一、选择题（共10小题，每小题4分） 1．化简 A．
B．
C．
=（ ） D．
，则在上的投影为（ ）
C．
D．
2．已知A．﹣2 B．2 3．如果
，
是平面内所有向量的一组基底，那么（ ）
，其中m，n为实数
A．该平面内存在一向量不能表示B．若向量
与共线，则存在唯一实数λ使得
，则m=n=0
C．若实数m，n使得
D．对平面中的某一向量，存在两对以上的实数m，n使得4．在△ABC中，AB=A．
B．
C．
，AC=1，B=或
D．
或
，则△ABC的面积是（ ）
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足a2+bc≤b2+c2，则角A的范围是（ ） A．6．若（ ） A．1
B．﹣4 C．
D．
的军事基地C和D，测得红军的两
B．是夹角为
C．
D．
，
的单位向量，且，则=
7．蓝军和红军进行军事演练，蓝军在距离
支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB=30°，∠BDC=30°，∠DCA=60°，∠ACB=45°，如图所示，则红军这两支精锐部队间的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，m的值为（ ）
，P是BN上的一点，若，则实数
A． B． C．1 9．在△ABC中，已知6
D．3 •
=2
•
=3
•
，则∠A=（ ）
A．30° B．45° C．120° D．135°
10．定义两个平面向量的一种运算⨂=||•||sinθ，其中θ表示两向量的夹角，则关于平面向量上述运算的以下结论中： ①
，
②l（⨂）=（l）⨂， ③若=l，则⨂=0，
④若=l且l＞0，则（+）⨂=（⨂）+（⨂）． 其中恒成立的个数是（ ） A．5
二、填空题（共4小题，每小题4分）
11．已知||=6，||=8，且|+|=|﹣|，求|﹣|． 12．若平面向量，满足
=1，
平行于y轴， =（2，﹣1），则= ．B．4 C．3 D．2
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，则△ABC的形状是 ．
14．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则：
①若cosBcosC＞sinBsinC，则△ABC一定是钝角三角形； ②若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形； ③
，
，若
； ，
，则△ABC为锐角三角形；
④若O为△ABC的外心，⑤若sin2A+sin2B=sin2C，以上叙述正确的序号是 ．
三、解答题（12分+10分+10分+12分） 15．已知向量=（1，（1）求|﹣|；
（2）求向量﹣与的夹角；
（3）当t∈R时，求|﹣t|的取值范围．
），=（﹣2，0）．
16．B，C的对边分别a，b，c，△ABC的三个内角A，已知
，且∥
（1）证明sinBsinC=sinA； （2）若a2+c2﹣b2=
ac，求tanC．
，
17．已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c． （1）若b﹣a=c﹣b=2．求c的值； （2）若c=
，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．
18．（2）如图，在△ABC中，D是BC的中点， ==，
（i）若•=4， •=﹣1，求
•
•≥
的值； •
恒成立，求证：2AC=BC．
（ii）若P为AD上任一点，且
2016-2017学年安徽省淮南二中高一（下）第一次月考数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分） 1．化简 A．
B．
C．
=（ ） D．
【考点】向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义． 【分析】根据向量加法的混合运算及其几何意义即可求出． 【解答】解：故选：D 2．已知A．﹣2 B．2
C．
D．
，则在上的投影为（ ）
=（ +）﹣（+）=﹣=，
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】根据投影的定义在上的投影为
．
【解答】解：根据投影的定义可得：故选：D 3．如果
===2，
，是平面内所有向量的一组基底，那么（ ）
，其中m，n为实数
A．该平面内存在一向量不能表示B．若向量
与共线，则存在唯一实数λ使得
，则m=n=0
C．若实数m，n使得
D．对平面中的某一向量，存在两对以上的实数m，n使得
【考点】平面向量的基本定理及其意义． 【分析】A，根据平面向量的基本定理可判定； B，若向量C，∴
=，不共线，
，则λ不存在；
时，当且仅当m=n=0．
D，根据平面向量的基本定理可判定 【解答】解：对于A，∵
