随机变量及其分布知识点整理

一、离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,,xi,,xn，X取每一个值xi(i1,2,,n)的概率

P(Xxi)pi，那么称以下表格

X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： 〔1〕Pi≥0,i1,2,,n 〔2〕p1p2pn1 1．两点分布

如果随机变量X的分布列为 X 0 1 P 1-p p 那么称X服从两点分布，并称p=P(X=1)为成功概率. 2．超几何分布

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，那么事件Xk发生的概率为：

knkCMCNMP(Xk),k0,1,2,3,...,m nCN那么随机变量X的概率分布列如下： X 0 0n0CMCNM nCN1 1n1CMCNM nCN… … m mnmCMCNM nCNP 其中mminM,n,且nN,MN,n,M,NN*。

注：超几何分布的模型是不放回抽样 二、条件概率

一般地，设A,B为两个事件,且P(A)0,称P(B|A)P(AB)为在事件A发生的条件下,事件B发生的条P(A)件概率. 0≤P(B|A)≤1 如果B和C互斥，那么P[(B三、相互独立事件

设A，B两个事件，如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响(即P(AB)P(A)P(B)),那么称事件A与事件B相互独立。即A、B相互独立P(AB)P(A)P(B)

一般地，如果事件A1,A2,…,An 两两相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概

C)|A]P(B|A)P(C|A)

率的积，即P(A1A2...An)P(A1)P(A2)...P(An).

注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；

(2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响. 四、n次独立重复试验

一般地，在一样条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验.

在n次独立重复试验中，记Ai是“第i次试验的结果〞，显然，P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An) “一样条件下〞等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响 注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征

第一：每次试验是在同样条件下进展； 第二：各次试验中的事件是相互独立的；

第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生. n 次独立重复试验的公式：

一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为kkkknkP(Xk)Cnp(1p)nkCnpq,k0,1,2,...,n.(其中q1p)，而称p为成功概率.

五、二项分布

一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，那么

kkP(Xk)Cnp(1p)nk，k0,1,2,,n

X 0 00nCnpq 1 11n1Cnpq … … k … n nn0Cnpq P kknkCnpq … 此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p)，并称p为成功概率. 六、离散随机变量的均值〔数学期望〕

一般地，随机变量X的概率分布列为 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 那么称E(X)x1p1x2p2xipixnpn

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1．假设YaXb，其中a，b为常数，那么Y也是变量 Y ax1b ax2b … axib … axnb P p1 p2 … pi … pn 那么EYaE(X)b，即E(aXb)aE(X)b 2．一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么

E(X)=1p0(1p)p

即假设X服从两点分布，那么E(X)p

3．假设X~B(n,p)，那么E(X)np 七、离散型随机变量取值的方差和标准差

一般地,假设离散型随机变量x的概率分布列为 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn

则称DX(x1E(X))2p1(x2E(X))2p2(xnE(X))2pn为随机变量X的方差.并称DX为随机变量X的标准差.1．假设X服从两点分布，那么D(X)p(1p) 2．假设X~B(n,p)，那么D(X)np(1p) 3．D(aXb)aD(X)

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