增长的索罗模型 假设人口增长率固定不变：

nL L这时可以推导得到资本动态方程为

kiksf(k)(n)k

结论3：人口增长率越高，人均产出水平越低。

这时满足黄金律的条件为：

fn

三、有外生技术进步与人口增长的索罗模型 生产函数为

YF(K,AL)

技术水平

A以g的速率增长。生产函数中以上述方式加入技术进步称为哈罗德中性技术进步或劳动

增进型技术进步。

ˆ定义kK AL有：

ˆsf(kˆ)(ng)kˆ k稳态条件为：

ˆ0 k

（注意：上图中的有效人均单位的资本存量即为我们定义的带尖尖的资本存量） 这时满足黄金律的条件为：

fng

结论4：长期中经济总量以外生技术进步与人口增长的速度增长；人均量以技术进步的速度增长；有效人均量增长率为0。

第四节 Ramsey模型 一．最优控制基础 最优控制问题的形式为：

maxVF(t,y(t),u(t))dt

0Ts.. tyf(t,y(t),u(t)) yTer(T)T0

y(0)A，y(T)自由，A、T给定。对于这个优化问题，我们首先定义一个汉密尔顿函数： H(t,y(t),u(t),(t))F(t,y(t),u(t))(t)f(t,y(t),u(t))

有如下的一阶条件：

H =0 （1） uHyf(t,y,u) （2）

Hy （3）

yT(T)0 （4）

二、Ramsey模型

Solow中s固定不允许消费者实现优化，导致了一个不好的结果是动态无效率。Ramsey中改正了这一缺点。但两者基本结论相同：长期增长率取决于外生变量。

1、生产者行为 新古典生产函数为YF(K,AL)

企业利润最大化得到：

ˆ)rf(k （1）

以带尖尖的小写变量表示有效单位的人均量。 2、消费者

将家庭规模（或总成人人口）正规化为1。Le，C为总消费，c家庭最大化如下效用：

ntCL是人均消费。

Uu(c)entetdt

0家庭拥有资产（以资本所有权为形式），也可相互借贷。人均资产a(t)。视工资率w(t)和利率r(t)为既定。劳动供给无弹性。

d(Assets)r(Assets)wLCdt

1d(Assets)ana Ldt由此得到家庭的人家财富约束为：

awracna

家庭还受到一个约束为：

tlim{a(t)expr(v)ndv}0

0t这是为了排除有人永远欠债不还。 将家庭的优化问题总结为：

maxUu(c(t))entet0dt

s.t aw(rn)aclim{ta(t)expt0r(v)ndv}0 Hu(c)e(n)t(t)w(rn)acH

c0 Ha aH

vw(rn)ac limta0

由此得到人均消费的动态方程为：

cuc(r)1cuuc(r) u将效用函数假设为：

u(c)c111

则上式为

cu(r)1cuc(r) 以带尖尖的小写变量表示有效单位的人均量，得到；

ˆcˆcccg1rg 3、均衡

均衡时家庭持有的财富为资本存量，有财富约束得到：kˆf(kˆ)cˆ(gn)kˆ 并将（1） 带入（2）得到：

ˆcˆc1f(kˆ)g （3）和（4）式描述了这个经济的行为。

（1） （2） （3） 4）

（4、稳态

由（3）和（4）式组成的动态系统可以得到该模型的稳态。

ˆ)c(gn)kˆ0f(k ˆf(k)g0相位图为：（图略） 作业： 生产函数为YK0.3L0.7。在索罗模型假设下完成以下各题：

（1）将生产函数写成集约形式；

（2）假定无人口增长与技术进步，求稳态人均资本存量和人均产出，并以储蓄率和折旧率表示稳态人均消费；

（3）假定折旧率为每年10%，在Excel中完成如下数值运算：计算不同储蓄率（从0到100%）下的稳态产出、稳态资本存量、稳态人均消费与稳态资本边际产品。用图形描述储蓄率与稳态人均消费、稳态产出、稳态资本存量、稳态资本边际产品的关系，给出你的结论。