使用教材：《理论力学》
(高等教育出版社 哈尔滨工业大学 理论力学教研室主编)
第一篇 静力学 第一章 静力学基础
一、目的要求
1．深入地理解力、刚体、平衡和约束等重要概念。
2．静力学公理（或力的基本性质）是静力学的理论基础，要求深入理解。 3．明确和掌握约束的基本特征及约束反力的画法。
4．熟练而正确地对单个物体与物体系统进行受力分析，画出受力图。 5．掌握力多边形法则及平面汇交力系合成与平衡的几何条件。 二、基本内容
1．重要概念
1）平衡：物体机械运动的一种特殊状态。在静力学中，若物体相对于地面保持静止或作匀速直线平动，则称物体处于平衡。
2）刚体：在力作用下不变形的物体。刚体是静力学中的理想化力学模型。 3）约束：对非自由体的运动所加的限制条件。在刚体静力学中指限制研究对象运动的物体。约束对非自由体施加的力称为约束反力。约束反力的方向总是与约束所能阻碍的物体的运动或运动趋势的方向相反。
4）力：物体之间的相互机械作用。其作用效果可使物体的运动状态发生改变和使物体产生变形。前者称为力的运动效应或外效应，后者称为力的变形效应或内效应，理论力学只研究力的外效应。力对物体作用的效应取决于力的大小、方向、作用点这三个要素，且满足平行四边形法则，故力是定位矢量。
5）力的分类： 集中力、分布力
主动力、约束反力
6）力系：同时作用于物体上的一群力称为力系。按其作用线所在的位置，力系可以分为平面力系和空间力系，按其作用线的相互关系，力系分为共线力系、平行力系、汇交力系和任意力系等等。
7）等效力系：分别作用于同一刚体上的两组力系，如果它们对该刚体的作用效果完全相同，则此两组力系互为等效力系。
8）平衡力系：若物体在某力系作用下保持平衡，则称此力系为平衡力系。 9）力的合成与分解：若力系与一个力FR等效，则力FR称为力系的合力，而力系中的各力称为合力FR的分力。力系用其合力FR代替，称为力的合成；反之，一个力FR用其分力代替，称为力的分解。
2．静力学公理及其推论 公理1：二力平衡条件
指出了作用于刚体上最简单力系的平衡条件。对刚体而言，这个条件既必要又充分，但对非刚体而言，这个条件并不充分。
公理2：加减平衡力系公理
此公理是研究力系等效变换的依据，同样也只适用于刚体而不适用于变形体。 推论1：力的可传性
表明作用于刚体上的力是滑动矢量。 公理3：力的平行四边形法则
给出了最简单的力系的简化规律，也是较复杂力系简化的基础。另外，它也给出了将一个力分解为两个力的依据。
推论2：三力平衡条件
给出了三个不平行的共面力构成平衡力系的必要条件。当刚体受不平行的三力作用处于平衡时，常利用这个关系确定未知力的作用线方位
推论3：力的三角形法则——用几何法求两个共点力的合力 推论4：作用和反作用定律
揭示了物体之间相互作用力的定量关系，它是分析物体间受力关系时必须遵循的原则，也为研究多个物体组成的物体系统问题提供了基础。
公理5：刚化原理
阐明了变形体抽象为刚体模型的条件，并指出刚体平衡的必要和充分条件只是变形体平衡的必要条件。
3．工程中常见的约束类型及其反力的画法。
1）光滑接触面：其约束反力沿接触点的公法线，指向被约束物体。 2）光滑圆柱、铰链和颈轴承：其约束反力位于垂直于销钉轴线的平面内，经过轴心，通常用过轴心的两个大小未知的正交分力表示。
3）固定铰支座：其约束反力与光滑圆柱铰链相同。
4）活动铰支座：与光滑接触面类似。其约束反力垂直于光滑支承面。 5）光滑球铰链：其约束反力过球心，通常用空间的三个正交分力表示。 6）止推轴承：其约束反力常用空间的三个正交分力表示。
7）二力体：所受两个约束反力必沿两力作用点连线且等值、反向。 8）柔软不可伸长的绳索：其约束反力为沿柔索方向的一个拉力，该力背离被约束物体。
9）固定端约束：其约束反力在平面情况下，通常用两正交分力和一个力偶表示；在空间情况下，通常用空间的三个正交分力和空间的三个正交分力偶表示。