，
是平面内所有向量的一组基底，根据平面向量
n为实数，，其中m，
的基本定理可得该平面任一向量一定可以表示故A错； 对于B，若向量对于C，∵
=，
，则λ不存在；
，是平面内所有向量的一组基底，∴不共线，
时，当且仅当m=n=0，故正确；
对于D，根据平面向量的基本定理可得该平面任一向量一定可以表示
，其中m，n为唯一实数对，故错；
故选：C
4．在△ABC中，AB=A．
B．
C．
，AC=1，B=或
D．
或
，则△ABC的面积是（ ）
【考点】正弦定理．
【分析】先由正弦定理求得sinC的值，进而求得C，根据三角形内角和求得A，最后利用三角形面积公式求得答案． 【解答】解：由正弦定理知∴sinC=∴C=或C=故选D
，A=，A=
=
，
=，
，S=AB•ACsinA=，S=AB•ACsinA=
．
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足a2+bc≤b2+c2，则角A的范围是（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】余弦定理．
【分析】由已知利用余弦定理可得cosA象和性质即可得解．
【解答】解：∵a2+bc≤b2+c2，可得：bc≤b2+c2﹣a2， ∴cosA=∵A∈（0，π）， ∴A∈（0，故选：B． 6．若（ ） A．1
B．﹣4 C．
D．
是夹角为
的单位向量，且
，
，则
=
]．
≥
=，
，结合A的范围，由余弦函数的图
【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】因为
，
，
是夹角为
的单位向量，代入
后根据向量的数量积运算法则可得答案． 【解答】解：∵∴
=（2
+
）（﹣3
，+2
，
）=﹣6+2+=﹣
是夹角为
的单位向量
故选C．
7．蓝军和红军进行军事演练，蓝军在距离
的军事基地C和D，测得红军的两
支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB=30°，∠BDC=30°，∠DCA=60°，∠ACB=45°，如图所示，则红军这两支精锐部队间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】先在△BCD中，求得BC的长，再求得AC的长，最后在△ABC中利用余弦定理，即可求得AB的长，即伊军这两支精锐部队的距离． DC=【解答】解：在△BCD中，∴
，∴BC=
，∠DBC=180°﹣30°﹣60°﹣45°=45°，∠BDC=30°，
．
，
在等边三角形ACD中，AC=AD=CD=在△ABC中，AC=∴AB=故选A．
，BC=
，∠ACB=45° =
．
8．如图，在△ABC中，m的值为（ ）
，P是BN上的一点，若
，则实数
A． B． C．1 D．3
【考点】平面向量的基本定理及其意义． 【分析】根据题意，设
=λ
，将向量
表示成向量
、
的一个线性组合，
再结合题中向量的等式，建立关于m、λ的方程组，解之即可得到实数m的值．
【解答】解：∵∴设
=λ
，
，（λ＞0）得且=
=+
∴m=故选：A
，解之得λ=8，m=
9．在△ABC中，已知6•=2•=3•，则∠A=（ ）
A．30° B．45° C．120° D．135° 【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】设△ABC的三边分别为a、b、c，由题意利用两个向量的数量积的定义可得6bc•cosA=﹣2ac•cosB=﹣3ab•cosC，再把余弦定理代入求得a2=5b2，c2=2b2，从而求得cosA=
的值，进而求得A的值．
•
=2
•
=3
•
，
【解答】解：设△ABC的三边分别为a、b、c，由已知6可得6bc•cosA=2ac•cos（π﹣B）=3ab•cos（π﹣C）， 即 6bc•cosA=﹣2ac•cosB=﹣3ab•cosC． 再利用余弦定理可得6bc•化简可得a2=5b2，c2=2b2， ∴cosA=故选：D．
=﹣
，故A=135°，
=﹣2ac•
=﹣3ab•，
10．定义两个平面向量的一种运算⨂=||•||sinθ，其中θ表示两向量的夹角，则关于平面向量上述运算的以下结论中： ①
，
②l（⨂）=（l）⨂， ③若=l，则⨂=0，
④若=l且l＞0，则（+）⨂=（⨂）+（⨂）． 其中恒成立的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据由新定义，即可判断①；首先运用新定义，再当λ＜0时，即可判断②；
由向量共线得到sinθ=0，即可判断③；先由向量共线，再由新定义，即可判断④．
【解答】解：对于①⊗=||•||sinθ=⊗，故恒成立，
对于②l（⨂）=l||•||sinθ，（l）⨂=|l|•||•||sinθ，当l＜0时不成立， 对于③若=l，则θ=0°或180°，则sinθ=0，故⨂=0，故成立 对于④若=l且l＞0，设与的夹角为α，则与的夹角为α 则+=（1+l），（ +）⨂=（1+l）||•||•sinα，
