怎么证明余弦定理 证明余弦定理：
因为过c作cd垂直于ab，ad=bcosa;所以(c-bcosa)^2+(bsina)^2=a^2。
又因为b^2-(bcosa)^2=(bsina)^2，所以(c-x)^2+b^2-(bcosa)^2=a^2，
所以c^2-2cbcosa+(bcosa)^2+b^2-(bcosa)^2=a^2， 所以c^2-2cbcosa+b^2=a^2， 所以c^2+b^2-a^2=2cbcosa， 所以cosa=(c^2+b^2-a^2)/2bc
同理cosb=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosc=(a^2+b^2-c^2)/2ab 2
在任意△abc中,作ad⊥bc.
∠c对边为c，∠b对边为b，∠a对边为a--> bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c 勾股定理可知： ac?=ad?+dc?
b?=(sinb*c)?+(a-cosb*c)? b?=sin?b*c?+a?+cos?b*c?-2ac*cosb b?=(sin?b+cos?b)*c?-2ac*cosb+a? b?=c?+a?-2ac*cosb
所以，cosb=(c?+a?-b?)/2ac 2
如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得b点坐标是(osa，csina).∴cb=(osa-b，csina).现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(π-c)，asin(π-c))即d点坐标是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(osa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=osa-b……②由①得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-osa，平方得：
a2cos2c=b2-2bosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bosa.同理可证
b2=a2+c2-2aosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明: mb=(1/2)
mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb) =(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb) 由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式： ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2) 同理可得： mb= mc= 4
ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb) =(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb) 由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式： ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2) 证毕。
用复数证明余弦定理
法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则a=(0，0)、b=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：c=(bcosa,bsina)，以ab、bc为邻边作平行四边形ab′，则∠bac′=π-∠b，
∴c′(acos(π-b),asin(π-b))=c′(-acosb,asinb). 根据向量的运算： =(-acosb,asinb)， =-=(bcosa-c,bsina), (1)由=：得 asinb=bsina,即
=.
同理可得：=. ∴==.
(2)由=(b-cosa-c)2+(bsina)2=b2+c2-2bosa， 又||=a,
∴a2=b2+c2-2bosa. 同理：
c2=a2+b2-2abcosc; b2=a2+c2-2aosb. 法二：如图5，
,设轴、轴方向上的单位向量分别为、，将上式的两边分别与、( 推荐)作数量积，可知 ， 即
将(1)式改写为
化简得b2-a2-c2=-2aosb. 即b2=a2+c2-2aosb.(4)
这里(1)为射影定理，(2)为正弦定理，(4)为余弦定理. 2
在△abc中，ab=c、bc=a、ca=b 则c^2=a^2+b^2-2ab*cosc a^2=b^2+c^2-2bc*cosa
b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。 过a作ad⊥bc于d，则bd+cd=a 由勾股定理得：
c^2=(ad)^2+(bd)^2，(ad)^2=b^2-(cd)^2 所以c^2=(ad)^2-(cd)^2+b^2 =(a-cd)^2-(cd)^2+b^2 =a^2-2a*cd+(cd)^2-(cd)^2+b^2 =a^2+b^2-2a*cd 因为cosc=cd/b 所以cd=b*cosc
所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosc 题目中^2表示平方。 2
谈正、余弦定理的多种证法 聊城二中魏清泉
正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教a版教材《数学》(必修5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解
正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合.
定理：在△abc中，ab=c,ac=b,bc=a,则 (1)(正弦定理)==; (2)(余弦定理) c2=a2+b2-2abcosc, b2=a2+c2-2aosb, a2=b2+c2-2bosa. 一、正弦定理的证明
证法一：如图1，设ad、be、cf分别是△abc的三条高。则有 ad=b?sin∠bca， be=c?sin∠cab， cf=a?sin∠abc。
所以s△abc=a?b?csin∠bca =b?c?sin∠cab =c?a?sin∠abc.
证法二：如图1，设ad、be、cf分别是△abc的3条高。则有 ad=b?sin∠bca=c?sin∠abc， be=a?sin∠bca=c?sin∠cab。
证法三：如图2，设cd=2r是△abc的外接圆 的直径，则∠dac=90°，∠abc=∠adc。 证法四：如图3，设单位向量j与向量ac垂直。
因为ab=ac+cb，
所以j?ab=j?(ac+cb)=j?ac+j?cb. 因为j?ac=0，
j?cb=|j||cb|cos(90°-∠c)=a?sinc， j?ab=|j||ab|cos(90°-∠a)=c?sina. 二、余弦定理的证明
法一：在△abc中，已知，求c。 过a作， 在rt中，， 法二： ，即： 法三：
先证明如下等式： ⑴ 证明：
故⑴式成立，再由正弦定理变形，得 结合⑴、有 即. 同理可证 .
三、正余弦定理的统一证明
法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则a=(0，0)、b=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：c=(bcosa,bsina)，以ab、bc为邻边作平行四边形ab′，则∠bac′=π-∠b，
∴c′(acos(π-b),asin(π-b))=c′(-acosb,asinb). 根据向量的运算： =(-acosb,asinb)， =-=(bcosa-c,bsina), (1)由=：得 asinb=bsina,即 =.
同理可得：=. ∴==.