4．受力分析及画受力图
正确地进行物体的受力分析并画其受力图，是分析、解决力学问题的基础。画受力图时必须注意以下几点：
① 明确研究对象。根据求解需要，可以取单个物体为研究对象，也可以取由几个物体组成的系统为研究对象。不同的研究对象的受力图是不同的。
② 正确确定研究对象受力的数目。由于力是物体间相互的机械作用，因此，对每一个力都应明确它是哪一个施力物体施加给研究对象的，决不能凭空产生。同时，也不可漏掉某个力。一般可先画主动力，再画约束反力。凡是研究对象与外界接触的地方，都一定存在约束反力。
③ 正确画出约束反力。一个物体往往同时受到几个约束的作用，这时应分别根据每个约束本身的特性来确定其约束反力的方向，而不能凭主观臆测。
④ 当分析两物体间相互作用时，应遵循作用、反作用关系。若作用力的方向一经假定，则反作用力的方向应与之相反。当画整个系统的受力图时，由于内力成对出现，组成平衡力系。因此不必画出，只需画出全部外力。
三、重点和难点
重点：1.力、刚体、平衡和约束等概念。 2.静力学公理及其推论。
3.柔性约束、光滑支承面约束、光滑铰链约束的特征及其反力的画法。 4.单个物体及物体系统的受力分析。
难点：光滑铰链的约束特征（尤其是销钉连接二个以上的构件即复合铰），
物体系统的受力分析，平面汇交力系（多个力）合成与平衡的几何法。
四、教学建议
1．教学提示
① 本章讲述概念较多，要讲清这些概念的定义，并理解其意义。例如： 属于力的：力系、等效力系、合力、分力、平衡力系、主动力、约束反力、作用力、反作用力、内力、外力等。
属于物体的：变形体、弹性体、刚体、自由体、非自由体等。
属于数学的：代数量、矢量（向量）、单位矢量、定位矢量、滑动矢量等。 ② 静力学公理是最普遍、最基本的客观规律，是静力学基础，要讲透。并使学生深入理解和熟记这五条公理与四个推论。
③ 多举例题讲清楚约束反力的确定方法和受力图的正确画法。
④ 鼓励使用多媒体教学，学生可以在理论力学精品课程网上观看电教片及相关课件。如《力学在机械工程中的应用》《力学在土木工程中的应用》《约束及物体的受力分析》等。
2．作业布置
习题：1-2 1-3（c） （g） （h） 1-4（a） （e） （f） （h） （j） 1-5（a） （b） （f） （g）
第二章 平面力系
一、目的要求
1．能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影，对合力投影定理及力对点之矩应有清晰的理解，并能熟练地计算。
2．深入理解力偶和力偶矩的概念，明确平面力偶的性质和平面力偶的等效条件。
3．掌握平面任意力系向一点简化的方法，会应用解析法求主矢和主矩，熟知平面任意力系简化的结果。
4．深入理解平面力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。
5．能熟练地计算在平面任意力系作用下物体和物体系统的平衡问题。 6．正确理解静定与静不定的概念，会判断物体系统是否静定。 二、基本内容
1．基本概念
1）力在坐标轴上的投影为 X=Fcos
式中为力F与x轴间的夹角，投影值为代数量。 力沿坐标轴分解满足力的平行四边形法则，其分力大小为
因此，在直角坐标系下有X=Fx Y=Fy 2）平面力的解析表达式为
F=Xi+Yj
3）合力投影定理：合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。如 FRx=ΣX，FRy=ΣY。
4）平面内的力对点O之矩是代数量，记为Mo(F)
其中F为力的大小，h为力臂，ABO为力矢AB与矩心O组成三角形的面积。一般以逆时针转向为正，反之为负。
力矩的解析表达式为：5）合力矩定理：6）力偶和力偶矩：
