追及与相遇问题

课时安排：3课时

三维目标：

1、 掌握匀变速直线运动的速度、位移公式以及速度－位移公式； 2、 能灵活选用合适的公式解决实际问题；

3、 通过解决实际问题，培养学生运用物理规律对实际生活中进行合理分析、解决问题的能力； 4、 通过教学活动使学生获得成功的愉悦，培养学生参与物理学习活动的兴趣，提高学习自信心。 教学重点：灵活选用合适的公式解决实际问题； 教学难点：灵活选用合适的公式解决实际问题。 教学方法：启发式、讨论式。 教学过程

两物体在同一直线上追及、相遇或避免碰撞问题中的条件是：两物体能否同时到达空间某位置。因此应分别对两物体进行研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系求解。 一、 追及问题

1、追及问题的特征及处理方法：

“追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种：

⑴ 初速度比较小（包括为零）的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙，一定

能追上。

a、追上前，当两者速度相等时有最大距离； b、当两者位移相等时，即后者追上前者。

⑵ 匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时，存在一个能否追上的问题。 判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。

解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。

a、当两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者，则永远追不上，此时两者间有最小距离；

b、若两者速度相等时，两者的位移也相等，则恰能追上，也是两者避免碰撞的临界条件；

c、若两者速度相等时，追者位移大于被追者，说明在两者速度相等前就已经追上；在计算追上的时间时，设其位移相等来计算，计算的结果为两个值，这两个值都有意义。 即两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度，被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有一个较大值。

⑶ 匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，情形跟⑵类似。

匀速运动的物体甲追赶同向匀减速运动的物体乙，情形跟⑴类似；被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。 2、分析追及问题的注意点： ⑴ 要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。两个关系是时间关系和位移关系，通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。

⑵ 若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。 ⑶ 仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意vt图象的应用。

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二、相遇

⑴ 同向运动的两物体的相遇问题即追及问题，分析同上。

⑵ 相向运动的物体，当各自发生的位移绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇。

【典型例题】

【例1】 在十字路口，汽车以0.5m/s的加速度从停车线启动做匀加速运动，恰好有一辆自行车以5m/s的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求：

（1） 汽车追上自行车之前，什么时候它们相距最远？最远距离是多少？ （2） 在什么地方汽车追上自行车？追到时汽车的速度是多大？

解：①汽车追上自行车之前，两车速度相等时相距最远，设所用时间为t v汽＝at＝v自 t＝10s 最远距离x＝x自－x汽＝v自t－

②设汽车追上自行车所用时间为t

／

2

12

at＝25m 2 此时x自＝x汽 v自t＝

／

1／2 ／

a tt＝20s 2／

此时距停车线距离 x＝v自t＝100m 此时汽车速度 v汽＝a t＝10m/s

【例2】 客车以30m/s的速度行驶,突然发现前方72 m处有一自行车正以6m/s的速度同向匀速行驶,于是客车紧急刹车,若以3m/s2的加速度匀减速前进,问：

（1） 客车是否会撞上自行车?若会撞上自行车，将会在匀减速前进多久时撞上？ （2） 若要保证客车不会撞上自行车，客车刹车时距离自行车至少多远？ （3） 若要保证客车不会撞上自行车，客车刹车时的加速度至少多大？

【例3】 在一条平直的公路上，乙车以10m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面作初速度为15m/s，加速度大小为0.5m/s2的匀减速运动，则两车初始距离L满足什么条件时可以使：

（1）两车不相遇； （2）两车只相遇一次；

（3）两车能相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动）。

【例4】 如图,A、B两物体相距S=7米,A正以V1=4米/秒的速度向右做匀速直线运动,而

2

物体B此时速度V2=10米/秒,方向向右,做匀减速直线运动(不能返回),加速度大小a=2米/秒,从图示位置开始计时,经多少时间A追上B. V2 V1 ／

VA105秒 a210525米 在此时间内B前进了 SBVtB2解: 物体B的运动时间为 tB第 2 页 共 11 页

A S B 这时A前进了 SAVA tB4520米

可见在此时间内A没有追上B,必须在B停止后,A才能追上B. 故A追上B的时间为: tSSB7258秒 VA4【例5】 一辆摩托车行驶的最大速度为30m/s。现让该摩托车从静止出发，要在4分钟内追