（⨂）+（⨂）=||•||•sinα+||•||•sinα=l||•||•sinα+||•||•sinα=（1+l）||•||•sinα，故成立， 综上可知：只有①③④恒成立 故选：C
二、填空题（共4小题，每小题4分）
11．已知||=6，||=8，且|+|=|﹣|，求|﹣|． 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】由|+|=|﹣|平方可得算即可得到所求值．
【解答】解：由于|+|=|﹣|， 则（即有即有则|
12．若平面向量，满足2，0）或（﹣2，2） ．
【考点】平面向量数量积的运算．
=1，
平行于y轴， =（2，﹣1），则= （﹣=0， |=
=
=10．
）2=（
=）2，
，
=0，再由向量的平方即为模的平方，计
【分析】根据共线向量的性质，以及向量模的坐标运算即可求出． 【解答】解：设=（x，y），﹣1），解得x=﹣2 又∵足
=11，∴（y﹣1）2=1
平行于y轴，得出
=（x+2，y﹣1）=（0，y
解得y=0，或y=2
∴=（﹣2，2）或（﹣2，0） 故答案为：（﹣2，2）（﹣2，0）
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，则△ABC的形状是 等腰或直角三角形 ． 【考点】正弦定理．
【分析】由正弦定理将已知化简为三角函数关系式，可得cosA（sinB﹣sinA）=0，从而可得A=
或B=A或B=π﹣A（舍去），即可判断三角形的形状．
【解答】解：在△ABC中，∵c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，C=π﹣（A+B）， ∴由正弦定理得：sinC﹣sinAcosB=2sinAcosA﹣sinBcosA， ∴sinAcosB+cosAsinB﹣sinAcosB=2sinAcosA﹣sinBcosA， ∴cosA（sinB﹣sinA）=0， ∵cosA=0，或sinB=sinA， ∴A=
或B=A或B=π﹣A（舍去），
可得△ABC的形状是等腰或直角三角形． 故答案为：等腰或直角三角形．
14．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则： ①若cosBcosC＞sinBsinC，则△ABC一定是钝角三角形； ②若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形； ③
，
，若
；
，则△ABC为锐角三角形；
④若O为△ABC的外心，
⑤若sin2A+sin2B=sin2C，
以上叙述正确的序号是 ①③④⑤ ． 【考点】三角形中的几何计算．
，
【分析】对5个命题分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：①若cosBcosC＞sinBsinC，则cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）＞0， 即﹣cosA＞0，cosA＜0，则∠A为钝角，故△ABC一定是钝角三角形，正确． ②若acosA=bcosB，则由正弦定理得2rsinAcosA=2rsinBcosB，即sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B=180，即A=B或A+B=90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，错误； ③则
，
，
=tanA+tanB+tanC=（1﹣tanAtanB）tan（A+B）+tanC＞0
tan（A+B）+tanC＞tanAtanBtan（A+B）⇒0＞tanAtanBtan（A+B） ∴必有A+B＞
，且A，B都为锐角
∴C也必为锐角，
∴△ABC为锐角三角形，正确， ④O为△ABC的外心，=|
|•|
|cos＜
•
=
•（|•|
﹣
）=
•
﹣
•
， |2﹣|
|2=（b2
，＞﹣||•cos＜，＞=|
﹣c2），正确，
⑤若sin2A+sin2B=sin2C，则由正弦定理得a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形， ∴（∴∵﹣
=﹣﹣+）•（•（，∴
﹣+
2
）=0， ）+
=0，∴+
2
=﹣2，∴5
2
， =
2
=
2
+2+
2
，即结论成立．
故答案为①③④⑤．
三、解答题（12分+10分+10分+12分） 15．已知向量=（1，（1）求|﹣|；
），=（﹣2，0）．
（2）求向量﹣与的夹角；
（3）当t∈R时，求|﹣t|的取值范围． 【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】（1）由向量的加减运算和向量的模的公式，计算即可得到所求值； （2）求得（﹣）•=2﹣•=6，由向量的数量积的夹角公式，计算即可得到所求值；
