基于三角形分布的一级密封价格拍卖博弈及均衡分析

第２９卷第２期　２０１０年２月　工业技术经济　、，总第ｏ＿】．２９，№．２　１９６期　基于三角形分布的一级密封　价格拍卖博弈及均衡分析　马国顺　杨丽英　刘文文　（西北师范大学，兰州７３００７０）　（兰州大学，兰州　７３００７０）　（摘要］　针对传统的一级密封价格拍卖博弈模型假设的不足，结合实际拍卖过程的特点，本文　运用三角形分布的思想，分别对经典的一级密封价格拍卖博弈模型中两人投标和多人投标的情况进行改　进，并对各自的均衡结果进行分析比较。结果表明：无论是两人投标还是多人投标的情况，改进后的模　型相对经典一级密封价格拍卖模型得到的均衡结果，与现实拍卖中的吻合性更好，具有一定的现实指导　意义。　［关键词］　三角形分布一级密封价格拍卖　均衡分析　［中图分类号］Ｆ２２４．３２　［文献标识码］Ａ　引　言　中标，投标人是否成功由他自己的出价和其他投标入的　拍卖是一种典型的市场交易方式，集中竞争的特点　出价共同决定。当该投标人的出价大于其他投标人的出　使其能更有效地配置资源。拍卖有两种基本功能，（１）　价时，支付为该投标人对物品的评价减去他的出价；当　揭示信息，（２）减少代理成本　１　Ｊ。拍卖有多种形式，一　该投标人的出价小于任何其他投标人的出价时，该投标　级密封价格拍卖是一种常见的拍卖方式。国内学术机构　人的支付为零。每个投标人的最优策略就是最大化自己　近年来非常重视拍卖理论及其应用的研究，学者们基本　的期望支付时的出价ｌ２　Ｊ。　上集中于常规拍卖理论的研究，已经取得了一些研究成　下面我们分别看一下经典一级密封拍卖过程中有两　果，对一级密封价格拍卖的研究也相对较多，但他们的　个人和多个人的情况。　拍卖设计模型都是把拍卖者的偏好服从均匀分布作为一　１．１拍卖过程中有两个投标人的情况　个基本的假设条件，然而作者认为，这一假设忽略了一　首先看在拍卖过程中有两个投标人的情况ｉ＝１，２，　个重要事实，即如果投标人具有一定的知识和理性，在　ｂｉ　Ｏ（ｉ＿１，２）为投标人ｉ的出价，ｖｉ为拍卖物品对投　拍卖过程中会表现出明显的（或者由于对拍卖品真实价　标人ｉ的价值。假定ｖ；只有投标人ｉ自己知道（因而ｖｉ　值的不确定或者由于从众心理产生的）集中趋势。显然，　是投标人ｉ的类型），但两个投标人都知道Ｖｉ独立地取自　正态分布或偏态分布更符合拍卖者的偏好规律，所以作　定义在区间［Ｏ，１］上的均匀分布函数。则投标人ｉ的支付　者认为用均匀分布来描述拍卖者的偏好规律只是单纯的　为：　为了把问题简单化，因为用正态分布建模，在证明和求　ｒＶｉ—ｂｉ，　＞　解中会遇到意想不到的困难，本文尝试用三角形分布来　近似代替正态分布Ｌ３　Ｊ建立有关模型，分别对经典的一级　ｕｉ（ｂｉ，ｂｊ，ｖｉ）＝｛Ｉ　　，　，　＝　（１）　密封价格拍卖博弈模型中两人投标和多人投标的情况进　＜　行改进，并对各自的均衡结果进行分析比较。结果表明：　假定投标人ｉ的出价ｂｉ（ｖｉ）是其价值ｖｉ的严格递增可　无论是两人投标还是多人投标的情况，改进后的模型相　微函数，因为博弈是对称的，我们只需考虑对称的均衡　对经典一级密封价格拍卖模型得到的均衡结果，与现实　出价战略：ｂ＝ｂ　（ｖ）。