初中数学人教版九年级上册：第1讲 一元二次方程的应用同步讲义

第一讲

一元二次方程的应用

第一讲 课 前 测

1．用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为（ ） A．（x＋1）2＝6

2．某地区2012年农民人均收入为1万元，计划到2014年农民人均收入增加到1.2万元．设农民人均年收入的每年平均增长率为x，则可列方程 ．

3．一个矩形的长比宽相多3cm，面积是25cm，求这个矩形的长和宽．设矩形的宽为xcm，则所列方程正确的是（ ） A．x﹣3x+25=0

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B．（x－1）2＝6 C．（x＋2）2＝9 D．（x－2）2＝9

B．x﹣3x﹣25=0 C．x+3x﹣25=0 D．x+3x﹣50=0

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1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，解决简单的实际问题 2．能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理 3．掌握配方法求最值

1．列一元二次方程解应用题 2．配方法求最值

Part 1一元二次方程的解法

1．灵活选用方程的解法

解一元二次方程的方法有：直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法．

⑴当一个一元二次方程的一边为零，而另一边可以分解成两个一次因式的积时，就可以运用分解因式法求解；

⑵如果一个一元二次方程的一边是含有未知数的平方式，另一边是一个非负数，就可以直接开平方求解；

⑶用配方法解方程是以完全平方式a22abb2ab和直接开平方为依据将方程加以变形，即将给定的一元二次方程经过移项，二次项系数化为1，配方后写成形如

2xb的形式后，再用直接开平方法求解．

2c（c≥0）

⑷公式法是解一元二次方程的“万能钥匙”，它对任何形式的一元二次方程都适用，用公式法解方程，

bb24ac只需将一元二次方程化为一般形式，正确找出a，b，c的值，再代入求根公式x即可．

2a2．选择合适的方法解一元二次方程：

⑴如果题目能使用直接开平方法解方程，那就直接使用开平方法解方程； ⑵能使用因式分解方法求解的一元二次方程，就不要使用公式法解决；

⑶当不易使用因式分解法解的方程，且方程中的系数绝对值较大时，我们考虑使用配方法解方程； ⑷公式法是解决一元二次方程的通用方法，当其他方法都不易解决时，我们考虑使用公式法解题．

2

【例1】解方程：

⑴x28x10（配方法）； ⑵5x23xx1（公式法）；

⑶x24x30； ⑷3x2x14x2．

Part2变化率问题与销售问题

1．列一元二次方程解应用题的一般步骤

⑴审：审题，要弄清已知量和未知量以及问题中的等量关系；

⑵设：设未知数，根据题意，可直接设也可间接设，未知数必须写明单位，语言叙述要完整； ⑶列：列代数式和方程，用含有所设未知数的代数式表示其他未知数，利用等量关系，列出方程； ⑷解：求出方程的解；

⑸验：检验方程的解是否正确，是否符合题意； ⑹答：给出符合题目要求的答案． 2．变化率方面的问题

在实际问题中，常常遇到平均增长率问题．如果原来产值的基础数为a，平均增长率为x，则对于时间n的总产值b，可以用公式ba1x表示，解决平均增长率问题，要用这个公式；类似的还有降低率问题．

⑴对于增长（降低）率问题，在解答时要注意如下几点： ①正确设出未知数x；

②准确找出变化前后的两个关键值：起始值a，两次变化后的值b（a＜b）； ③正确列出方程：a1xb（或a1xb）； ④对方程的根结合实际进行合理取舍，通常舍去负根；

22n

3

2⑵对于两次增长率累计问题，可列方程为aa1xa1xb． 3．市场经济与其他问题

市场经济与其他问题包括纳税、利息、分期付款、销售利润、匀变速运动、古诗词、数位等问题都值得关注，解答这类问题时，不论背景如何变化，一定要抓住“关键词语”寻找等量关系，如销售利润=每件利润×件数，并注意根据实际意义对所列一元二次方程进行合理的取舍．

【例2】⑴某种品牌的手机经过11、12月份连续两次降价，每部手机售价由3900元降到了2500元．设

平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是 ．

⑵某种商品零售价经过两次降价后，每件的价格由原来的800元降为现在的578元，则平均每次降价的百分率为（ ） A．10%

【例3】某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为

了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．

⑴降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？

⑵要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？

【例4】景泰特产专卖店销售杏脯，其进价为每千克40元，按每千克60元销售，平均每天可售出100千

克．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．若该专卖店销售这种杏脯要想平均每天获利2240元，请回答： ⑴每千克杏脯应降价多少元？

⑵在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

B．12%

C．15%

D．17%

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Part3几何图形问题

几何图形方面的问题

与几何图形有关的一元二次方程的应用问题主要是数量关系隐藏在图形中，可以通过列一元二次方程求解问题．图形主要是三角形、四边形，数量关系主要有面积计算、体积计算、勾股定理等．

⑴解答此类问题时，关键是把问题数字化．一般通过分析题意先把题目的已知条件与未知条件归结到几何图形中，然后用几何定理（比如：勾股定理）、公式（比如：面积、体积公式）等来寻找它们之间的关系，从而列出相关的一元二次方程，解这个方程并注意实际要求，看其解是否符合实际，即可使问题获解．

⑵这类问题可能涉及动点问题、方案设计问题等．动点问题关键是要弄清点的运动特征，利用面积公式、体积公式或勾股定理等可列方程；方案设计问题具有较大的开放性，往往利用面积公式可列方程，解答后要注意检验其解是否符合实际．

【例5】⑴如图，要在长100米，宽90米的矩形绿地上，修建三条宽度相同的道路，剩下6块绿地面积

共8448平方米，求道路宽．

5

⑵某校计划在一块长为80米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃．

①如图1，将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，如果通道所占面积是整个长方形空地面积的一半，求出此时通道的宽；

②在⑴中修建的长方形花圃中，要继续修建两个面积最大且相同的圆形区域（两个圆形区域没有公共部分）来种植某种花卉，求出两个圆心距离的取值范围．

⑶在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（CD边所在的墙长10米，DA边所在的墙足够长），用28米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=x米．

⑴若围成花园的面积为160平方米，求x的值； ⑵能否围成花园的面积为300平方米？说明理由．

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【练1】 用配方法解方程x22x50时，原方程应变形为（ ）

A．x16

【练2】 方程x2x30的解是（ ）

A．x2 B．x3 C．x12，x23 D．x12，x23

【练3】某果园2012年水果产量为100吨，2014年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长

率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A．1001x144 B．1001x144 C．1441x100 D．1441x100

【练4】如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、

横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．

22222 B．x16 C．x29 D．x29

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【练5】电动自动车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，

该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆． ⑴求该品牌电动自行车销售量的月均增长率；

⑵若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经销商1至3月共盈利多少元？

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第一讲 课 后 测

1．方程x22x的解是 ．

2．解下列方程

⑴3x2－4x－4＝0； ⑵（2x－1）2＝（x＋3）2．

3．如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（ ）

A．10m B．10m或5m

4．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律，每件商品降价多少元时，商场日销售额可达到2100元？

5．随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降．咸宁市2011年销售烟花爆竹20万箱，到2013年烟花爆竹销售量为9.8万箱．求咸宁市2011年到2013年烟花爆竹年销售量的平均下降率．

C．5m D．5m或8m

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