力偶是由等值、反向、不共线的两个平行力组成的特殊力系。力偶没有合力，也不能用一个力来平衡。
力偶对物体的作用效应决定于力偶矩M的大小和转向，即
M=±Fd
式中正负号表示力偶的转向，一般以逆时针转向为正，反之为负。 力偶在任一轴上的投影等于零，它对平面内任一点的矩等于力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。
7）同平面内力偶的等效定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则彼此等效。力偶矩是力偶作用效果的唯一度量。
8）力线平移定理 9）主矢和主矩
主矢：平面力系各力的矢量和，即
主矩：平面力系中各力对于任选简化中心之矩的代数和，即
一个力系的主矢与简化中心的选取无关；一般情况下，主矩与简化中心的选取有关。
10）静定和静不定问题 2．平面力系的简化 步骤如下：
①选取简化中心O：题目指定点或自选点（一般选在多个力交点上） ②建立直角坐标系Oxy ③求主矢：
其中为FR与x轴所夹锐
角，所在象限由ΣX、ΣY符号确定，并画在简化中心O上。
④求主矩：⑤简化结果讨论 a. 若
：平面力系与一力偶等效，此力偶为平面力系的合力
逆正顺负，画在图中
偶，其力偶矩用主矩Mo度量，这时主矩与简化中心的选择无关。
b. 若且有FR=FR。
c. 若
：平面力系等效于作用线过简化中心的一个合力FR，：平面力系简化结果为一合力FR，其大小、方向与主
矢相同，作用线在距简化中心O为
d.
处。
，则该力系为平衡力系。
3．平面力系的平衡条件和平衡方程
平面力系平衡的充分必要条件是该力系的主矢和对作用面内任意一点的主矩同时为零。其解析表达式有三种形式，称为平衡方程。
1）基本形式
2）二矩式
3）三矩式
附加条件为：A、B两点连线不垂直于x轴
特殊力系的平衡方程 1）共线力系：
附加条件为：A、B、C三点不共线
2）平面汇交力系：3）平面力偶系：
4）平面平行力系： 4．平面力系平衡方程的应用
应用平衡方程式求解平衡问题的方法称为解析法。它是求解平衡问题的主要
方法。这种解题方法包含以下步骤：
①根据求解的问题，恰当的选取研究对象：所谓研究对象，是指为了解决问题而选择的分析主体。选取研究对象的原则是，要使所取物体上既包含已知条件，又包含待求的未知量。
②对选取的研究对象进行受力分析，正确地画出受力图：在正确画出研究对象受力图的基础上，应注意适当地运用简单力系的平衡条件如二力平衡、三力平衡汇交定理、力偶等效定理等确定未知反力的方位，以简化求解过程。
③建立平衡方程式，求解未知量：为顺利地建立平衡方程式求解未知量，应注意如下几点：
(a)根据所研究的力系选择平衡方程式的类别（如汇交力系、平行力系、任意力系等）和形式（如基本式、二矩式、三矩式等等）。
(b)建立投影方程时，投影轴的选取原则上是任意的，并非一定取水平或铅垂方向，应根据具体问题从解题方便入手去考虑。
c)建立力矩方程时，矩心的选取也应从解题方便的角度加以考虑。
d)求解未知量。由于所列平衡方程一般是一组线性方程组，这说明一个静力学题经过上述力学分析后将归结于一个线性方程组的求解问题。从理论上讲，只要所建立的平衡方程组具有完整的定解条件（独立方程个数和未知量个数相等），则求解并不困难，若要解的方程组相互联立，则计算（指手算）耗时费力。为免去这种麻烦，就要求在列平衡方程式时要运用一些技巧，尽可能做到每个方程只含有一个（或较少）的未知量，以便手算求解。 三、重点和难点
重点：力在坐标轴上的投影、合力投影定理、平面汇交力系的平衡条件及求
解平衡问题的解析法、力对点之矩的计算、力偶矩的概念、平面力偶性质和力偶等效条件。平面任意力系向作用面内任一点的简化及力系的简化结果。平面任意力系平衡的解析条件及平衡方程的各种形式。物体及物体系平衡问题的解法。
