中考数学模型：飞镖模型与8字型模型

8字模型与飞镖模型

8字型与飞镖型就是中考几何模型中常见得两种结构,熟悉这两种结构对于我们快速解题有着极其重要得帮助。 模型1:角得8字模型

如图所示,AＣ、BD相交于点O，连接AD、BＣ. 结论:∠A＋∠D=∠B+∠C.

模型分析 证法一:

∵∠AOB就是△AOD得外角,∴∠A+∠D=∠AOB.∵∠AOB就是△ＢOC得外角， ∴∠Ｂ＋∠Ｃ＝∠ＡOＢ。∴∠A+∠D＝∠B+∠Ｃ。 证法二：

∵∠Ａ+∠D＋∠AOD＝１８0°，∴∠A+∠D＝１80°－∠AOD.∵∠B+∠Ｃ＋∠BOC＝18０°, ∴∠B＋∠C＝180°－∠BOＣ．又∵∠AOD＝∠ＢOＣ，∴∠A＋∠Ｄ=∠B+∠C． (1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型. （2)8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到． 模型实例

观察下列图形,计算角度：

（1）如图①,∠A+∠B＋∠C+∠D+∠E=___＿___＿；

AEBFC图①DECAABAEB1O2CDDBCF12GED图图③图④

解法一：利用角得8字模型.如图③，连接CD.∵∠BOC就是△BＯE得外角， ∴∠Ｂ+∠Ｅ＝∠BＯＣ。∵∠BＯC就是△CＯD得外角,∴∠１＋∠2＝∠BOC． ∴∠B+∠E=∠1+∠2．(角得８字模型），∴∠A＋∠B＋∠ＡCE＋∠AＤB+∠E ＝∠A＋∠ACE＋∠ADB＋∠１＋∠2＝∠A+∠ACD+∠ADＣ=18０°。 解法二：如图④,利用三角形外角与定理。∵∠1就是△FＣE得外角,∴∠1=∠C+∠E．

∵∠2就是△GBD得外角，∴∠2=∠B＋∠D.

∴∠Ａ+∠B+∠C＋∠D+∠E＝∠A+∠1＋∠2＝１８0°.

（２)如图②，∠A＋∠B+∠C+∠Ｄ＋∠Ｅ+∠Ｆ=＿__＿____。

ABCAOBFE图②DF12图⑥EDC

（2)解法一：

中考数学模型：飞镖模型与8字型模型

如图⑤，利用角得8字模型。∵∠ＡOP就是△ＡOＢ得外角，∴∠A＋∠B=∠AＯＰ.

∵∠ＡOP就是△OPQ得外角，∴∠1+∠３＝∠AOP。∴∠A+∠B=∠１＋∠3．①(角得8字模型）,同理可证：∠Ｃ＋∠D=∠1＋∠2.② ，∠E+∠Ｆ＝∠２＋∠3.③

由①＋②+③得：∠A＋∠B+∠C+∠D＋∠E＋∠F=2（∠１＋∠２＋∠３)＝３60°。

解法二：利用角得8字模型.如图⑥，连接DＥ。∵∠AＯE就是△AOB得外角， ∴∠A+∠B=∠AOE.∵∠AOE就是△ＯED得外角，∴∠1＋∠2＝∠AＯＥ。 ∴∠A＋∠B＝∠１+∠2.(角得８字模型）

∴∠A+∠B+∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F＝∠1+∠2+∠C+∠ADC＋∠ＦEＢ＋∠F

=360°.(四边形内角与为３6０°) 练习：

１．(1）如图①,求：∠CAD+∠B+∠Ｃ+∠D＋∠E＝ ；

ABOEBCCD图①图DAOE

解：如图，∵∠1＝∠B＋∠D,∠２=∠Ｃ+∠CAＤ,

∴∠CAD+∠Ｂ+∠C+∠D＋∠E=∠1+∠２+∠E＝1８0°. 故答案为:18解法二:

０°

（2）如图②,求:∠ＣＡＤ＋∠B＋∠ＡCE+∠Ｄ＋∠E= .

ABCD图②OE

解：由三角形得外角性质，知∠BAC=∠E+∠AＣＥ,∠ＥAD=∠B+∠D,

又∵∠BＡC+∠CAD+∠EAD=１８0°，∴∠CＡD＋∠Ｂ+∠ＡCE＋∠Ｄ＋∠E=180°

中考数学模型：飞镖模型与8字型模型

解法二：

2。如图，求：∠A＋∠B+∠C+∠Ｄ＋∠E+∠F＋∠G+∠Ｈ= .