上它前方相距1千米、正以25m/s的速度在平直公路上行驶的汽车，则该摩托车行驶时，至少应具有多大的加速度？

解：假设摩托车一直匀加速追赶汽车。则：

12atV0t+S0 ……（1） 2a =

2V0t2S0225240210002

0.24（m/s） ……（2） 22t240摩托车追上汽车时的速度： V = at = 0.24240 = 58 (m/s) （3）

因为摩托车的最大速度为30m/s，所以摩托车不能一直匀加速追赶汽车。 应先匀加速到最大速度再匀速追赶。

12at1Vmtt1S0V0t ……（4） 2 Vm ≥at1 ……（5）

由（4）（5）得：t1=40/3（秒）

a=

30902.25 (m/s) 40/3402

【例6】汽车以1m/s的加速度起动，同时车后60m远处有一人以一定速度V0匀速追赶要车停下．已知人在离车小于20m，且持续时间为2s喊停车，方能把停车信息传达给司机，问V0至少要多大？如果以V0=10m/s的速度追车，人车距离最小值应为多少？ 解：

方法一、 设经过时间T人和车相距20m，则根据位移关系可得 60 m＋1/2aT²－V0T＝20m

22

将a＝1m/ s代入上式并整理得 T －2V0T＋80＝0

设为该方程的两个根，由韦达定理有 T1＋T2＝2V0 ① T1·T2＝80 ② 又因为人车相距20 m以内的时间至少持续2s，所以有 T1－T2＝2 ③ 解①②③可得的最小速度为9m/s。

当V0＝10m/s时经过一段时间t后人车之间距离为

222

d＝1/2aT ＋60－V0T＝1/2T －10T＋60＝1/2(T－10) ＋10 ∴当T＝10s时,d取得最小，即人与车的最小距离为10m。

点评 本题可以有多种解法，相比较而言用韦达定理和配方法求解更为简便一些，这种简便不仅体现在求解运算上，更体现在解题思路上。

方法二、已知人在离车小于20m，且保持时间为2s喊停车方能把停车信息转达到司机，那么题意就是当距离为20m后，再经过2s，距离仍然不超过这个范围。相当于人追赶了车40m.

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所以有，vt-1/2at2=40 ① 同时v(t+2）-1/2a (t+2)2=40 ② ②-①得 t=v/a+1 ③ 将③代入①得最小速度v = 9m/s. 如果10m/s，当然是车的速度也是10m/s的时候，距离最小。 所以最小距离=60-10*10-1/2*102=10m

方法三、因为人在离车距离小于20m.持续时间为2s喊停车.才能把信息传给司机.经过时间t后人与车相距为20m 即 1/2at2+60-vot=20

此时车速为at ，接下来2s内保持20m距离即 2＊vo=at＊2+1/2a＊22. 解得 t=8s. vo=9m/s

方法四、 根据题意，要在汽车的速度达到V之前，人与车的距离小于20m，因为如果在汽车速度达到V的时候人车的距离还大于20m，那汽车在加速，速度变得比人快，人车的距离就在变大了，永远超都追不上了，同时也不能等于，因为人在叫的时候要2秒，那会儿，汽车还在行进，我们的目标是要使人在叫的过程中人车的距离都要小于20m,既然这样那就分析当人叫完两秒的时候的情况。人距车的距离关于t=v/a对称，也就是说t=v/a+1也就是t=v+1（因为a=1）时，人距车必须小于20米，有60+1/2*(v+1)^2-v*(v+1)<=20,解出v就o了

方法五、根据判别式等于零来求解。

教学反思：

作业：

1．一辆值勤的警车停在公路边。当警员发现从他旁边以v=8m／s的速度匀速行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶。经2.5s，警车发动起来，以加速度a=2m／s2做匀加速运动，试问：

（1）警车要多长时间才能追上违章的货车?

（2）在警车追上货车之前，两车间的最大距离是多大?