难点：1、主矢与主矩的概念。
2、利用特殊力系的特点画出某些约束反力，选择恰当的平衡方程求
解未知量。
3、物体系平衡问题中正确选取研究对象及平衡方程。 四、教学建议
1．教学提示
①讲清用三力平衡汇交定理、力偶等效性质确定未知约束反力方向应注意的
问题。
②讲清力在坐标轴上的投影与力沿坐标轴分解是两个不同概念，对比其联系与区别。
③强调力偶是力学的基本元素之一，并将力和力偶从要素、定量描述、在轴上的投影、对点的矩、等效条件、性质等方面进行比较，加深理解，讲清力偶矩与力矩的异同点。
④对平面力系的简化方法及简化结果应阐述透彻。特别指出：主矢和主矩是在对一个力系进行简化时，为了准确描述力系的特征而引入的重要概念。主矢不是合力，合力有大小，方向与作用点三个要素，而主矢只具有大小和方向两个特征，力系的主矢与简化中心无关。一般而言，主矩的大小、转向与简化中心的选取有关，但是在主矢为零的情况下，主矩与简化中心无关。注意对不同的简化中心的简化结果表面上看互不相同，但它们互为等效力系。
⑤对物体系统平衡问题中如何选取恰当的研究对象和平衡方程，应通过典型例题着重讲解，并引导学生进行归纳总结。特别指出如下要点：
其一，求解物系的平衡问题的关键在于选取研究对象，它需要一定的分析判断能力，也需要经验的积累。在选取研究对象时，有两种极端情况：（a）只选取整体为研究对象，在此要注意受力图中只画外力，不画内力，本质问题是由外力构成的力系平衡问题，因此，无法求解系统内力，且当未知数多于三个时，也无法求解全部未知量；(b)将系统中所有刚体相互隔离，取每个刚体单独作为研究对象，由于是静定问题，则全部内外反力借助全部的平衡方程均可解出，虽思路简单，但由于求出多个不需求的未知力，使求解工作量增加，且过程繁琐。因此，一般而言，应根据题目的具体要求，灵活选取研究对象，尽量以最少的研究对象求解系统的平衡问题。
其二：在开始求解平衡方程时，如果独立平衡方程式的个数少于未知量的个数，可能出现两种情况：(a)该问题是静不定问题；(b)该问题为刚体系统的平衡问题，需再次选择研究对象。应注意的是，此种情形下，虽然不能依据这些平衡方程式求出全部未知量，但有可能求出其中的一个或两个未知量。
⑥适当介绍有关结构分析软件，初步培养学生力学建模和解决复杂物系平衡问题的能力。
2．观看精品课程网上名师教学录象及教学模型。 3．作业布置
习题2-1、2-3、2-6、2-9、2-10、2-14、2-18、2-23、2-26、2-27、2-30、2-31、2-32。
第三章 空间力系
一、目的和要求
1、能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影。 2、熟练掌握力对点之矩与力对轴之矩的计算。 3、对空间力偶的性质及其作用效应有清晰的理解。
4、了解空间力系向一点简化的方法，明确空间力系合成的四种结果。 5、能正确地画出各种常见空间的约束反力。
6、会应用各种形式的空间力系平衡方程求解简单空间平衡问题。
7、对平行力系中心和重心应有清晰的概念，能熟练地应用坐标公式求物体的重心。 二、基本内容
1．基本概念
1）力在空间直角坐标轴的投影
(a)直接投影法：已知力F和直角坐标轴夹角α、β、，则力F在三个轴上的投影分别为
(b)间接投影法（即二次投影法）：已知力F和夹角、，则力F在三个轴上的投影分别为
2)力矩的计算 (a)力对点之矩
在空间情况下力对点之矩为一个定位矢量，其定义为
其中r为力F作用点的位置矢径 (b)力对轴之矩
在空间情况下力对轴之矩为一代数量，其大小等于此力在垂直于该轴的平面上的投影对该轴与此平面的交点之矩，其正负号按右手螺旋法则来确定，即
在直角坐标条下有
Mx(F)=yZ-zY My(F)=zX-xZ Mz(F)=xY-yX （c）力矩关系定理
