三角函数的诱导公式六公式

三角函数的诱导公式六

公式

文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]

用公式 诱导公式

三角函数的诱导公式（六公式） 公式一：

sin(α+k*2π)=sinα （k为整数） cos(α+k*2π)=cosα（k为整数） tan(α+k*2π)=tanα（k为整数） 公式二：

sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tan(π+α）=tanα 公式三：

sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (-α)=-tanα

公式四：

sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα tan(π-α) =-tanα 公式五：

sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) =sinα

由于π/2+α=π-（π/2-α），由公式四和公式五可得 公式六：

sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα

诱导公式 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限。 或者也可以这样记：分变整不变，符号看象限。 和（差）角公式 三角和公式

sin（α+β+γ）

=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos（α+β+γ）=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan（α+β+γ）=（tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ）/（1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanα·tanγ） （α+β+γ≠π/2+2kπ，α、β、γ≠π/2+2kπ） 积化和差的四个公式

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 和差化积的四个公式：

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2) 倍角公式

sin（3a)→3sina-4sin^3a =sin(a+2a)

=sin2acosa+cos2asina

=2sina（1-sin^2a)+（1-2sin^2a)sina =3sina-4sin^3a

cos3a→（2cos^2a-1）cosa-2（1-cos^2a)cosa =cos（2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=（2cos^2a-1）cosa-2（1-cos^2a)cosa =4cos^3a-3cosa

sin3a→4sinasin（60°+a)sin（60°-a) =3sina-4sin^3a =4sina（3/4-sin^2a)

=4sina[（√3/2）-sina][（√3/2）+sina] =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[（60+a)/2]cos[（60°-a)/2]*2sin[（60°-a)/2]cos[（60°+a)/2]

=4sinasin（60°+a)sin（60°-a) cos3a→4cosacos（60°-a)cos（60°+a) =4cos^3a-3cosa =4cosa(cos^2a-3/4）

=4cosa[cos^2a-（√3/2）^2]

=4cosa(cosa-cos30°）(cosa+cos30°）

=4cosa*2cos[(a+30°）/2]cos[(a-30°）/2]*{-2sin[(a+30°）/2]sin[(a-30°）/2]}

=-4cosasin(a+30°）sin(a-30°）

=-4cosasin[90°-（60°-a)]sin[-90°+（60°+a)] =-4cosacos（60°-a)[-cos（60°+a)] =4cosacos（60°-a)cos（60°+a)

tan3a→tanatan（60°-a)tan（60°+a) 上述两式相比可得

tan3a=tanatan（60°-a)tan（60°+a) 三倍角

sin3α=3sinα-4sin^3 α=4sinα·sin（π/3+α）sin（π/3-α） cos3α=4cos^3 α-3cosα=4cosα·cos（π/3+α）cos（π/3-α） tan3α=tan（α）*(-3+tan（α）^2）/(-1+3*tan（α）^2）=tan a · tan（π/3+a）· tan（π/3-a) 其他多倍角 四倍角

sin4A=-4*(cosA*sinA*（2*sinA^2-1）） cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4）

tan4A=（4*tanA-4*tanA^3）/（1-6*tanA^2+tanA^4） 五倍角

sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA

tan5A=tanA*（5-10*tanA^2+tanA^4）/（1-10*tanA^2+5*tanA^4） 六倍角

sin6A=2*(cosA*sinA*（2*sinA+1）*（2*sinA-1）*(-3+4*sinA^2）） cos6A=(-1+2*cosA)*（16*cosA^4-16*cosA^2+1） tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5）/(-1+15*tanA-15*tanA^4+tanA^6） 七倍角

sin7A=-(sinA*（56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6）） cos7A=(cosA*（56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7））

tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6）/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6） 八倍角

sin8A=-8*(cosA*sinA*（2*sinA^2-1）*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1）） cos8A=1+（160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2） tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6）/（1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8）

九倍角

sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2）*（64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3））

cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2）*（64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3））

tan9A=tanA*（9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8）/（1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8） 十倍角

sin10A = 2*(cosA*sinA*（4*sinA^2+2*sinA-1）*（4*sinA^2-2*sinA-1）*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4））

cos10A = ((-1+2*cosA^2）*（256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1））

tan10A = -2*tanA*（5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8）/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10） N倍角

根据棣莫弗定理，（cosθ+ i sinθ）^n = cos(nθ）+ i sin(nθ） 为方便描述，令sinθ=s，cosθ=c

考虑n为正整数的情形：

cos(nθ）+ i sin(nθ） = (c+ i s)^n = C(n,0)*c^n + C(n,2）*c^(n-2）*(i s)^2 + C(n,4）*c^(n- 4）*(i s)^4 + ... …+C(n,1）*c^(n-1）*(i s)^1 + C(n,3）*c^(n-3）*(i s)^3 + C(n,5）*c^(n-5）*(i s)^5 + ... …=>；比较两边的实部与虚部