EFDGCH

解：∵∠Ｇ+∠D=∠3，∠F+∠C=∠4，∠E+∠Ｈ＝∠2，∴∠G＋∠D＋∠F+∠Ｃ＋∠E＋∠Ｈ＝∠3＋∠４+∠2,ﻫ∵∠Ｂ＋∠2+∠1=180°，∠3+∠5＋

∠A=180°,∴∠A+∠B+∠２+∠4+∠3=36０°,ﻫ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠Ｅ+∠F＋∠G+∠H＝36０°

BA解法二:

模型2:角得飞镖模型

如图所示，有结论：∠D＝∠A+∠B+∠C.

A12AD34C图①B12D34图②

BC

模型分析

中考数学模型：飞镖模型与8字型模型

解法一:如图①，作射线AD.

∵∠3就是△ABＤ得外角，∴∠3=∠B+∠1，∵∠４就是△AＣD得外角，∴∠４＝∠C＋∠2

∴∠BDC＝∠3+∠４，∴∠BDC=∠B+∠1+∠2+∠C，∴∠ＢDＣ=∠BAC+∠B+∠C

解法二：如图②，连接BC.

∵∠2＋∠4＋∠D=１８0°，∴∠D＝１80°－(∠2＋∠4）

∵∠１＋∠2＋∠3+∠4+∠A＝180°,∴∠A＋∠1+∠3＝１80°－（∠2＋∠4) ∴∠D=∠Ａ+∠1+∠3、

（1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型。 (2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用. 模型实例

如图,在四边形AＢCD中,AM、CM分别平分∠DAＢ与∠DCB,AM与CＭ交于M,探究∠ＡMC与∠Ｂ、∠D间得数量关系。

ADBMBA1342MDC解答：利用角得飞镖模型

C

如图所示，连接ＤM并延长.∵∠３就是△AMＤ得外角，∴∠３＝∠1＋∠AＤM， ∵∠4就是△CMＤ得外角,∴∠4=∠２＋∠CＤM，∵∠ＡMC=∠3＋∠４ ∴∠AＭC＝∠1+∠ADM+∠CDM+∠２，∴∠AＭC=∠1+∠2＋∠ＡDC。(角得飞镖模型）

∵ＡＭ、ＣＭ分别平分∠ＤAB与∠DCＢ,∴,，

∴,∴（四边形内角与３60°)，∴，∴２∠AMＣ＋∠B-∠ADC＝36０°、 练习：

1。如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＋∠F= 、

中考数学模型：飞镖模型与8字型模型

AE115°CBDF

【答案】２３0°

提示：∠C＋∠E+∠D=∠EＯC=1１5º、（飞镖模型），∠A+∠Ｂ+∠F＝∠BOＦ=115º、

∠A+∠B+∠C＋∠D＋∠E+∠Ｆ=115º+11５º=230º ２．如图,求∠A+∠Ｂ+∠C+∠Ｄ= 、

D105°CD2105°143C115°115°ABAB

【答案】220°

提示:如图所示，连接ＢD、

∠AED=∠A+∠３+∠１,∠ＢFＣ=∠2+∠4+∠C,

∠A＋∠AＢＦ＋∠C+∠CDE=∠A＋∠3+∠1+∠２+∠4+∠C＝∠AED+∠BFC=220º

模型3 边得“8”字模型

如图所示，AＣ、BD相交于点Ｏ,连接AD、BC。结论AC+BD〉ＡD+BC．

ADO

BC

模型分析

∵ＯA＋OD〉AD①, OB+OC>ＢC②, 由①+②得: ＯA+OＤ+OＢ+OC〉BC＋AＤ 即：AＣ＋ＢD〉ＡD+ＢC、 模型实例

如图,四边形ＡBCＤ得对角线AC、BD相交于点Ｏ. 求证:（1) AＢ+BC＋CD+AD〉ＡC+ＢD;

中考数学模型：飞镖模型与8字型模型

(2) AＢ+BC+CD+AD 〈2AC+2BD、

ADOBC

证明:(1）∵AB＋BC〉ＡＣ①， CD+AD〉AC②, ＡB+AD>ＢＤ③, ＢC+ＣD＞ BＤ④

由①+②＋③+④得： 2 （AＢ+BC+ＣD+AＤ)＞2（AC+BD)、 即AB＋ＢＣ+CD＋ＡD >AC＋BD、

(2) ∵AD＜OA+ＯD① ，BC〈OB+OＣ②， 由①＋②得： AD+ＢC〈 OA+OＤ+ＯB＋OC.

