微分、积分及常用三角函数公式集锦

高等数学微积分数学公式

a0bnm0a0xna1xn1an一、lim0nm （系数不为0的情况）

xbxmbxm1b01mnm1sinx二、重要公式（1）lim1 （2）lim1xxe （3）limna(ao)1

nx0x0x（4）limnn1 （5）limarctanxn2x （6）limarctanxx2

x（7）limarccotx0 （8）limarccotx （9）lime0

xxxxxx1 （10）lime （11）limxx0

三、下列常用等价无穷小关系（x0）

12x 2

ssinxx tanxx arcsixnx arctanxx 1cox

ln1xx ex1x ax1xlna 1x1x

四、导数的四则运算法则

uuvuvuvuv uvuvuv vv2 

五、基本导数公式

⑴c0 ⑵xx1 ⑶sinxcosx

⑷cosxsinx ⑸tanxsec2x ⑹cotxcsc2x ⑺secxsecxtanx ⑻cscxcscxcotx ⑼exexx ⑽axax1lna ⑾lnx

x11x2⑿loga1 ⒀arcsinxxlna ⒁arccosx11x2

⒂arctanx11⒄ ⒃arccotx1x21x2x1⒅

x2n1x

六、高阶导数的运算法则 （1）uxvx（3）uaxbnnuxnnvx （2）cuxnncunnx

aunaxb （4）uxvxkcnuk0nkxv(k)x

七、基本初等函数的n阶导数公式 （1）xnnn! （2）eaxbnnaneaxb (3)axnaxlnna

(4)sinaxbansinaxbn

2(5) cosaxbnancosaxbn

2n1(6)axbn1ann!axbn1 (7) lnaxbn1n1ann1!axbn

八、微分公式与微分运算法则 ⑴dc0 ⑵dxx1dx ⑶dsinxcosxdx

22⑷dcosxsinxdx ⑸dtanxsecxdx ⑹dcotxcscxdx ⑺dsecxsecxtanxdx ⑻dcscxcscxcotxdx ⑼dexexdx ⑽daxaxlnadx ⑾dlnxx1dx x⑿dloga111dx ⒁darccosxdx dx ⒀darcsinx22xlna1x1x⒂darctanx11 ⒃dxdarccotxdx 221x1x

九、微分运算法则

⑴duvdudv ⑵dcucdu ⑶duvvduudv ⑷duvduudv 2vv

十、基本积分公式

x1dx⑴kdxkxc ⑵xdxc ⑶lnxc

1xax⑷adxc ⑸exdxexc ⑹cosxdxsinxc

lnax12cos2xdxsecxdxtanxc

112⑼ ⑽cscxdxcotxcdxarctanxc 22sinx1x⑺sinxdxcosxc ⑻⑾

11x2dxarcsinxc

十一、下列常用凑微分公式 积分型 换元公式 faxbdxfxx1dx1faxbdaxb auaxb 1fxdx ux 1flnxdxflnxdlnx xxxxxulnx uex feedxfede faxaxdx1xxfada lnauax fsinxcosxdxfsinxdsinx fcosxsinxdxfcosxdcosx ftanxsec2xdxftanxdtanx fcotxcsc2xdxfcotxdcotx usinx ucosx utanx ucotx farctanxfarcsinx1dxfarctanxdarctanx 21x11x2dxfarcsinxdarcsinx uarctanx uarcsinx 十二、补充下面几个积分公式

tanxdxlncosxc cotxdxlnsinxc secxdxlnsecxtanxc cscxdxlncscxcotxc

11xdxarctanc a2x2aa

11xadxlnc x2a22axa1a2x2dxarcsinxc a1x2a2dxlnxx2a2c

十三、分部积分法公式

nax⑴形如xedx，令ux，dvedx

naxn形如xsinxdx令ux，dvsinxdx

nn形如xcosxdx令ux，dvcosxdx

nn⑵形如xarctanxdx，令uarctanx，dvxdx

nn形如xlnxdx，令ulnx，dvxdx

naxax⑶形如esinxdx，ecosxdx令ue,sinx,cosx均可。

ax

十四、第二换元积分法中的三角换元公式 (1)ax xasint (2) 【特殊角的三角函数值】 （1）sin00 （2）sin2222a2x2 xatant (3)xa xasect

631 （3）sin （4）sin1） （5）sin0

322231 （3）cos （4）cos0） （5）cos1 23223 （3）tan3 （4）tan不存在 （5）tan0 332（1）cos01 （2）cos6（1）tan00 （2）tan6（1）cot0不存在 （2）cot在

十五、三角函数公式

63 （3）cot33（4）cot0（5）cot不存32

1.两角和公式

sin(AB)sinAcosBcosAsinB sinA(B)cos(AB)cosAcosBsinAsinB cosA(B)siAncoAscBoscBoscAos BsAsin BstanAtanBtanAtanB tan(AB)

1tanAtanB1tanAtanBcotAcotB1cotAcotB1 cot(AB) cot(AB)cotBcotAcotBcotAtan(AB)

2.二倍角公式

sin2A2sinAcosA cos2Acos2Asin2A12sin2A2cos2A1 tan2A2tanA

1tan2A

3.半角公式

sinA1cosAA1cosA cos 2222A1cosAsinAA1cosAsinA cot 21cosA1cosA21cosA1cosAtan

4.和差化积公式

sinasinb2sinabababab sinasinb2cos cossin2222abababab cosacosb2sin cosacosb2coscossin2222tanatanbsinabcosacosb

5.积化和差公式

11 sinasinbcosabcosabcosacosbcosabcosab2211 sinacobssianbsianbcosasibnsbsianb ian22

6.万能公式

a1tan22 cosasinaa1tan21tan222tan

7.平方关系

aa2tan2 tan2 aaa1ta2n22sin2xcos2x1 sec2xtan2x1 csc2xcot2x1

8.倒数关系

tanxcotx1 secxcosx1 cscxsinx1

9.商数关系

tanxsinxcosx cotx cosxsinx

十六、几种常见的微分方程 1.可分离变量的微分方程：

dyfxgy ， f1xg1ydxf2xg2ydy0 dx2.齐次微分方程：

dyyf dxx

3.一阶线性非齐次微分方程：

dypxyQx 解为： dx

pxdxpxdxdxc yeQxe