力对已知点之矩在通过该点的任意轴上的投影等于同一力对该轴之矩。 在直角坐标系下有
Mo(F)=Mx(F)i+My(F)j+Mz(F)k
（d）合力矩定理
空间力系的合力对任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的矢量和，即
Mo(FR)=ΣMo(F)
空间力系的合力对任一轴（例如z轴）之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代数和，即
Mz(FR)=ΣMz(F)=Σ(xY-yX)
3）空间力偶及其等效条件 （a）力偶矩矢
空间力偶对刚体的作用效果决定于三个要素（力偶矩大小、力偶作用面方位及力偶的转向），它可用力偶矩矢M表示。力偶矩矢M是个自由矢量，其大小等于力与力偶臂的乘积，方向与力偶作用面垂直，指向与力偶转向的关系服从右手螺旋法则。
（b）力偶的等效条件：若两个力偶的力偶矩矢相等，则它们彼此等效。 2．空间力系的简化与合成的最终结果 1）空间力系向已知点O简化
空间力系向已知点O简化的一般结果为一个作用在O点的力和一个力偶，该力矢量等于此力系的主矢。该力偶的力偶矩矢量等于力系对简化中心O的主矩。主矢与简化中心的选取无关。一般情况下，主矩与简化中心的选取有关。
2）空间力系合成的最终结果
空间力系的最终合成结果有四种可能：一个合力、一个合力偶、一个力螺旋和平衡，这四种结果可由力系的主矢和力系对任意一点的主矩来判断。具体归纳如下： 主 矢 FR 主 矩 Mo=0 Mo≠0 Mo=0 FR≠0 最后结果 平 衡 合力偶 合 力 说 明 此时主矩与简化中心的位置无关 合力作用线通过简化中心 合力作用线离简化中心O的距离为Mo≠0 FR⊥Mo 合 力 FR∥Mo Mo≠0 FR与Mo成角 力螺旋 力系的中心轴通过简化中心 力系的中心轴离简化中心O的距离为力螺旋 3．空间力系的平衡条件和平衡方程
空间力系平衡的充分与必要条件为：该力系的主矢和对任意点的主矩同时为零。其基本形式的平衡方程为：
ΣX=0 ΣMx(F)=0 ΣY=0 ΣMy(F)=0 ΣZ=0 ΣMz(F)=0
须指出，空间一般力系有六个独立的平衡方程可以求解六个未知量。具体应用时，不一定使3个投影轴或矩轴互相垂直，也没有必要使矩轴和投影轴重合，而可以选取适宜轴线为投影轴或矩轴，使每一个平衡方程中所含未知量最少，以简化计算。此外，还可以将投影方程用适当的力矩方程取代，得到四矩式、五矩式以至六矩式的平衡方程。使计算更为简便。
几种特殊力系的平衡方程 （a）空间汇交力系 ΣX=0 ΣY=0 ΣZ=0
（b）空间力偶系
ΣMx(F)=0 ΣMy(F)=0 ΣMz(F)=0
（c）空间平行力系（若各力//z轴）
ΣZ=0 ΣMx(F)=0 ΣMy(F)=0
（d）平面任意力系（若力系在Oxy平面内）
4．空间力系平衡方程的应用
求解空间力系平衡问题的要点归纳如下：
（1）求解空间力系的平衡问题，其解题步骤与平面力系相同，即先确定研究对象，再进行受力分析，画出受力图，最后列出平衡方程求解。但是，由于力系中各力在空间任意分布，故某些约束的类型及其反力的画法与平面力系有所不同。
（2）为简化计算，在选择投影轴与力矩轴时，注意使轴与各力的有关角度及尺寸为已知或较易求出，并尽可能使轴与大多数的未知力平行或相交，这样在计算力在坐标轴上的投影或力对轴之矩就较为方便，且使平衡方程中所含未知量较少。同时注意，空间力偶对轴之矩等于力偶矩矢在该轴上的投影。
（3）根据题目特点，可选用不同形式的平衡方程。所选投影轴不必相互垂直，也不必与矩轴重合。当用力矩方程取代投影方程时，必须附加相应条件以确保方程的独立性。但由于这些附加条件比较复杂，故具体应用时，只要所建立的一组平衡方程，能解出全部未知量，则说明这组平衡方程是彼此独立的，已满足了附加条件。