解析：方法1、利用速度相等这一临界条件求解，警车和货车速度相等时相距最远。 v警=at，v货=v0，由v警=v货得at1=v0

即相距最远时警车所用的时间为t1===4s

此时货车和警车前进的距离分别为 x货=v0（t0+t1）=8m／s×（2.5s+4s）=52m s警==×2m／s2×（4s）2=16m

两车的最大距离为Δxmax=x货－x警=52m－16m=36m 两车的位移分别为x警=

，x货=v0（t+t0）

追上时两车位移相等x警=x货，即= v0（t+t0） 解得追上时所用时间t2=10s。

方法2、利用二次函数的知识求解。 货车和警车的位移分别为x警=

，x货=v0（t+t0），两车的位移之差为

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Δx=x货－x警=v0（t+t0）－=－t2+8t+20=－（t－4）2+36 当t=4s时，Δx有最大值36m，即追上之前相距最大为36m。 当t=l0s时，Δx=0，即相遇。 2．客车以20m/s的速度行驶,突然发现同轨道前方120处有一货车正以5m/s的速度同向匀速行驶,于是客车紧急刹车,若以0.9m/s2的加速度匀减速前进, 问：

（1） 客车是否会撞上货车?若会撞上货车，将会在匀减速前进多久时撞上？ （2） 若要保证客车不会撞上货车，客车刹车时距离货车至少多远？ （3） 若要保证客车不会撞上货车，客车刹车时的加速度至少多大？

3．甲、乙两车在同一条平直公路上行驶，甲车以v1=10m/s的速度做匀速运动，经过车站A时关闭油门以a1=4m/s2的加速度匀减速前进。2s后乙车与甲车同方向以a2=1m/s2的加速度从同一车站A出发，由静止开始做匀加速直线运动。问乙车出发后经多长时间追上甲车？

解析： 解法一（公式法）：

甲、乙两车自同一地点于不同时刻开始运动，乙车出发时甲车具有的速度为

v1tv1a1t010m/s24m/s=2 m/s，

此时离甲车停止运动的时间 tv1t2s=0.5s。 a14根据题设条件，乙车在0.5s内追不上甲车，也就是说乙车追上甲车时，甲车已经停止了运动。

v12102甲车停止时离车站A的距离x甲m=12.5m， 2a12412设乙走完这段路程所需的时间为t，由x乙a2tx甲得t2故乙车出发后经过5s追上甲车。

联想 求解本题最易犯的错误是：根据追上的条件 x甲x乙，有 v1(tt0)2x甲a2212.5s=5s。 111a1(tt0)2a2t2， 22代入数据可得t=2.6s。错误的原因在于对汽车等运输工具做减速运动的实际规律理解不深。

本题中甲车在被乙车追上前已停止运动。上述计算的实质是认为甲车速度减为0后又反向加速运动，所以计算出与乙车相遇的时间就短了。

vA vB 4．在水平直轨道上有两列火车A和B相距s。A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动；

xB s 而B车同时做初速度为0、加速度大小为a的匀加速直线xA 运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初图2－37 速度v0应满足的条件。

解析： 要使两车不相撞，A车追上B车时其速度最多只能与B车速度相等。设A、B两从

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相距s到A车追上B车时，A车的位移为xA，末速度为vA，所用时间为t；B车的位移为xB，末速度为vB，运动过程如图2－37所示。

现用四种方法求解。

解法一（利用位移公式和速度公式求解）： 对A车有 xAv0t对B车有 xB1(2a)t2，vav0(2a)t。 212at，vBat。 2两车有 ssAsB，追上时，两车刚好不相撞的条件是 vAvB， 由以上各式联立解得 v06as。

故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是 v0≤6as。 解法二（利用速度公式和速度—位移关系式求解）：

两车刚好不相撞的临界条件是：即将追上时两车速度相等。设此速度为v，A车追上B车前，A车运动的时间为 tAvAv0vv0v0v， aA2a2aB车运动的时间为 tBvvvvvBv, 因为tAtB，所以 0，即 v0 ① aa2aa32222vBvAv0v0v2v2A车的位移 xA， B车的位移 xB， 2a2a2aA4a22v0v2v03v2v2s因为xAsxB，所以 。 即 s ② 4a2a4a①②两式联立解得 v06as。

故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是 v0≤6as。 解法三（利用判别式解）：

由解法一可知xAsxB，即 v0t11(2a)t2sat2， 222整理得 3at2v0tas0。

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2这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式(2v0)43a2s＜0时，t无实