实部：cos(nθ）=C(n,0)*c^n + C(n,2）*c^(n-2）*(i s)^2 + C(n,4）*c^(n-4）*(i s)^4 + ... …i*

虚部：i*sin(nθ）=C(n,1）*c^(n-1）*(i s)^1 + C(n,3）*c^(n-3）*(i s)^3 + C(n,5）*c^(n-5）*(i s)^5 + ... … 对所有的自然数n： ⒈cos(nθ）：

公式中出现的s都是偶次方，而s^2=1-c^2（平方关系），因此全部都可以改成以c（也就是cosθ）表示。 ⒉sin(nθ）：

⑴当n是奇数时：公式中出现的c都是偶次方，而c^2=1-s^2（平方关系），因此全部都可以改成以s（也 就是sinθ）表示。

⑵当n是偶数时：公式中出现的c都是奇次方，而c^2=1-s^2（平方关系），因此即使再怎么换成s，都至少会剩c（也就是 cosθ）的一次方无法消掉。

例. c^3=c*c^2=c*（1-s^2），c^5=c*(c^2）^2=c*（1-s^2）^2） 特殊公式

（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ） 证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[（θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[（θ+a)/2] sin[(a-θ）/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ） 坡度公式

我们通常把坡面的垂直高度h与水平宽度l的比叫做坡度（也叫坡比）， 用字母i表示，

即i=h / l,坡度的一般形式写成l : m形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作

a（叫做坡角），那么i=h/l=tan a. 万能公式6辅助角公式

注：该公式又称收缩公式 / 强提公式 / 化一公式 等

asin α+bcos α=√(a^2+b^2)sin(α+φ)，其中tan φ=b/a

asinA+bcosB=根号下a方+b方×（根号下a方+b方分之a×sinA+根号下a方+b方分之b×cosB) 令根号下a方+b方分之a=cosC 则根号下a方+b方分之b=sinC asinA+bcosB=根号下a方+b方（sinAcosC+cosBsinC)=根号下a方+b方×sin(A+C) 双曲函数

h a = [e^a-e^(-a)]/2 ch a = [e^a+e^(-a)]/2 th a = sin h(a)/cos h(a) 公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ+α）= sinα cos（2kπ+α）= cosα tan（2kπ+α）= tanα cot（2kπ+α）= cotα 公式二：

设α为任意角，π+α的与α的三角函数值之间的关系： sin（π+α）= -sinα cos（π+α）= -cosα tan（π+α）= tanα cot（π+α）= cotα 公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα cot（-α）= -cotα 公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα

tan（π-α）= -tanα cot（π-α）= -cotα 公式五：

利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα cot（2π-α）= -cotα 公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2+α）= cosα cos（π/2+α）= -sinα tan（π/2+α）= -cotα cot（π/2+α）= -tanα sin（π/2-α）= cosα

cos（π/2-α）= sinα tan（π/2-α）= cotα cot（π/2-α）= tanα sin（3π/2+α）= -cosα cos（3π/2+α）= sinα tan（3π/2+α）= -cotα cot（3π/2+α）= -tanα sin（3π/2-α）= -cosα cos（3π/2-α）= -sinα tan（3π/2-α）= cotα cot（3π/2-α）= tanα （以上k∈Z)

A·sin（ωt+θ）+ B·sin（ωt+φ） = √{(A+2ABcos（θ-φ）} · sin{ωt +

arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ） / √{A^2 +B^2 +2ABcos（θ-φ）}} √表示根号，包括{……}中的内容

反三角函数公式 arcsin(-x)= -arcsinx arccos(-x)=π-arccosx arctan(-x)= -arctanx arccot(-x)=π-arccotx

arcsinx+arccosx=arctanx+arccotx=π/2 ?函数应用

在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在海岛北偏东30，俯角为30的B处。到11时10分又测得该船在岛北偏西60，俯角为60的C处。（1）该船的航行速度是每小时多少千米？（2）又经过一段时间后，船到达海岛正西方向的D处，此时船距岛A有多远？

解（1）在Rt△PAB中，∠APB=60° PA=1，∴AB=√ 3（千米） 在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC=√ 3/3（千米）在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°则BC=√ (AB)^2+(AC)^2=√ (√ 3/3)^2+(√ 3)^2=√ 30/3(√ 30/3)/(1/6)=2√ 30（千米/时）（2）∠DAC=90°－60°=30°sinDCA=sin（180°－∠ACB）=sinACB=AB/BC=√ 3/√ 30/3=3√ 10/10sinCDA=sin（∠ACB－30°）=sinACB·cos30°－

cosACB·sin30°=(3√ 3-1)√ 10/20在△ACD中，据得，AD/sinDCA=AC/sinCDA∴AD=ACsinCDA