（4）求解空间力系平衡问题，有时采用将该力系向三个正交的坐标平面投影的方法，把空间力系的平衡问题转化为平面问题求解。这时必须注意正确确定各力在投影面中投影的大小、方向及作用点的位置。
5．平行力系中心及物体的重心 1）平行力系中心
只要平行力系中各力的大小及作用点的位置确定，无论平衡力系中力的方向如何，其合力作用线必定通过确定的一点，该点称为平行力系中心。其坐标公式为
2）物体的重心
物体的重心是该重力的合力始终通过的一点。均质物体的重心与中心重合。物体的重心在物体内占有确定的位置，与物体在空间的位置无关。物体重心的坐标公式为
三、重点和难点
重点：1．力在空间直角坐标轴上的两种投影法；
2．力对轴之矩和力对点之矩的计算及力矩关系定理；
3．空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡方程及其应用；
4．各种常见的空间约束及约束反力画法； 5．重心的坐标公式。
难点：1．力在坐标轴上的二次投影；
2．空间力偶矩矢在坐标轴上的投影； 3．空间结构的几何关系与立体图； 4．解空间力系平衡问题时力矩轴的选取； 5．求组合体的形心坐标。
四、教学建议
1．教学提示
①采用模型或多媒体课件讲解建立空间概念。
②计算空间力在坐标轴上的投影有两种方法，讲清各自的适用条件，区分力的轴上、平面上的投影。
③明确空间力偶矩矢的性质，为什么规定它为自由矢量、如何表示其等效条件，熟悉空间力偶系合成的解析法。
④力对点之矩是理解空间力系简化与合成的关键，而力对轴之矩是正确列出力矩式平衡方程的基础，故要充分重视力对轴之矩的计算。计算的方法有4种：（a）当力臂便于确定时，可直接由定义计算；（b）一般情况下，常将力沿坐标轴分解，应用合力矩定理计算；（c）将力沿坐标轴分解之后代入力对轴之矩的分析表达式计算；（d）利用力矩关系定理计算。在计算力对轴之矩时准确地分析一个力对某轴之矩的正、负或为零也很重要（若一力与某轴共面，则此力对该轴之矩为零）。
⑤通过与平面任意力系对照和比较的方法，来理解空间任意力系向一点简化的方法、主矢和主矩的概念，简化结果、平衡条件及平衡方程，重点介绍力矩轴与投影轴选取原则与方法，简单系统的空间平衡问题。
⑥在计算重心坐标时要讲清坐标选取原则，利用对称均质物体的对称性求重心，对组合法求重心要求熟练应用，积分法、查表法、实验法等只作一般介绍。
2．作业布置
习题3-1 3-2 3-4 3-5 3-7 3- 8 3-9 3-12 3-15 3-16 3-18 3-20
一、目的要求第四章
刚体静力学专门问题
1．理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法及其综合作用。
2．牢固掌握滑动摩擦的性质，深刻理解库仑摩擦定律的内涵，熟练求解考虑滑动摩擦时的平衡问题（解析法、几何法）。了解全反力、摩擦角、自锁等概念，了解滚动摩擦现象。 二、基本内容
1．平面简单桁架内力的计算
1）桁架：是由若干直杆在端点用铰连接而成的几何形状不变的结构。若所有杆件都在同一平面内称其为平面桁架。
2）在工程中的桁架满足四点假设。称其为理想桁架，这样桁架的各杆都可以称为两端受力作用的二力杆件。
3）桁架的坚固性条件和静定条件：2n=m+3 4）求平面静定桁架各杆内力的两种方法。
①节点法：逐个考虑桁架中所有节点的平衡，应用平面汇交力系的平衡方程求出各杆的内力。
②截面法：截断待求内力的杆件，将桁架截断为两部分，取其中的一部分为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截断各杆件的内力。
2．摩擦
1）摩擦现象：按照接触物体之间可能会相对滑动或相对滚动，可分为滑动
摩擦和滚动摩擦。
2）库仑摩擦定律：