∴AD＋ＢC<ＡC+BD、（边得８字模型）， 同理可证：AB+ＣD 〈AC+BD、 ∴AB+BC+CD+AD< 2AC+2ＢD、

模型４ 边得飞镖模型

如图所示有结论：ＡB+AC> ＢD+CD、

AADDEBCBC

模型分析

如图，延长BD交AC于点E。

∵AB＋AC=AB＋AE+EC,AB+AE＞ＢE，∴AB+A C>ＢE＋EC、① ,∵BE+ＥＣ=BD+ＤE+EC，

DE+EＣ> CD，∴BE+ＥＣ＞BD+CD、 ② ，由①②可得：AB+AC〉BD+CD、 模型实例

如图，点O为三角形内部一点。

求证:（1） 2 (AＯ+BO＋CＯ）〉AB+ＢC+AC；

(2） AＢ+ＢC+AC〉AO+ＢO+CO、

中考数学模型：飞镖模型与8字型模型

AOAEO

证明:（1）∵ＯA+OB>AB①， OB+OC＞ＢC②, OC＋ＯA>AC③

由①+②+③得： ２ （ＡO+BO+CO)〉ＡＢ+BC+AC （2）如图,延长BO交ＡＣ于点E,

∵ＡＢ＋AC＝ＡB＋AE+EC， AB+ＡＥ＞BＥ， ∴AB+ＡC>BE+ＥC、 ① ∵BＥ+EＣ=BO+OＥ+ＥC， ＯE+EC>CO,∴BE+EC>BO+CＯ,② 由①②可得： AB+AC>BO+CＯ、③(边得飞镖模型)

同理可得: AＢ＋BC〉OA+OＣ、④ ,ＢC+ＡC>ＯA+OB、⑤ 由③+④+⑤得: 2 （AＢ+BC+AＣ）〉2 (AO+BO+CO)、 即 AB+ＢC+AC＞ＡO+BO+ＣO、

１．如图，在△ABＣ中，D、E在BC边上,且BD=CE。求证：ＡB+AC〉AD+ＡE、

ABCBCBDEC

【答案】

证法一：如图①，将AC平移至ＢF,AD延长线与BF相交于点G，连接DF。 由平移可得AC=BF ,∵ＡC∥BF ，∴∠ACＥ=∠ＢFＤ ，∵ＢD＝ＣE ∴△AEC≌△ＦDＢ ，∴ＤF＝ＡE

如图,延长AD交BF于点G,∵AB+ＢF＝AＢ+BG+ＧＦ、 ∵AB+BＧ〉AG， ∴AB+ＢF>AG+GF① ，∵ＡG+GＦ=AＤ+DG+ＧF， ∵DG+ＧF>DF， ∴AG+ＧF〉AD＋DF② ,由①②可得:AB＋BF〉AD+DF、（飞镖模型） ∴AB＋AC＝AB＋BF>AＤ+ＤＦ=ＡD＋AＥ、 ∴AB＋AC〉AＤ＋AE、

ABGDEC

证法二：如图②,将AC平移至DF，连接BF ，则AC=DF ，∵ＡC∥DF，∴∠AＣE＝∠FDB、

F中考数学模型：飞镖模型与8字型模型

∵ＢD=CE，∴△AＥＣ≌△FBD、 ∴ＢＦ＝ＡＥ、 ∵OA＋ＯD〉AD①， ＯB+OF>BF②

由①+②得：OA+OD+OB＋OＦ＞BF+ＡD、 ∴AB+DF＞BF+AD、(８字模型) ∴AB+AC=ＡB+DF〉BF+AD=ＡE+AD、 ∴ＡB+ＡＣ〉AD+AE、

FAOBDEC

２．观察图形并探究下列各问题，写出您所观察得到得结论，并说明理由. (1）如图①，△ABＣ中,Ｐ为边BC一点，请比较BP+PC与ＡB+ＡC得大小，并说明理由。

（2）如图②,将(１）中得点Ｐ移至△ABC内,请比较△BPC得周长与△ＡＢC得周长得大小，并说明理由．

(3）图③将(2）中得点Ｐ变为两个点、,请比较四边形得周长与△AＢC得周长得大小，并说明理由、

AAAPP1P2BPCBCBC

【答案】

（1)如图①，BP+PC＜AB+AＣ、

理由:三角形两边之与大于第三边。（或两点之间线段最短) （2）△BPC得周长小于△ABC得周长。

证明:如图②,延长BP交AＣ于M。在△ＡBM中，BP＋PＭAMPBC

(3)四边形得周长小于△ＡBC得周长。

证法一:如图③,分别延长、交于Ｍ，由（2)知,BM+ＣM〈ＡB+ＡC、 又∵<，∴++＜BM＋CM＜AB+AＣ、

中考数学模型：飞镖模型与8字型模型

∴四边形得周长小于△ＡBC得周长、

AMP1AP2P1P2NMC

证法二：如图④，做直线分别交AB、AC于M、Ｎ.在△BM中，由①+②+③得：∴+＋〈AB+AC、 ∴四边形得周长小于△ＡＢC得周长、

BBC