(2)由=(b-cosa-c)2+(bsina)2=b2+c2-2bosa， 又||=a,
∴a2=b2+c2-2bosa. 同理：
c2=a2+b2-2abcosc; b2=a2+c2-2aosb. 法二：如图5，
,设轴、轴方向上的单位向量分别为、，将上式的两边分别与、作数量积，可知 ，
即
将(1)式改写为
化简得b2-a2-c2=-2aosb. 即b2=a2+c2-2aosb.(4)
这里(1)为射影定理，(2)为正弦定理，(4)为余弦定理. 叙述并证明余弦定理
余弦定理(第二余弦定理)余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值 本段余弦定理性质
对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c三角为a，b，c，则满足性质——
a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosa b^2=a^2+c^2-2·a·c·cosb c^2=a^2+b^2-2·a·b·cosc cosc=(a^2+b^2-c^2)/(2·a·b) cosb=(a^2+c^2-b^2)/(2·a·c) cosa=(c^2+b^2-a^2)/(2·b·c)
(物理力学方面的平行四边形定则中也会用到)
第一余弦定理(任意三角形射影定理)
设△abc的三边是a、b、c，它们所对的角分别是a、b、c，则有 a=b·cosc+c·cosb，b=c·cosa+a·cosc，c=a·cosb+b·cosa。 本段余弦定理证明 平面向量证法
∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)∴c·c=(a+b)·(a+b)
∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|cos(π-θ) (以上粗体字符表示向量) 又∵cos(π-θ)=-cosθ
∴c2=a2+b2-2|a||b|cosθ(注意：这里用到了三角函数公式) 再拆开，得c2=a2+b2-2*a*b*cosc 即cosc=(a2+b2-c2)/2*a*b
同理可证其他，而下面的cosc=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosc移到左边表示一下。 平面几何证法 在任意△abc中 做ad⊥bc.
∠c所对的边为c，∠b所对的边为b，∠a所对的边为a 则有bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c 根据勾股定理可得： ac2=ad2+dc2
b2=(sinb*c)2+(a-cosb*c)2
b2=(sinb*c)2+a2-2ac*cosb+(cosb)2*c2 b2=(sinb2+cosb2)*c2-2ac*cosb+a2 b2=c2+a2-2ac*cosb cosb=(c2+a2-b2)/2ac 本段作用
(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角 (2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边。
(3)已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。(见解三角形公式，推导过程略。) 判定定理一(两根判别法)：
若记m(c1,c2)为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取 减号的值
①若m(c1,c2)=2,则有两解 ②若m(c1,c2)=1,则有一解
③若m(c1,c2)=0,则有零解(即无解)。
注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。
判定定理二(角边判别法): 一当a>bsina时
①当b>a且cosa>0(即a为锐角)时，则有两解
②当b>a且cosa<=0(即a为直角或钝角)时,则有零解(即无解) ③当b=a且cosa>0(即a为锐角)时，则有一解
④当b=a且cosa<=0(即a为直角或钝角)时,则有零解(即无解) ⑤当b二当a=bsina时
①当cosa>0(即a为锐角)时,则有一解
②当cosa<=0(即a为直角或钝角)时，则有零解(即无解) 三当a例如：已知△abc的三边之比为5：4：3，求最大的内角。 解设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=5:4:3.
由三角形中大边对大角可知：∠a为最大的角。由余弦定理 cosa=0 所以∠a=90°.
再如△abc中，ab=2,ac=3,∠a=60度，求bc之长。 解由余弦定理可知
bc2=ab2+ac2-2ab×ac·cosa =4+9-2×2×3×cos60 =13-12x0.5 =13-6 =7
所以bc=√7.(注：cos60=0.5,可以用计算器算) 以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用。 本段其他
从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。 解三角形时，除了用到余弦定理外还常用正弦定理。
在△abc中，设bc＝a，ac＝b，ab＝c，试根据b，c，a来表示a。 分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作cd垂直于ab于d，那么在rt△bdc中，边a可利用勾股定理用cｄ、ｄb表示，而cd可在rt△aｄc中利用边角关系表示，db可利用ab－ad转化为ad，进而在rt△aｄc内求解。 解：过c作cd⊥ab，垂足为d，则在rt△cｄb中，根据勾股定理可得： a2＝cｄ2＋bｄ2
∵在rt△aｄc中，cｄ2＝b2－aｄ2
又∵bｄ2＝（c－aｄ）2＝c2－2c·aｄ＋aｄ2
∴a2＝b2－aｄ2＋c2－2c·aｄ＋aｄ2＝b2＋c2 －2c·aｄ 又∵在rt△aｄc中，ad＝b·cosac2－2bosa2abcosc
∴a2＝b2＋
类似地可以证明b2＝a2＋c2－2aosb，c2＝a2＋b2－
余弦定理证明
在任意△abc中,作ad⊥bc.
∠c对边为c，∠b对边为b，∠a对边为a--> bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c 勾股定理可知： ac?=ad?+dc?
b?=(sinb*c)?+(a-cosb*c)? b?=sin?b*c?+a?+cos?b*c?-2ac*cosb b?=(sin?b+cos?b)*c?-2ac*cosb+a? b?=c?+a?-2ac*cosb 所以，cosb=(c?+a?-b?)/2ac 2
如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得b点坐标是(osa，csina).∴cb=(osa-b，csina).现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(π-c)，asin(π-c))即d点坐标是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(osa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=osa-b……②由①得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-osa，平方得：
a2cos2c=b2-2bosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bosa.同理可证
b2=a2+c2-2aosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明: mb=(1/2)
mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb) =(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb) 由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式： ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2) 同理可得： mb= mc= 4
ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb) =(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb) 由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式： ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2) 证毕。
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