（3）运用向量的平方即为模的平方，化简可得关于t的二次函数，配方即可得到最小值，即可得到所求范围． 【解答】解：（1）由向量=（1，所以﹣=（1，
），=（﹣2，0），
），|﹣|=
=2
；
）﹣（﹣2，0）=（3，
（2）由（﹣）•=2﹣•=4﹣（﹣2）=6， 可得cos＜（﹣），＞=由0≤＜（﹣），＞≤π， 所以向量﹣与的夹角为
；
=
=
，
（3）因为|﹣t|2=2﹣2t•+t22 =4t2+4t+4=4（t+）2+3，
当t=﹣时，上式取得最小值3． 所以当t∈R时，|﹣t|的取值范围是
16．B，C的对边分别a，b，c，△ABC的三个内角A，已知
，且∥
（1）证明sinBsinC=sinA； （2）若a2+c2﹣b2=
ac，求tanC．
，
．
【考点】余弦定理的应用．
【分析】（1）运用向量共线的坐标表示，结合正弦定理和两角和的正弦公式，化简整理即可得证；
（2）运用余弦定理和同角的基本关系式，计算即可得到所求值． 【解答】解：（1）证明：由可得
=
+
=，
+
=1，
，
，且∥，
由正弦定理可得
即有sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC， 即为sin（B+C）=sinBsinC， 则sinBsinC=sinA； （2）由（1）
+
=1，
可得tanB+tanC=tanBtanC， 由a2+c2﹣b2=
ac，
=
•
=
，
由余弦定理可得，cosB=sinB=可得tanB=
==
， ，
则tanC===．
17．已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c． （1）若b﹣a=c﹣b=2．求c的值； （2）若c=
，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】（1）根据b﹣a=c﹣b=2．用c表示a，b，利用余弦定理即可求c的值；
（2）根据正弦定理求出AC，BC的长度，即可求出周长的最大值． 【解答】解：（1）∵b﹣a=c﹣b=2， ∴b=c﹣2，a=b﹣2=c﹣4＞0，∴c＞4． ∵∠MCN=π，
∴由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosπ，
即c2=（c﹣4）2+（c﹣2）2﹣2（c﹣4）（c﹣2）×（﹣）， 整理得 c2﹣9c+14=0，解得c=7，或c=2． 又∵c＞4，∴c=7．
（2）在△ABC中，由正弦定理可得即
则AC=2sinθ，BC=2sin（
）．
）+
=2sin（
）
，
，
=|AC|+|BC|+|AB|=2sinθ+2sin∴△ABC的周长f（θ）（+
．
），∴，即θ=
＜
＜π，
．
又∵θ∈（0，∴当
=
时，f（θ）取得最大值2+
18．（2）如图，在△ABC中，D是BC的中点，（i）若
•
=4，
•
=﹣1，求
•
•≥
的值； •
==，
（ii）若P为AD上任一点，且恒成立，求证：2AC=BC．
【考点】向量在几何中的应用．
【分析】（i）建立坐标系，设C（a，0），A（m，n），求出各向量的坐标，根据条件列出方程组解出a2和m2+n2，从而可得（ii）设P（λm，λn），根据
•
≥
•
•
的值；
恒成立得出关于λ的不等式恒成立，
利用二次函数的性质得出△≤0，从而得出m，n和a的关系，带入距离公式化简即可得出结论． 【解答】解：（i）∵
=
=
，∴E，F为AD的四等分点．
以BC为x轴，以D为原点建立平面直角坐标系， 设B（﹣a，0），C（a，0），A（m，n），则E（∴
=n）n）（m+a，，=（m﹣a，，=（），∵
•
=（=4，
•，
）， =﹣1， ，解得m2+n2=
，a2=．
，
），F（，），
，），=（
，
，），=（
∴
∴•=
﹣a2+
=
（m2+n2）﹣a2=．
=（（1﹣λ）m，（1﹣λ）n），
（ii）∵P为AD上任一点，设P（λm，λn），则=（a﹣λm，﹣λn）， =（，），∴=∵
•
≥
=（a﹣
，﹣
），
=（1﹣λ）m（a﹣λm）﹣（1﹣λ）λn2=（1﹣λ）（ma﹣λm2﹣λn2），•﹣•
=
﹣
﹣
．
恒成立，
）（m2+n2）≥0恒成立，
（m2+n2）+ma≥0恒成立， （m2+n2）+ma]≤0，
∴（﹣λ）ma+（λ2﹣λ+
即（m2+n2）λ2﹣（m2+n2+ma）λ+∴△=（m2+n2+ma）2﹣4（m2+n2）[
即（m2+n2）2﹣ma（m2+n2）+m2a2≤0，∴[（m2+n2）﹣ma]2≤0，
∴（m2+n2）=ma，即m2﹣2ma=﹣n2， ∴AC=又BC=2a， ∴2AC=BC．
=
=
=a，
2017年5月10日
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