含耦合非线性缺陷的一维有限光子晶体的传输特性∗
侯鹏，陈园园，施解龙，申明，王奇
上海大学物理系，上海 （200444）
E-mail: houpengshu@126.com
摘 要：本文利用传输矩阵法，研究具有中间线性隔层的耦合非线性缺陷对一维光子晶体传输特性的影响。发现这种复合结构产生的光学双稳态现象受到中间线性介质层的强烈调制，当中间线性层光学厚度固定时，双稳态阈值随其折射率的减小而减小，当中间线性层的折射率固定时，双稳态阈值随其厚度的增加呈周期性变化。恰当地选择中间线性介质层的参数可大大降低双稳态阈值。从线性缺陷模的移动和非线性材料中电场的分布对这些现象进行了解释。
关键词：（3－5个）光子晶体 光学双稳态 耦合非线性缺陷 中图分类号：O734
正文 1．引言
近年来，关于光子晶体非线性光学响应的研究格外引人瞩目，并且理论和实验上都取得了重大突破，其中包括非线性引起自陷学双稳态
[15-26]
[1-4]
，提高高次谐波产生
[5-12]
，四波混频
[13-14]
，以及光
等。双稳态是非线性光学的重要内容，在光晶体管、光逻辑门以及光记忆等器
件的制造领域具有非常巨大的潜在应用。研究具有低阈值的双稳态系统对大规模集成光路具有非常重要的意义。
当在光子晶体中掺入单个非线性缺陷时，缺陷层中强烈的非线性效应导致缺陷模频率向
[23-24]
。随着Inouyea等入射光频率移动，当缺陷模频率接近入射光频率时，产生双稳态现象
人在实验上观察到缺陷模移动现象，光子晶体在非线性光学器件上的应用掀开了崭新的一页[25][26]
。近几年的研究表明，选择恰当的非线性材料或增加缺陷层的厚度可降低双稳态阈值。然而，在实际应用中，选择合适的克尔材料是非常困难的，并且过大的光学厚度对光学器件十分不利。
本文介绍一种用来调制光学双稳态的新方法。我们把具有中间线性隔层的耦合非线性缺陷掺入四分之一波长膜堆中间位置。这种复合结构产生的双稳态受中间线性介质层的强烈调制。通过调节中间线性介质层的物理参数，就可以实现对双稳态阈值的调控。
2． 模型
图1含耦合非线性缺陷的一维光子晶体结构 Fig. 1: The schematic of 1D PC structure with two coupled nonlinear defect layers separated by a linear middle layer. ∗本课题得到高等学校博士学科点专项科研基金（项目编号：20060280007）的资助。 - 1 -
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如图1所示，我们采用ABAB…A…BABA的周期结构作为一维光子晶体结构。A、B两层线性介质膜的折射率分别是na、nb，厚度分别是da、db。它们的光学厚度满足
nada=nbdb=λ0/4，λ0为自由空间波长。现在用CDC结构取代中间介质层A，其中C代
表非线性介质，D代表线性介质。C、D介质层的厚度分别是dC和d。光子晶体两侧的介质为空气。当光垂直入射到这种复合结构上时，产生中心频率为ω0的禁带。
对于TE波，考虑一厚度为dj的克尔介质层，由麦克斯韦方程和边界条件可以得到连接非线性介层两侧的电场和磁场切向分量的特征矩阵为
[27]
kj−⎛kj−⎞⎜⎟exp(−ikj+dj)+exp(ikj−dj)exp(−ikj+dj)−exp(ikj−dj)k0⎜k0k0⎟Mj=⎟ kj−kj+kj++kj−⎜kj−kj+−ikj+dj)−exp(ikj−dj)]⎜[exp(exp(−ikj+dj)+exp(ikj−dj)⎟⎜k2⎟kk00⎝0⎠（1） 其中k0=ωc 1/2 kj+=k0nj(1+Uj++2Ujm)2 （2） Uj+=αAj+ （3）Aj+、Aj− 分别是第j层介质中前向波与后向波的振幅；kj+、kj−分别是前向波与后向波的传播系数。nj是非线性介质层的线性折射率；ω是入射光角频率，c是光在自由空间的传播速度。α是非线性介质的非线性系数，若α=0，方程（1）正是线性介质的特征矩阵的标准形式[28]。 [27]把透射强度Ut看作参数，用定点迭代法求解一组关于Uj+、Uj−的非线性耦合方程组可得到Uj+，把Uj+代入（2）式以确定kj+，这样就得到了单层非线性介质层的特征矩阵。则整个多层膜结构的特征矩阵可表示为 M=(MAMB)mMCMDMC(MBMA)m （4） 利用(4)式可以直接求出光经过整个光子晶体的透射系数为 2nf (5) T=(m11+m12nf)nf+(m21+m22nf)2Mij为矩阵M的元素，nf为周围背景介质的折射率。则入射强度Ui和透射强度Ut的关系为 Ui=Ut （6） T3．计算结果分析