给定ｖ和ｂ，投标人ｉ的期望支付　拍卖中的吻合性更好，具有一定的现实指导意义。　为：　ｌ经典一级密封价格拍卖模型　２　Ｊ　ｕｉ＝（ｖ—ｂ）ｐ｛ｂｉ＜ｂ｝－（ｖ—ｂ）ｐ｛ｂ　（　）＜ｂ｝　经典一级密封价格拍卖模型中假设招标的物品对投　＝（ｖ—ｂ）ｐ（ｖｊ＜ｂ一　（ｂ）＝ｄｅ（ｂ）｝＿（ｖ—ｂ）　（ｂ）　标人的价值服从区间［０，１］上的均匀分布，这样假定是为　这里ｂ一　（ｂ）＝　（ｂ）是ｂ　的反函数，因此投标人ｉ将最　了模型讨论的方便，可以比较容易地得到模型的均衡结　大化他的期望支付：　果。每个投标人在规定的时间内，独立地向拍卖人提交　ｍＯｘｂＵｉ＝（ｖ—ｂ）ｐ（ｂｊ＜ｂｌ＝（ｖ—ｂ）ｄＰ（ｂ）　投标书，投标书中写明投标的价格，其内容是秘密的。　最优化一阶条件为：一串（ｂ）＋（ｖ—ｂ）　（ｂ）＝０　拍卖人对所有标书进行评估，按照投标价格的高低顺序　注意到若ｂ　（．）是投标人ｉ的最优战略，￣ｔＪ６（ｂ）：ｖ，　收稿日期：２０ｏ　一ｌ１—０９　基金项目：国家自然科学基金资助项目（项目编号：１０８７１１６０）　・－－——７４・－－——　第２９卷第２期　２０１０年２月　工业技术经济　Ｖ０总第１．２９．Ｎｏ．２　１９６期　所以６（ｂ）＝（夺（ｂ）一ｂ）　（ｂ），故上述微分方程可写成　＾，　■、　上述情况都是基于招标的物品对投标人的价值服从　口Ｖ　＝ｖ，即：ｖｄｂ＋ｂｄｖ＝ｖｄｖ　区间［０，１］上的均匀分布这样一个假设基础之上的，但这　是一个不符合实际的假定，因为在拍卖活动中，一般来　整理并解该微分方程得：ｂ　＝÷　（２）　说招标物品的价值买者比卖者更清楚，也就是说，投标　人能够判断招标物品的价值在某一个确定的取值左右摆　动，因此下面我们尝试用三角形分布代替均匀分布来建　立模型进行分析。　（２）式即为该博弈问题的贝叶斯纳什均衡。在此均　衡下，每个投标人的出价是拍卖物品实际价值的一半，　被拍卖品归出价最高的投标人所有，但卖者只得到买者　价值的一半。对比之下，如果信息是完全的买者之间的　竞争将使卖者得到买者价值的全部Ｌ４Ｊ。由此我们有必要　看以下多人投标的情况。　２．２拍卖过程中有多个投标人的情况　２基于三角形分布的一级密封价格拍卖模型　】　若一个随机变量的密度函数可以表示为　“　：｛－，｛ｘ，　ｘ≤ａ　Ｉ　（１一ｘ），ｘ＞ａ　由于投标人出价与实际价值之间的差距随投标人数　的增加而递减。投标人越多，投标人的出价越接近于他　的真实评价。因此假定拍卖过程中有ｎ个投标人，每个　投标人的价值ｖｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）具有独立的相同的定义　在［Ｏ，１］区间上的均匀分布，如果评价为ｖ的投标人ｉ出　则称该随机变量在区间（Ｏ，１）上服从三角形分布（密度函　数图形如下所示）。　