线性代数作业及参考答案

班级： 姓名： 学号 ： 得分：

得分 一、选择题 (每小题5分，共20分)

1． 设A为任意n阶矩阵，下列4项中（ B ）是反对称矩阵。 （A）AAT （B）AAT （C）AAT （D）ATA

2．设n阶矩阵A,B是可交换的，即ABBA，则不正确的结论是（ D （A）当A,B是对称矩阵时，AB是对称矩阵 （B）(AB)2A22ABB2 （C）(AB)(AB)A2B2

（D）当A,B是反对称矩阵时，AB是反对称矩阵

3．设n阶矩阵A,B和C满足ABACE，则（ A ）。 （A）ATBTATCTE （B）A2B2A2C2E （C）BA2CE （D）CA2BE 4. 设1,0,0,12，AET,BE2T,则AB=( B ) 2(A) ET (B) E (C) E (D) 0

得分 二、计算与证明题 (每小题20分，共80分)

1．已知A1211，试求与A可交换的所有二阶矩阵X 

1

）。

12. 已知A1000101, 0nn2(1)证明：n3时，AA(2)求A100.

AE

2

2

3. 已知矩阵,,试作初等变换把A化成B,并用

初等矩阵表示从A到B的变换. a11解：Aa21a31a13c1c3a23a331设Q100a12a22a32a13a11c3c2a23a21a33a31a11a21Ba310Q201010100a12a13a22a23a32a33a13a23a33a12a13a22a23a32a33011001

所以，AQ1Q2B4．已知矩阵,试作初等行变换,把分块矩阵化3

成,其中E是单位矩阵,B是当左块A化成E时,右块E所变

成的矩阵;并计算矩阵的乘积AB与BA. 1解：2121332410021301001031400101r（r212）r（r311）001011226500111123134121012131101011500 10010131r2r100100r（r231）r（r133）r（r122）01r23r3r（31）10001432则B6511101014 30011ABBA00

第二章 行列式与矩阵求逆作业答案

班级： 姓名： 学号 ： 得分：

得分 一．计算下列行列式：(每题10分,共30分) 4

a10a2b300b2a30b100a41. 已知4阶行列式D400b4，

求D4的值． 解：

2. 计算n阶行列式

1111n11n11n1 11 Dn1n5

3. 计算5阶行列式

001x112x121x213x221x300x321x40 0x42 D51106

得分 7

二．计算题：(每题15分,共60分)

2x011y， 2221. 已知3阶行列式D31z且M11M13M330, M31M21M132

M13MM321,

其中Mij是D3中元素aij的余之式，求D3的值．

8

30273420202022. 求4阶行列式D4205中第4行各元素余之式之和．

133. 设A002400002400 , 则求A1． 35

9

34014. 若A123226a0可逆，则求a的值． 1121

10

得分 x1x2x30三．（10分）问、取何值时，齐次方程组x1x2x30

x2xx0231有非零解？ 解：设D1111r3r2r2r1011001111101（1）0

当0或1，齐次线性方程组有非零解。

第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩作业答案

班级： 姓名： 学号 ： 得分：

得分 一．判断题.(每小题5分，共40分)

(1)若向量组α1,α2,,αn的秩为r，则其中任意r个向量都线性无关；（х） (2)若向量组α1,α2,,αn的秩为r，则其中任意r1个向量都线性相关；（√）

(3)若两个向量组等价，则它们含有相同个数的向量； （х） (4)若向量组α1,α2,,αr线性无关，且α则向量组α1,α2,,αr,αr1r1可以由α1,α2,,αr线性表示，

也线性无关； （х）

(5)如果当a1a2ar0时，有a1α1a2α2arαr0，那么α1,α2,,αr线性无关； （х） (6)设α1,α2,,αn为任意向量组，则每一个αi都是α1,α2,,αn的线性组合； （√）

11

(7)若向量组α1,α2,,αn线性相关，则它的任意一部分也线性相关； （х）

(8)若向量组α1,α2,,αn线性无关，则其中每一个向量αi都不是其余向量 的线性组合. （√)

得分 二．填空题.(每小题4分，共12分)

1. 设向量组1[a,0,c]T,2[b,c,0]T,3[0,a,b]T线性无关,则

a,b,c必满足关系式abc0.

122.已知A1223aa2a2的秩为2, 则a应满足_a=3或a=-1___. 2113.若A为n阶可逆矩阵时, 则秩(A*)=_n____, 秩((A*)*)=__n___; 若A为不可逆矩阵时, 则秩(A*)=__1___或___0___, 秩((A*)*)=__0___ (其中A*表示A的伴随矩阵).

得分 三．计算题 (第一小题20分，第二小题28分，共48分) ．

1.已知 1[1,1,1,2],T2[1,3,5,8],T3[6,2,6,p],T4[2,4,5,9]T

根据p的不同值, 求向量组1,2,3,4的极大无关组．

12

2.设1,2,3,4线性无关, 若

1p12p3,3123,21t2(t1)3,

问p,t为何值时, 1,2,3线性无关? p,t为何值时, 1,2,3线性相关?