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0.02UL Ut
0.01UH0.0001234
Ui
图2 透射强度随入射强度的变化关系。n
Fig. 2: Bistable profile of transmitted intensity as a function of incident intensity. The refractive index of the linear middle layer is
=3.5, d=λ0/4n
n=3.5 and d=λ0/4n.
取na=1.5, nb=2, nc=2.06, nf=1, m=10, ω0=0.33。在入射光的作用下，透射强度随入射强度的变化关系如图2所示，图中典型的S曲线表明这种复合结构能够产生光学双稳态现象。图（2）中UH和UL分别表示双稳态的两个阈值。当耦合非线性缺陷嵌入一维光子晶体的中间时，禁带中将相应出现缺陷模。缺陷结构中强烈的非线性效应，导致缺陷模随入射光强度的改变发生移动，当缺陷模频率与入射光频率接近时，产生双稳态现象。
图3 双稳态阈值随入射光频率的变化。（a）含耦合非线性缺陷的结构n
=2.5， nd=λ0/4；（b）
入射光频率均用ω0归一化过。插图是放大了的UL含单个非线性缺陷结构，非线性缺陷厚度为2dc。
随入射光频率的变化关系。
FIG. 3: The threshold values vary with the incident frequency. (a) For the case of two coupled nonlinear
defects and n=2.5,nd=λ/4; (b) For the case of single nonlinear defect with width 2d. The
0c
insets show the enlargement of U. All the incident light frequency data are normalized by ω.
L
0
调整入射光频率，研究入射光频率对双稳态阈值的影响。图3.a反映了含耦合非线性结
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构的双稳态阈值随入射光频率的变化情况。图中横坐标采用的是归一化频率。含耦合非线性缺陷的复合结构所对应的线性缺陷模频率是1.031。从图中可看到随着入射光频率逐渐接近线性缺陷模频率，双稳态阈值越来越低，但是当入射光频率非常接近甚至跨过线性缺陷模频率时，双稳态现象消失。为了便于比较，我们同时在图3.b中画出了含单个非线性缺陷结构（其相应的线性缺陷模频率为1.098）的双稳态阈值随入射光频率的变化。比较这两个图，可以看出当入射光频率相同时，采用耦合非线性缺陷结构能够大大降低双稳态阈值。
图4 （a）双稳态阈值随中间线性层折射率的变化 （b）n时非线性材料内的电场分布。
Fig. 4: (a)The dependence of threshold values on the refractive index and the inset is the enlargement of
=1.5, 2, 2.5, 3 时含耦合
非线性缺陷复合结构的线性缺陷模；(c) n=2时非线性材料内的电场分布；（d）n=5
UL; (b) The linear defect mode for the refractive index n=1.5, 2, 2.5, 3;
(c) the electric field distribution in the nonlinear material for n=2; (d) the electric field distribution in the nonlinear material for n=5. z represents the position in the nonlinear material. The optical thickness of the linear middle layer is
λ0/4.