ｆ（ｘ）　价ｂ，则他的期望支付函数为：　Ｕｉ＝（ｖ—ｂ）儿　ｐｌ　ｂ＿ｉ＜ｂ｝中（ｂ）　最优化的一阶条件为：　一　（３）　（ｂ）　一　＋（ｎ一１）（ｖ—ｂ）　一　（ｂ）＝０　因为在均衡情况下夺（ｂ）＝ｖ，故一阶条件可写成：　：　一二　可　瓢：　ｂ）＝ｏ　其中　为随机　…………图１三角形分布密度函数图　一一　…　…　ｖ＋（ｎ一１）（ｙ—ｂ）ｖ＝０　一ｊ【Ｉ　（ｖ－ｂ）［　ｘｄ）【＋　ｂ）　（　＿ｘ）ｄ）【］’ｉｆｇ（ｂ）＞　，最优化一阶条　ｉｆｇ（ｂ）＜ａ　一ａ一　（２一ｇ（ｂ））＋　…　（２一ａ）＋（ｖ—ｂ）　（１）若ｇ（ｂ）　ａ，　ＩＪＵｉ＝ｖ－ｂ）　件为：…　、　一　【ｒｌ￣＿ｂ（２一ｇ（ｂ））一ｌｇ￣＿ｂａｇ（ｂ）】＝ｏ　＝ｏ　ｂ＊（）是投标人ｉ的最优．＋２（ｖ—ｂ）ｇ（ｂ）　矗略，贝］Ｊｓ（ｂ）：　，故将其带　（７）　以一ｖ２＋２（ｖ＿ｂ）ｖ　ｄｖ：０　ａ－－２Ｖ＋ｖ２）ｄｂ　２（ｙ　）（１一Ｖ）ｄｙ＝０　解上述微分方程得：ｂ＊：２ｖ　　（６）　解得：ｂ　３＝ｖ＂　－２ｖ＂ｉ　知（６）式即为该博弈问　的ｇ（ｂ）ｓａ的贝叶斯纳　什均　（７’式即为该博弈问题的ｇ＜　＞ａ的贝叶斯纳　过程中有多个投标人的模型　什均　：（２　…ｇ　）ｒ＞　、　，　…　ｉ　磊　相同，只　卖物　ｕｉ＝（ｖ—ｂ）【ａ＋　（２一ｇ（ｂ））一　（２一ａ）Ｊ　品对投标人ｉ的价值ｖｉ服从（ｏ，１）区间上集中趋势．为　第２９卷第２期　２０１０年２月　工业技术经济　、总第ｒ０Ｉ．２９．Ｎｏ．２　１９６期　期望支付为：　ｕｉ＝（ｖ—ｂ）ＩＩｊ　１ｐ｛ｂｊ＜ｂ｝＝（ｖ—ｂ）ＩＩｊ　ｉｐｌｂ　（　）＜ｂ｝＝（ｖ—ｂ）Ｈｊ　ｉｐ｛ｖｊ＜ｂ＊－１（ｂ）＝ｇ（ｂ）｝　ｆ　（ｖ＿ｂ）Ⅱｊ　ｘｄ）【，　ｉｆｇ（ｂ）　ａ　ｂ）　ｘａｘ＋　（ｔ－ｘ）ａｘ］＇ｉｆｇ（ｂ）＞ａ　（１）若ｇ（ｂ）ｓ　，则　ｉ：ｖ－ｂ）［　］　，最优化一　Ｊ’（２ｖ—ｖ２一ａ）　２ｖ（２ｖ一２）（ｎ一１）ｄｖ　阶条件为：　２－２一ｇ（ｂ）．＋０ｎ　一—　１　ｇ　０ｎ　一ｌ　（、　　一ｂ）（２　一２）：０…　注意到若ｂ　（．）是投标人ｉ的最优战略，则异（ｂ）＝ｖ，　所以　一、，２　＋（２ｎ一２）（ｖ－ｂ）ｖ２　意＝０　解得：ｂ　＝　２ｎ－２ｖ　（８）　当ｎ＝２时，（８）式与（６）式相等，与两个投标人的期　望支付相符。当ｎ＞２时，代入式中可求出ｇ（ｂ）　ａ的贝　叶斯纳什均衡。　（２）若ｇ（ｂ）＞ａ，则　ｕｉ＝ｖ－ｂ）【ａ＋　（２＿ｇ（ｂ））一　（２＿ａ）　最优化一阶条件为：　ａ＋　（２一ｇ（ｂ））一　（２一ａ）一（ｎ一１）（ｖ＿ｂ）　（　）～　若ｂ　（．）是投标人ｉ的最优战略，则ｇ（ｂ）＝ｖ，故将　其带入并整理得：　（２ｖ—ｖ２一ａ）ａｂ＝ｎ一１）（ｖ—ｂ）（２—２ｖ）ｄｖ　解得：ｂ　＝Ｌ——　了　Ｉ（２ｖ—ｖ２一ａ）　一　ｖ（２ｖ一２『＿一）（ｎ一１）ｄｖ　　（９）　当ｎ＝２时，（９）式与（７）式相等，与两个投标人的期　望支付相符。当ｎ＞２时，代入式中可求出ｇ（ｂ）＞ａ的贝　叶斯纳什均衡。　３均衡结果分析　下面我们对两种分布下建立的模型进行分析。　（１）若拍卖过程中只有两个投标人　ｉ：当ｇ（ｂ）≤ａ时，显然ｆ（ｖ）　＝警一专＝言＞ｏ，　（０＜ｇ（ｂ）＝ｖ≤ａ）。　：当ｇ（ｂ）＞ａ时，４Ｅｇ（ｖ）ｌ＝　６ｖ一３，＝２　２—３ａ一２’　则　ｇ　（ｖ）ｌ＞０，（０＜ａ＜ｇ（ｂ）＝ｖ，所以ｇ（ｖ）ｌ＞ｇ（０）１＞０。　即在拍卖过程中有两个人的情况下，若采用三角形分　布代替均匀分布，卖者能获得买者的价值相对较高。　