不等式证明中的函数构造法

５Ｏ　中学数学教学　２０１４年第３期　不等式证明中的函数构造法　广州市广外附设外语学校　查建敏　（邮编：５１０４５０）　在高考的压轴题中经常会将数列求和与不　等关系的证明结合在一起，由于涉及数列求和的　各种知识、方法与不等式放缩，去除常规的方法　外，有时要通过构造数列、函数，建立不等关系来　求解，其中的函数是如何发现与构造的呢？我们　通过以下的两个例子的解题思路分析来揭示它　的奥秘与大家分享．　问题１　求证：ｌｎ（　＋１）＞　１＋ｉ１＋了１＋…　＋　１　‘　知道÷＋÷＋　Ｊ　０　／＋．．．＋　十ｌ　简　单求和，考虑简单放大，通项　—／７＂／　十１　如何与ｌｎ（ｎ　＋１）联系起来，无从下手．那么我们设想是否可　以找到一个中间数列｛ｂ　｝，使得，　ｌｎ（”＋１）一ｂ１＋ｂ　２＋…＋ｂ　，且ｂ　≥＆，　１　一　’　根据对数的运算性质，分析联想有：　ｂ１＋ｂ　２＋…＋６　＿ｌｎ　Ｔ２＋ｌｎ　＋．．．＋Ｉｎ　一Ｉｎ（　４－１），　这样我们就找到了数列ｂ　一ｌｎ　，　进一步的问题要研究是否有ｌｎ　１　＞　，　于是令　一则　＿ｔ＿１　＝　十ｊ　．　则问题转化为要有Ｉｎ　＞｝　，　因而我们构造函数ｆ（ｚ）一ｌｎ　一一　吾，　研究ｆ（３５＂）的函数性质司得ｆ　（　）＝　≥。，可知，／’（　）在　，＞。的区间上单　调递增，所以当ａＴ＞１，有厂（ａｔ）＞，（１）一０，即有　Ｉｎ　＞　，问题得解．　所以，ｌｎ（　＋１）＞　１＋ｉ１＋…＋　．　评析　解决本题的第一个关键是对ｌｎ（　＋　１）的分拆，要将它看作是某一个数列的和，这里　是从对数的运算性质中联想得到了中间数列ｂ　一ｌｎ　使得Ｉ＇－．ｉ题转化为研究ｂ　≥　一　÷　；第二个关键是证明不等关系ｌ十１　ｎａ＂＞　｝　，Ｉ　』　从而构造出函数，　）一ｌｎｚ一　ｌ　１　，证　明当ｚ＞１，有厂（　）＞，（１）一０．　实际上，为了降低考试的难度，在高考命题　中，通常需要设置一些台阶，以题组的形式出现　来考察考生，本题可以改造为以下的命题：　已知函数厂（ｚ）：ｌｎ　＋　车　，（ｎ∈Ｒ）　Ｏ　（１）当日一÷时，如果函数ｇ（１ｚ）＝ｆ（ｃｒ）一忌　仅有一个零点，求实数是的取值范围．　（２）当日一２时，试比较　’（　）与１的大小；　（３）根据（２）的结论，求证：ｌｎ（　＋１）＞　＋　１＋　１＋…＋　．　再看一个类似的问题：　问题２　设数列｛ａ　）的通项公式ａ　一　的前　项和Ｓ　，求证：Ｓ　≥２１ｎ（　＋　１）．　２０１４年第３期　中学数学教学　５１　再议一道课本习题的解法及推广　安徽省阜阳市红旗中学　张　震　吴冬梅　（邮编：２３６１１２）　文［１］和文［２］，读后深受启发，文［１］提供　若ｄ一～１，　一３，　的解法略显繁琐，文［２］指出的解法简洁尚存较　贝０　ａ　＋ｌ＋ａ　一３（口　＋ａ　一１）（　≥２）．　高的技巧性，在应用上有一定的难度，下面笔者　一２时，ａ　２＋ａ１—７≠０，　给出一些简洁而易想的解法，并以此给以推广．　’．．口　＋ｌ＋“　一７・３　一。．　①　题　已知数列｛ａ　｝中，ａ　一５，ａ　一２，ａ　一　若　一３，　一一１，　２ｎ　＋３口　（　≥３，　Ｅ　Ｎ　），对于这个数列的　则ａ　＋ｌ一３ａ　一一（　一３ａ　一１）（　≥２）．　通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？　Ｙ／＝２时，ａ　２—３ａ】＝一１３≠０，　解法１　待定系数法　‘．．口　＋１—３ａ　一一１３×（一１）　，（　ａ　＝＝＝２ａ　１＋３ａ，ｒｚ，（　≥３，，ｚ∈Ｎ　）　ａ，，＋１—２ａ　＋３ａ　一Ｉ，（，２≥２，　Ｅ　Ｎ　）　①一②，　一　旱　．　设待定系数为　、Ｊ９，则ａ一一ａａ　一ｊ９（ｎ　推广　已知ａｌ、ａ　２及ａ　＝Ａａ　＋Ｂａ　（ｎ　一ａ“＂一１），　≥２，　∈Ｎ　，Ａ、Ｂ为常数）求ａ　．　即　ｎ　＝＝＝（ａ十ｐ）ａ　一ａ　口　，　解　引入待定系数ａ、　，　ａ　＋１＝Ａａ　＋Ｂａ　一ｌ（　≥２，，２　Ｅ　Ｎ　，Ａ、Ｂ为　．ｆａ＋　一２，　・・　（ａ　一一３，　常数）　③　。‘．．・・ａ一一１，ｐ一３，或口一３，卢一一１．　口　＋ｌ—ａ以　一　（ｎ　一　以　１）（　分析　由上例已知６　＋６　ｚ＋…＋　一ｌｎ旱　一２　ｌｎ（，２＋１）．类似地我们也可以编制出这　样的命题：　＋ｌｎ要＋…＋１ｎ　一ｌｎ（　＋１），　已知函数ｆ（ｚ）一￣／ｐ　—Ｐ—ｌｎｚ（Ｐ＞０）　问题转化为证明ａ　≥２ｂ　是增函数，　（１）求实数Ｐ的取值范围；　一　７２　一√　Ｖ　≥　，ｚ　＋　（２）设数列｛　）的通项公式ａ　ｎ＝＝：　，ｚ　１）一２１ｎ　．　的前　项和Ｓ　求证：Ｓ　≥２　Ｉｎ（７＂／＋１）．　从而我们先要证明　≥ｌｎ（ｘ＋１）．　通过以上的事例我们看到构造函数，根据函　因此构造函数ｆ（ｘ）一￣／　—ｌｎ（ｃｒ＋１），　数性质建立不等关系是不等式证明中的一种重　容易证明ｆ（ｚ）在ｚ　Ｅ　Ｅｏ，Ｃ×３）上单增，所以　要方法，也是数列求和缩放的重要手段，在这些　ｆ（ｘ）≥＿厂（Ｏ）一０，　方法中，分析、联想、构造、转化等数学能力得以　充分的展示．　・．．　。　≥　２－ｎ半　（收稿日期：２Ｏ１４一Ｏ３—２０）　ｎ（旱・导…一半）