【全国百强校】山东省莱州市第一中学2020届高考数学复习备忘录(十五)概率与分布列

【知识要点】 1．随机事件的概率

(1)随机事件的概率范围： 0≤P(A)≤1； 必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0． (2)古典概型的概率：P(A)＝(3)几何概型的概率

构成事件A的区域长度面积或体积

P(A)＝

试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积2．互斥事件与对立事件

(1)对立事件是互斥事件，互斥事件未必是对立事件．

(2)如果事件A，B互斥，那么事件A∪B发生(即A，B中有一个发生)的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A∪B)＝__P(A)＋P(B)__.这个公式称为互斥事件的概率加法公式．

(3)在一次试验中，对立事件A和A不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P(A)＝1－P(A)． 3．条件概率

在事件A发生的条件下事件B发生的概率：P(B|A)＝

P(AB)

． P(A)

A中所含的基本事件数

．

基本事件总数

【说明】求条件概率也可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再n(AB)

在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝.

n(A)4．事件的相互独立性

设A、B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．

若事件A、B相互独立，则P(B|A)＝P(B)；事件A与B，A与B，A与B都相互独立． 【说明】相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 5．二项分布

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝

knkCk，k＝0,1,2，…，n．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机np(1－p)

－

变量ξ服从二项分布，记作～B（n，p），其中n，p为参数. 6．超几何分布

nkCkMCN－M

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝

CnN

－

0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.此时称随机变量X服从超几何分布．超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n． 【说明】超几何分布与二项分布的关系.

设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数服从二项分布：当产品总数很大而抽取个数不多时，无放回抽样可近似看作放回抽样.近似服从二项分布。 7．离散型随机变量的分布列

(1)设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi的概率为P(X＝xi)＝pi，则称表：

X P

为离散型随机变量X的分布列．

(2)EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为X的均值或数学期望(简称期望)，反应X的平均水平．

2

(3)D(X)＝ (xi－E(X))·pi为随机变量X的方差．D(X)叫标准差，它们均反映X的离散程度．

i＝1n

x1 p1 x2 p2 x3 p3 … … xi pi … … xn pn 8．正态分布

1正态曲线的定义：函数φμ，σ(x)＝e－

2πσ

x－μ2σ22

，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)

为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

重要公式与性质

1．离散型随机变量X的分布列具有两个性质

①pi≥0，②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1(i＝1,2,3，…，n)． 2．期望与方差的性质

(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)； (2)X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)； (3)X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． 3．正态曲线的性质

(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(3)曲线在1

x＝μ处达到峰值；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化

σ2π而沿x轴平移，如图甲所示；

(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．

4．正态分布的三个常用数据

P(μ－σ从上表看到,正态总体在 (2,2) 以外取值的概率 只有4.6%,在

(3,3)以外取值的概率只有0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小

概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的. 【易错提醒】

1．运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A、B相互独立时，公式才成立．

2.混淆二项分布和超几何分布，样本容量较小，从两类物品中不放回抽取，符合超几何分布；当样本容量很大时，在流水线，总体范围内抽取，视为放回抽样符合二项分布。

【高考热点预测】

概率统计中的方案决策问题，频率分布，正态分布，独立性检验结合问题，非线性回归转化为线性回归问题是高考命题热点。 【过关题】

1 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( ) A.100 B.200 C.300 D.400

2. 将4名大学生分配到A、B、C三个乡镇去当村官，每个乡镇至少分配一名，则大学生甲分配到乡镇A的概率为 （用数字作答）

3.关于圆周率𝜋，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计𝜋的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对(𝑥，𝑦)，再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(𝑥，𝑦)的个数𝑚；最后再根据统计数𝑚来估计𝜋的值，假如统计结果是𝑚=56，那么可以估计𝜋≈__________．（用分数表示

(答：B,

178 , ) 6251x2y21m42m178. 3.提示：由题意得xy1所以200120042250x,y1