平面直角坐标系(基础)知识讲解
撰稿:孙景艳 责编:赵炜
【学习目标】
1.理解平面直角坐标系概念,能正确画出平面直角坐标系.
2.能在平面直角坐标系中,根据坐标确定点,以及由点求出坐标,掌握点的坐标的特征. 3.由数轴到平面直角坐标系,渗透类比的数学思想. 【要点梳理】 要点一、有序数对
定义:把有顺序的两个数a与b组成的数对,叫做有序数对,记作(a,b). 要点诠释:
有序,即两个数的位置不能随意交换,(a,b)与(b,a)顺序不同,含义就不同,如电影院的座位是6排7号,可以写成(6,7)的形式,而(7,6)则表示7排6号. 要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念 1. 平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴,习惯上取向右为正方向;竖直的数轴称为y轴或纵轴,取向上方向为正方向,两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).
要点诠释:平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的. 2. 点的坐标
平面内任意一点P,过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标,有序数对(a,b)叫做点P的坐标,记作:P(a,b),如图2.
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要点诠释:
(1)表示点的坐标时,约定横坐标写在前,纵坐标写在后,中间用“,”隔开. (2)点P(a,b)中,|a|表示点到y轴的距离;|b|表示点到x轴的距离.
(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x,y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对,在坐标平面内都有唯一的一点与它对应,也就是说,坐标平面内的点与有序数对是一一对应的. 要点三、坐标平面 1. 象限
建立了平面直角坐标系以后,坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限,如下图.
要点诠释:
(1)坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限.
(2)按方位来说:第一象限在坐标平面的右上方,第二象限在左上方,第三象限在左下方,第四象限在右下方. 2. 坐标平面的结构
坐标平面内的点可以划分为六个区域:x轴,y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中,除了x轴与y轴有一个公共点(原点)外,其他区域之间均没有公共点.
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要点四、点坐标的特征
1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律
要点诠释:
(1)对于坐标平面内任意一个点,不在这四个象限内,就在坐标轴上.
(2)坐标轴上点的坐标特征:x轴上的点的纵坐标为0;y轴上的点的横坐标为0. (3)根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置;反之,根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况. 2.象限的角平分线上点坐标的特征
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等,可表示为(a,a); 第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数,可表示为(a,-a). 3.关于坐标轴对称的点的坐标特征
P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b); P(a,b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b); P(a,b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b). 4.平行于坐标轴的直线上的点
平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同; 平行于y轴的直线上的点的横坐标相同. 【典型例题】 类型一、有序数对
1.如果将一张“13排10号”的电影票简记为(13,10),那么(10,13)表示的电影票是 排 号.
【思路点拨】在平面上,一个数据不能确定平面上点的位置.须用有序数对来表示平面内点的位置. 【答案】10,13.
【解析】由条件可知:前面的数表示排数,后面的数表示号数.
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【总结升华】在表示时,先要“约定”顺序,一旦顺序“约定”,两个数的位置就不能随意交换,(a,b)与(b,a)顺序不同,含义就不同. 举一反三:
【变式】某地10:00时气温是6℃,表示为(10,6),那么(3,-7)表示________. 【答案】3:00时该地气温是零下7℃. 类型二、平面直角坐标系与点的坐标的概念
2.如图,写出点A、B、C、D各点的坐标.
【思路点拨】要确定点的坐标,要先确定点所在的象限,再看点到坐标轴的距离. 【答案与解析】
解:由点A向x轴作垂线,得A点的横坐标是2,再由点A向y轴作垂线,得A点的纵坐标是3,则点A的坐标是(2,3),同理可得点B、C、D的坐标. 所以,各点的坐标:A(2,3),B(3,2),C(-2,1),D(-1,-2).
【总结升华】平面直角坐标系内任意一点到x轴的距离是这点纵坐标的绝对值,到y轴的距离是这点横坐标的绝对值. 举一反三:
【变式】在平面直角坐标系中,如果点A既在x轴的上方,又在y轴的左边,且距离x轴,y轴分别为5个单位长度和4个单位长度,那么点A的坐标为( ). A.(5,-4) B.(4,-5) C.(-5,4) D.(-4,5) 【答案】D.
3.在平面直角坐标系中,描出下列各点A(4,3),B(-2,3),C(-4,1),D(2,-2). 【答案与解析】
解:因为点A的坐标是(4,3),所以先在x轴上找到坐标是4的点M,再在y轴上找到坐标是3的点N.然后由点M作x轴的垂线,由点N作y轴的垂线,过两条垂线的交点就是
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点A,同理可描出点B、C、D.
所以,点A、B、C、D在直角坐标系的位置如图所示.
【总结升华】对于坐标平面内任意一点,都有唯一的一对有序数对和它对应;对于任意一对有序数对,在坐标平面内都有唯一的一点与它对应,也就是说,坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的. 举一反三:
【变式】在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知:A(3,2),B(5,0),则△AOB的面积为 . 【答案】5.
类型三、坐标平面及点的特征
4.指出下列各点所在的象限或坐标轴.
A(4,5)、B(-2,3)、C(-4,-1)、D(2.5,-2)、E(0,-4) 、F(3,0)、G(0,0). 【思路点拨】先判断所求点的横纵坐标的符号,进而判断所在象限. 【答案与解析】
解:点A在第一象限,点B在第二象限,点C在第三象限,点D在第四象限,点E在y轴上,点F在x轴上,点G在原点上.
【总结升华】本题主要考查点的坐标的性质,解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号,但注意坐标轴上的点不属于任何象限,原点既在x轴上,又在y轴上. 举一反三:
【变式1】点A(3,n)在第四象限,到x轴的距离为4.则点A的坐标为________. 【答案】 (3,-4).
【高清课堂:第一讲 平面直角坐标系1 369934 练习3 】 【变式2】若点P (a ,b)在第二象限,则:
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(1)点P1(a ,-b)在第 象限; (2)点P2(-a ,b)在第 象限; (3)点P3(-a ,-b)在第 象限; (4)点P4( b ,a )在第 象限. 【答案】(1)三;(2)一;(3)四;(4)四.
5.已知点A(-3,2)与点B(x,y)在同一条平行于y轴的直线上,且点B到x轴的距离等于3,求点B的坐标.
【思路点拨】由“点A(-3,2)与点B(x,y)在同一条平行于y轴的直线上”可得点B的横坐标;由“点B到x轴的距离等于3”可得B的纵坐标为3或﹣3,即可确定B的坐标. 【答案与解析】 解:如图,
∵ 点B与点A在同一条平行于y轴的直线上, ∴ 点B与点A的横坐标相同, ∴ x=-3.
∵ 点B到x轴的距离为3, ∴ y=3或y=-3.
∴ 点B的坐标是(-3,3)或(-3,-3).
【总结升华】在点B的横坐标为-3的条件下,点B到x轴的距离等于3,则点B可能在第
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二象限,也可能在第三象限,所以要分类讨论,防止漏解. 举一反三:
【变式1】若x轴上的点P到y轴的距离为3,则点P的坐标为( ). A.(3,0) B.(3,0)或(–3,0)
C.(0,3) D.(0,3)或(0,–3) 【答案】B.
【高清课堂:第一讲 平面直角坐标系1 369934 练习4(5)】
【变式2】在直角坐标系中,点P(x,y)在第二象限且P到x轴,y轴的距离分别为2,5,则P的坐标是_________;若去掉点P在第二象限这个条件,那么P的坐标是________. 【答案】(-5,2);(5,2),(-5,2),(5,-2),(-5,-2).
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