（２）若拍卖过程中有多个投标人　ｉ：当ｇ（ｂ）≤ａ时，显然ｆ（ｖ）２＝　２ｎ－２ｖ一！　ｖ＝　Ｖ＞０，（ｏ＜ｇ（ｂ）＝Ｖ　ａ）。　ｉｉ：￣ｊｇ（ｂ）＞ａ时，记　一７６一　ｇ（ｖ）２　———　了———一　则ｇ　（ｖ）２＞０，（０＜ａ＜ｇ（ｂ）＝ｖ），所以ｇ（ｖ）２＞ｇ（Ｏ）２＞０。　类似以上分析可知，在拍卖过程中有多个人的情况　下，若采用三角形分布代替均匀分布，卖者也能获得买　者相对较高的价值。　由以上的讨论可以看出，当招标物品的价值服从三　角形分布时，均衡结果和集中趋势值ａ密切相关。在三　角形分布下，每个投标人的出价是关于估值ｖ和集中趋　势值ａ的综合折算值，而且这个出价都高于经典一级密　封价格拍卖模型的出价。与现实拍卖中的吻合性较好。　４结束语　经典一级密封价格拍卖模型中用均匀分布来描述不　完全信息只是单纯地为了把问题简单化，但这个假设具　有一定的局限性，本文首次采用三角形分布来模拟正态　分布，建立了基于三角形分布的一级密封价格拍卖模型，　得到了该模型的均衡结果，并且将所得结果与经典模型　的均衡结果进行了充分的比较分析，从而表明改进后的　一级密封价格拍卖模型能够为现实拍卖过程提供更为准　确的理论预期结果，具有更为现实的指导意义。　参考文献　１．ＭｃＡｆｅｅ　Ｐ，ＭｃＭｉＵａｎ　Ｊ．Ａｕｃｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ｂｉｄｄｉｎｇ【Ｊ　Ｊ．　Ｊｏｕｍａｌ　ｏｆ　ｅｃｏｎｏｍｉｃ　ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ，１９８７，２５：６９９—７３８　２．张维迎．博弈论与信息经济学［Ｍ］．上海：上　海人民出版社，２００４：１５２—１５８　３．ｎａｒ￣ｙｉ，Ｊ．Ｇａｍｅｓ　ｗｉｔｈ　Ｒａｎｄｏｍｌｙ　ｄｉｓｔｕｒｂｅｄ　ｐａｙｏｆｆｓ：　ａ　ｎｅｗ　ｒａｔｉｏｎａｌｅ　ｆｏｒ　ｍｉｘｅｄ—ｓｔｒａｔｅｇｙ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　ｐｏｉｎｔｓ【ＪＪ．Ｉｎ－　ｔｅｍａｔｉｏｎａｌ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｇａｍｅ　Ｔｈｅｏｒｙ，１９７３，２：１—２３　４．陈德湖．基于一级密封拍卖的排污权交易博弈模　型［Ｊ］．工业工程，２００６，（５）：４９—５１　５．吕炜，任玉珑，季玉华．基于一级密封的工程量　清单投标报价的博弈模型［Ｊ］．管理工程学报，２００７，　（１）：１２２—１２６　６．胡建兵．基于三角形分布的纵向产品差异化模型　［Ｊ］．哈尔滨工程大学学报，２００８，（４）：４２５～４３１　７．王高雄，周之铭，朱思铭，等．常微分方程　［Ｍ］．北京：北京高等教育出版社，２００４：３９—４９　作者简介马国顺，西北师范大学数学与信息科学学院　副教授，理学硕士。研究方向：经济定量分析与博弈论。　杨丽英，本文通讯作者，西北师范大学数学与信息科学　学院硕士研究生。研究方旬：经济定量分析与博弈论。　刘文文，兰州大学数学与统计学院硕士研究生。研究方　向：运筹学与控制论。