下面讨论中间线性层对双稳态阈值的影响。首先，固定中间线性层的光学厚度为四分之一波长。取入射光频率为ω0，缓慢改变中间线性层的折射率，观察双稳态阈值的变化。图4.a反映了中间线性层折射率的变化对双稳态阈值的影响。从图中可以看出，双稳态阈值随中间线性层折射率的增加而增大。这是由于中间线性层折射率的改变，引起系统线性缺陷模频率的移动，从而导致了非线性介质中电场分布的变化。为了更清楚的理解这一现象的物理机制，我们深入研究了中间线性层折射率的改变对线性缺陷模频率的和非线性材料内电场的
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分布影响。研究结果分别绘制在图4.b、4.c和4.d中。从三个图中可以观察到，当中间线性层折射率增加时，由于缺陷层结构与其两侧布拉格镜折射率的不匹配，引起缺陷层中光学相位发生变化，从而导致系统的线性缺陷模频率远离入射光频率（图4.b），继而引发非线性材料中电场分布的减弱。故，系统的双稳态阈值相应随之增大。这一研究结果表明，在实际应用中，为了更容易实现低阈值双稳态，中间线性层要尽量选择低折射率材料。
图5（a）(b) 双稳态阈值随中间线性层光学厚度的变化; (c)中间线性层光学厚度的变化引起线性缺陷模的移动；(d)(e)非线性材料中的电场分布。
Fig. 5: (a)(b)The dependence of threshold intensities on optical thickness of the linear middle layer; (c)
the linear defect mode shifting caused by the variation of optical thickness of the linear middle layer. (d) (e) The electric field distribution in the nonlinear material for different optical thickness of the linear middle layer; The refractive index of the linear middle layer is 3.
接下来我们探讨中间线性层厚度对双稳态阈值的影响。为了研究方便，在实际计算中我们固定中间线性层折射率不变，缓慢改变中间线性层的光学厚度。入射光的频率仍然取ω0。
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图5.a 和5.b反映了一个非常有趣的现象，当中间线性层的光学厚度逐渐增加时，双稳态阈值随着光学厚度的改变发生周期性变化，并且其变化周期是λ0/2。这两个图也说明，随着中间线性层的介入，双稳态阈值确实降低了。此时，中间线性层光学厚度的增加，引起缺陷结构中光学相位的增大，从而导致线性缺陷模频率向入射光频率移动（图5.c），继而引发非线性材料中电场分布发生改变。当中间线性层光学厚度增加到λ0/2时，缺陷层中的光学相位增加2π，从而导致了非线性层中电场分布的周期性变化（图5.d和5.d）。故，双稳态阈值随之发生相应的周期性变化。
4．总结
本文通过对含耦合非线性缺陷的一维光子晶体非线性传输特性的研究表明，这种复合结构可产生双稳态现象，双稳态阈值受中间线性层的强烈调制。恰当地选择中间线性层的参数能大大降低双稳态阈值。这里，对中间线性层参数的选择，实际上间接等效为对非线性材料的线性折射率和物理厚度调制，利用这一特点在实际应用中可以避免选择非线性材料的繁琐。
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Transmission Property of Finite One-dimensional Photonic
Crystals with Coupled Nonlinear Defects
Hou Peng , Chen Yuanyuan, Shi Jielong, Shen Ming, Wang Qi
Department of Physics, Shanghai University, PRC
(200444)
Using the transfer matrix method, we study the transmission property of one-dimensional photonic crystal with coupled nonlinear defects separated by a linear middle layer and find that such composite structure exhibits a bistability that's strongly dependent of the linear middle layer. When the optical thickness of the linear middle layer is fixed , the threshold intensities reduce drastically with decreasing of the refractive index of the linear middle layer; when the refractive index of the linear middle layer is fixed , the threshold intensities vary periodically with the increment of the thickness of the linear middle layer. The switching threshold values can be greatly reduced just by choosing the proper parameters of the linear middle layer. With the investigations to the defect mode shifting and the electric field distribution in the nonlinear material, we explain these phenomena. Keywords: photonic crystal, optical bistability, coupled nonlinear defects
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