13

第四章 向量空间作业答案

班级： 姓名： 学号 ： 得分：

得分 一．（每题15分，共30分）证明以下两向量组是向量空间R3的两个基：

2(1) α1(1,2,1)T，α(2,3,3)，αTT3(3,7,1)； (1,1,6).

TT（2）β1(3,1,4)T，β证明

121314521233116037012(5,2,1)，β3

 1,2,3线性无关1,2,3线性无关即为向量空间R3的两个基

得分 二．(20分) 设 V1x(x1,x2,,xn)x1,x2,,xnR,x1x2xn0,V2x(x1,x2,,xn)x1,x2,,xnR,x1x2xn2，

分析V1,V2是不是向量空间？为什么？

解：x,yV1,有xy＝（x1y1,x2y2,,xnyn) 且x1y1x2y2xnyn0

14

xyV1

kx＝（kx1,kx2,,kxn)且kx1kx2kxn0 xV1,kR有：kxV1,V1是向量空间x,yV2,有xy＝（x1y1,x2y2,,xnyn)

且x1y1x2y2xnyn4 xyV2， V2不是向量空间

得分

三．(25分) 已知(1,2,0,3)T，(0,1,4,1)T是R4中二个线性无关的向量，试将这二个向量扩充为R4的一组基.

12解：A034014100100001则R的一组基：1（1，2，0，3）2（0，1，4，1）3（0，0，1，0）4（0，0，0，1）TTTT

得分 四. (25分) 验证α1(1,1,0)T，α2(2,1,3)T，

α3(3,1,2)TT为R3的一个基，并把β1(5,0,7)，

15

Tβ2(9,8,13)分别用这个基线性表示.

证明：由于dimR33 只需证1，2，3线性无关 设：A1，2，3, 则A0

1，2，3是R3的一个基

解：设A1，2，3，B1，2xx则11121，21，2，3x21x22x31x32123591AB11108003271305910012303451701000624001161911991233232943192。233

16

235934517327131623991943991323

第五章 线性方程组作业答案

班级： 姓名： 学号 ： 得分：

得分 一、填空题 (每小题5分，共20分)

1.设A是4×5矩阵, 秩(A)=2,B是5×4矩阵, B的列向量是AX0的解, 则秩(B)的最大数为__3____. 2. 若线性方程组

a1x1x2x2x3a2 xxa343xx4a41有解, 则常数a1,a2,a3,a4应满足条件a1a2a3a40.

3. 设1,2是4元线性非齐次方程组AX的两个不同的解, 秩(A)=3,则方程组的通解k(12)2，k为任意数. 4. 已知方程组

x1x2x312x1x23x3p qx2x6x3231有解, 且导出组基础解系有一个向量, 则p,q所满足的条件是p0且q1.

得分 二、选择题 (每小题5分，共20分)

1. 设A是5×4矩阵,A1,2,3,4, 已知

17

10,2,0,4,23,2,5,4是AX0的基础解系,则( D ). (A) 1,3线性无关 (B) 2,4线性无关 (C) 1不能被3,4线性表示 (D) 4能被2,3线性表示 2. 设A是5×4矩阵,若AX有解, 1,2是其两个特解,导出AX0的基础解系是1,2,则不正确的结论是( D ). (A) AX的通解是k11k221 (B) AX的通解是k112k22TT122

(C) AX的通解是k112k212212 (D) AX的通解是k11k2212

3.设1,2,3是四元非齐次线性方程组AXb的三个解向量,且秩

rA3,1(1,2,3,4),23(0,1,2,3),C表示任意常数,则线性

TT方程组AXb的通解是( C ).

11102121(A) (B)CC 3132414312132324(C)C (D)C

343545464.设1,2,3是三元线性方程组AX的三个线性无关的解,秩rA1,则不正确的结论是( C ).

18

(A) AX的通解是k11k22k33,其中k1,k2,k3是满足

k1k2k31的任何数

(B) AX0的通解是k11k22k33,其中k1,k2,k3是满足

k1k2k30的任何数

(C) 1,23是AX0的基础解系 (D) 12,23是AX0的基础解系

得分 三、计算题 (每小题30分，共60分)

x1x22x33x402x1x26x34x40 3x2xpxqx023412xxx40121. 讨论p,q取何值时, 方程组

有非零解?并求基础解系.

19

2. 已知线性方程组

x1x2x30ax1bx2cx30 a2xb2xc2x0123(1) a,b,c满足何种关系时, 方程组仅有零解?

(2) a,b,c满足何种关系时,方程组有无穷多组解?并用基础解系表示全部

20

21

22

第六章 矩阵特征值与特征向量作业答案

班级： 姓名： 学号 ： 得分：

得分 一、填空题 (每小题5分，共20分)

16227的特征值是1, 1, -2, 1x1. 已知矩阵A=10y则x=_-5____, y=__10___.

2. 设五阶矩阵A的特征值是1,1,-2,0,0, 则A的特征多项式是

(1)(2).