数解，即两车不相撞。

故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是 v0≤6as。 解法四（用速度图象解）：

如图2－38所示，先作A、B两车的速度图象。设经过时间t两车刚好不相撞，则 对A车有 vAvv02at，对B车有 vBvat，

v v0 B v v由以上两式联立解得 t0。

3aA 经时间t两车的位移之差，即为原来两车间的距离s，它可用

O t t 速度图象中阴影部分的面积表示，由速度图象可知 图 2 － 38

211v0v0sv0tv0。

223a6a故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是 v0≤6as。

联想 分析解决两物体的追及、相遇类问题，应首先在理解题意的基础上，认清两物体在位

移、速度、时间等方面的关联，必要时须画出运动关联的示意图。这类问题的特殊之处是常与极值条件或临界条件相联系。分析解决这类问题的方法有多种，无论哪一种方法，分析临界条件、解决相关的临界条件方程或用数学方法找出相关的临界值，是解决这类问题的关键和突破口。 5．甲、乙两车相距为s，同时同向运动，乙在前面做加速度为a1、初速度为零的匀加速运动，甲在后面做加速度为a2、初速度为v0的匀加速运动，试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速度的关系。

解析 解法一（物理方法）：

由于两车同时同向运动，故有 v甲= v0+ a2t，v乙= a1t。

（1）当a1 v乙.。由于原来甲车在后，乙车在前，所以甲、乙两车的距离在不断缩短，经过一段时间后甲车必然追上乙车。由于甲车追上乙车时v甲> v乙，所以甲超过乙后相距越来越大，因此甲、乙两车只能相遇一次。 （2）当a1= a2时，a1t= a2t，v甲> v乙，因此甲、乙两车也只能相遇一次。

（3）当a1>a2时，a1t>a2t，v甲和v乙的大小关系会随着运动时间的增大而发生变化.。刚开始a1t和a2t相差不大且甲有初速度v0，所以v甲> v乙.。随着时间的推移，a1t和a2t相差越来越大，当a1t-a2t= v0时，v甲= v乙，接下来a1t-a2t> v0，则有v甲若在v甲= v乙之前，甲车还没有超过乙车，随后由于v甲若在v甲= v乙时，两车刚好相遇，随后由于v甲第 7 页 共 11 页

若在v甲= v乙之前，甲车已超过乙车，即已相遇一次，随后由于v甲方法二(数学方法）：

设经过时间t两车能够相遇，由于

11s甲＝v0ta2t2， s乙＝a1t2，

222相遇时有s甲s乙s，则 (a1a2)t2v0t2s0，

所以 t2v0v02(a1a2)sa1a2。

（1）当a12 （3）当a1>a2时，若v02(a1a2)s，t无解，即不相遇； 2若v02(a1a2)s，t只有一个解，即相遇一次； 2若v02(a1a2)s，t有两个正解，即相遇两次。

s11.。t只有一个解，a2t2a1t2v0ts，所以tv022联想 以上两种解法，正好体现了解答物理问题的两种典型思路。方法一从比较两车的速度

关系和位移关系出发，经过仔细而严密的逻辑推理，得出了不同条件下的不同结果。这种解法注重物理过程的分析，物理情景比较清楚。方法二先假设两车相遇，由两车位移之间的关系列出求解相遇时间的方程，然后再对方程解的个数展开讨论。这种解法的特点是将物理问题转化为数学问题，充分运用数学规律和技巧使问题得以解决，论述简洁明了。

6． 羚羊从静止开始奔跑，经过s1=50m的距离能加速到最大速度v1=25m/s，并能维持一段较长的时间。猎豹从静止开始奔跑，经过s2=60m的距离能加速到最大速度v2=30m/s，以后只能维持这个速度4.0s。设猎豹距离羚羊x时开始攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后1.0s开始奔跑，假设羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，问：

(1) 猎豹要在达最大速度且未减速前追到羚羊，x值应在什么范围？ (2) 猎豹要在其加速阶段追上羚羊，x值应在什么范围？

解析： (1) 猎豹在达最大速度且尚未减速前追到羚羊，即猎豹的运动只能是先匀加速运动后匀速运动。设猎豹在维持最大速度的时间t内追到羚羊，由题意知t≤4.0s。

现在我们首先探索的问题是：当猎豹追上羚羊时，羚羊的运动情况如何？为此，我们可先分别求出羚羊和猎豹做加速运动的加速度和时间。

v12252羚羊做加速运动的加速度为 a1m/s2=6.25m/s2， 2s1250第 8 页 共 11 页

羚羊做加速运动的时间为 t1v125s=4.0s； a16.252v2302而猎豹做加速运动的加速度为 a2m/s2=7.5m/s2， 2s2260猎豹做加速运动的时间为 t2v230s=4.0s。 a27.5①若猎豹刚达到最大速度时追上羚羊，则羚羊只加速了t’=3s，有 x1s211a1t260m6.2532m=32m； 22②若猎豹刚要减速时追上羚羊，则有

x2s2v21t(s1v1t)60m304m(50253)m=55m。

由此可知，猎豹要在达最大速度且未减速前追到羚羊，x值应为 32m≤x≤55m。

(2) 羚羊刚要开始奔跑时，猎豹已前进的距离

x311a2t27.512m=3.75m。 022由此可知。猎豹要在其加速阶段追上羚羊，x值应为 3.75m≤x≤32m。

联想： 本题的求解告诉我们，研究物体的运动，首先要分析清楚物体的运动过程。特别是当物体有多个运动阶段时，必须明确问题所研究的是运动的哪一个阶段。当问题涉及多个物体的运动时，应先分别独立研究各个物体的运动，然后找出它们之间的联系。

7．甲乙两车同时同向从同一地点出发，甲车以v1=16m/s的初速度，a1=-2m/s2的加速度作匀减速直线运动，乙车以v2=4m／s的速度，a2=1m／s2的加速度作匀加速直线运动，求两车再次相遇前两车相距最大距离和再次相遇时两车运动的时间。 解法一：

两车同时同向出发，开始一段由于甲车速度大于乙车速度，将使两车距离拉开，由于甲车作匀减速运动，乙车作加速运动，总有某一时刻两车速度相同，此时两车相距最远，随着甲车进一步减速，乙车进一步加速，动车速度大于甲车速度，使两车距离变小，当乙车追上甲车时．两车运动位移相同。

当两车速度相同时，两车相距最远，此时两车运动时间为t1，两车速度为v 对甲车： v=v1+a1t1 对乙车： v=v2+a2t1 两式联立得 t1=(v1-v2)/(a1-a2)=4s

此时两车相距 △s=s1-s2=(v1t1+a1t12/2)- (v2t1+a2t12/2)=24m

当乙车追上甲车时，两车位移均为s，运动时间为t．则： v1t+a1t2/2=v2t2+a2t2/2

得 t=8s 或t=0 (出发时刻，舍去。)

解法二：

甲车位移 s1= v1t+a1t2/2 乙车位移 s2= v2t2+a2t2/2 某一时刻两车相距为△s △s=s1-s2= (v1t+a1t2/2)-(v2t2+a2t2/2) =12t-3t2/2 当t=-b/2a时，即t=4s时，两车相距最远 △s=12×4-3×42/2=24m

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当两车相遇时，△s=0，即12t-3t2/2=0 ∴ t=8s 或t=0(舍去)

8． 火车甲以速度V1向前行驶，发现前方S米处另一辆火车乙正以速度V2（V2＜V1）做匀减速运动，加速度的大小为2，火车甲为了避免与火车乙相撞，也开始做减速运动，则加速度1的大小至少为多少？

解：因为二者均作匀减速运动，所以它们的V-t图都是直线，根据题意可作图五，图中阴影部分的面积即是甲、乙两车停下时它们的位移差S1。 S1 V/m.s-1 V1

V2

V A 11V1t2V2t2 22V1V2t2 2V2 t22 S1V1V2V2 22(V1V2)V2时

22O t1 t 图五 t2 t1/ t/s 当S＜S1 S＜

它们相遇有共同的速度。如图中的点。此时的解是（由图可知） SVV1 (V1V2)t1 t1222V1V t11(V1V2)22 12S当S≥S2，既S≥

(V1V2)V2时，此时的解由图可知

22 SV1/1V1t1V2t2 t22

222V1V122 t1 1 212S2V2第 10 页 共 11 页