3. 若n阶矩阵A可对角化, 且A 的特征值全是零, 则秩(A)=__0_____, 若n阶矩阵A不可对角化, 且A 的特征值全是零, 则秩(A)满足 1<秩（A）T2220,1,1是A的对应于1的2个特征向量, 则A的对应于3的所

T有特征向量是k1,

1,1.

T得分 二、选择题 (每小题5分，共20分)

1. n阶矩阵A与B相似的充要条件是( D ).

(A) A和B都可对角化 (B)E-AE-B (C) 存在可交矩阵T,使得T1ATB (D) 存在可逆矩阵P,使得AP23

TPB

T2.设A,B是n阶矩阵,且A与B相似, E为n阶单位矩阵,则( D ). (A) E-AE-B (B) A与B有相同的特征值和特征向量 (C) A与B都相似于一个对角阵 (D) 对任意常数t, tE-A与tE-B相似 3. 已知AX0X0, P 为可逆矩阵, 则( D ).

10(A) P1AP的特征值为

0,其对应的特征向量为PX0

(B) P1AP的特征值为0,其对应的特征向量为PX0 (C) P1AP的特征值为

10,其对应的特征向量为P1X0

(D) P1AP的特征值为0,其对应的特征向量为P4. n阶矩阵A可对角化的充要条件是( C ).

1X0.

(A) A有n个互不相同的特征值为1,2,n (B) A有n个互不相同的特征向量 (C) A有n个线性无关的特征向量

(D) 存在正交矩阵T,使得T1AT是对角矩阵

得分 三、计算题 (每小题30分，共60分) 1A1a

1. 设矩阵 1a1a11 1 12已知线性方程组AX有解, 但不唯一, 试求

24

(1) a的值;

(2) 可逆矩阵P, 使得P1AP为对角矩阵; (3) 正交矩阵Q, 使QTAQ为对角矩阵．

25

2. 已知 2A51xyz23 2的特征值为1,1,1． 试求x,y,z之值及A的特征向量．

26

第七章 二次型作业答案

班级： 姓名： 学号 ： 得分：

得分 1．填空：(每题10 分，共30分) (1)

f(x1,x2,x3)x12x1x23x322所对应的矩阵

是 . 0(2) 设A0101010，则以A为对应矩阵的二次型是 . 0(3) 二次型

f(x1,x2,x3,x4)x14x1x2x2222x322x426x2x3

的秩是 .

得分 2．(每题10分，共30分) 设二次型

f(x1,x2,x3)5x15x222cx322x1x26x1x36x2x3的秩为2，

（1）求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值；

（2）试用正交变换化二次型为标准形,并写出所作的正交变换； （3） 指出f(x1,x2,x3)1表示何种二次曲面.

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得分 3．(20分) 当t满足什么条件时，二次型 正定的.

f(x1,x2,x3)x1x2225x322tx1x22x1x34x2x3是

得分 4．（20分）如果A,B都是n阶正定矩阵，证明：A+B也是正定矩

阵.

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《线性代数》自测题答案

得分 一、填空题（具体要求。本大题共10空，每空4分，共40分）

1．若n阶方阵A的行列式为2,则A的伴随矩阵的行列式为 .

12.32= . 42157,C250334113. 已知3A2BC,其中A3B,则

= . 2，0）与(x,y,0)线性无关,则x与y应满4.若向量（1，足 .

5.若任意一个列向量均为齐次先性方程组Ax0的解,则

A= . TT6.设向量(1,a,0,b)与向量（1，1，1，1）和(1,1,1,1)都正

T交,则a ,b .

1117.矩阵A111的特征值为 .

11128.设A00031041与B0x002000相似,则x= . 2TTT（1,0,3,1）（,2,1,-2,0）（,-1,-1,5,1）生成的子空9．R4中由向量

间的维数为 .

29

得分 计算n阶行列式

二、 计算题（具体要求。本大题共10分）

axaaaaxaaaax.

得分 三、简答题（具体要求。本大题共2道小题，每小题6分，共12分）

1． 已知向量组1,2,3线性无关，试证明： 123,21223,312也线性无关。

30

2． 设Vx(x1,x2,x3)x1x2x30,x1,x2,x3R，试分析V是

不是向量空间，为什么？ 得分

四、简答题（具体要求。本大题共14分）

3设A0104010, (1)问A能否对角化,说明理由. 3(2)若能,试求出变换矩阵P.

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得分 五、简答题（具体要求。本大题共2道小题，每小题8分，共16分）

x12x2x32x401. 解线性方程组2x1x2x3x41

3xx2xx12341

32

2. 设非齐次线性方程组

Axb,,的三个解向量123满足

TT12(3,1,1),13(2,0,2),其中R(A)2,求Axb的

通解.

33

得分 六、证明题（具体要求。本大题共8分）

设1,2,s是非齐次线性方程组Axb的s个

解,k1,k2,ks为实数且满足k1k2ks1,证明:

xk11k22kss也是方程组Axb的解.



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