①滑动摩擦力是在两个物体相互接触的表面之间有相对滑动趋势或有相对滑动时出现的切向阻力。前者称为静滑动摩擦力，后者称为动滑动摩擦力。
②静摩擦力的方向与接触面间相对滑动趋势的方向相反，它的大小随主动力改变，应根据平衡方程确定。静摩擦力Fs变化的范围在零与最大值Fmax之间，即
0≤Fs≤Fmax
当物体处于平衡的临界状态时，静摩擦力达到最大值Fmax，其大小由库仑静摩擦定律决定，即
Fmax=fsFN
fs称为静滑动摩擦因数，与接触面的性质有关，用实验方法测定。
当物体发生滑动时的摩擦力称为动滑动摩擦力，其方向与相对运动方向相反，大小为
Fd=fFN
其中f称为动滑摩擦因数，一般有f 摩擦角为全约束反力与法线间夹角的最大值，且有 tan=fs 当作用于物体的主动力的合力的作用线与支承面的法线所夹的锐角小于摩擦角时，无论这个力有多大，物体总能保持平衡状态的现象。称为自锁。即自锁现象发生时总有 0≤≤ 其中： ④滚动摩阻力偶与滚动摩阻系数 两个相互接触的物体有相对滚动或滚动趋势时，支承面给物体的作用中除了可能存在的摩擦力F之外，还有一个阻碍滚动的力偶M作用于物体，该力偶称为滚动摩阻力偶。其方向与相对滚动趋势相反，大小由平衡条件决定，并且有 0≤M≤Mmax 其中Mmax= FN为滚动摩阻力偶的最大值， 称为滚动摩阻系数，具有长度量纲。三、重点和难点 重点：1．会用节点法，截面法求解平面静定桁架的内力 2．滑动摩擦力和临界滑动摩擦力，滑动摩擦定律。 3．考虑滑动摩擦时物体的平衡问题的求解方法。 难点：正确区分不同类型的含摩擦平衡问题；正确判断摩擦力的方向及正确 应用库仑摩擦定律。 四、教学建议 1．教学提示 ①简单桁架的内力计算实际上是平衡方程的工程应用，当桁架结构比较复杂，杆件总数和节点数都比较大的情形下，则无论采用节点法或截面法，计算量都可能较大。若采用计算机分析方法，则会简单得多。目前一些工程力学应用软件中，都包含有分析静定和超静定桁架内力的程序。可引导学生从简单的桁架入手，研究怎样将桁架各杆和节点处的受力写成矩阵的形式，编写计算程序求解。观看电教片《桁架》。 ②讲清摩擦力与运动状态之间的关系，通过实例说明物体处于不同状态下摩 擦力的大小和方向的确定方法。 ③滑动摩擦和滚动摩擦都是接触面对物体的约束作用。滑动摩擦显示为一个力，滚动摩擦则显示为一个力偶，二者性质不同。一般有滚动摩擦的场合，总会有滑动摩擦存在，但是，不一定是最大值，对又滑又滚的临界平衡问题，两者都是最大值，而只滚不滑（纯滚动）的情况，一般仅滚动摩阻力偶矩达到最大值。 ④通过例题总结考虑含摩擦平衡问题的类型题及解题要点，值得强调，在分析求解考虑摩擦的平衡问题时，首先需要对物体所处的状态作出判断，其次是要判断物体的运动趋势，以便正确分析摩擦力和滚动摩阻力偶。物体平衡时，既要满足平衡条件又要满足接触面的物理性质给出的限制条件。要注意只有物体处于临界平衡状态时才能使用关系式 Fmax=fsFN Mmax= FN 有时利用几何平衡条件和摩擦角的概念求解考虑摩擦的平衡问题（夹具或机构的自锁等）较为方便，此时三力平衡汇交定理和二力构件的概念十分有用 2．作业布置 习题 4-1 4-3 4-5 4-6 4-8 4-10 4-13 4-15 4-18 4-20 4 –21 4-23 4-25 第二篇 运动学 第五章 运动学基础 一、目的要求 1．能用矢量法建立点的运动方程，求点的速度和加速度。 2．能熟练地应用直角坐标法建立点的运动方程，求点的轨迹、速度和加速度。 3．能熟练地应用自然法求点在平面上作曲线运动时的运动方程、速度和加速度，并正确理解切向加速度和法向加速度的物理意义。 4．明确刚体平行移动（平动）和刚体绕定轴转动的特征，能正确地判断作平动的刚体和定轴转动的刚体。 5．对刚体定轴转动时的转动方程、角速度和角加速度及它们之间的关系要清晰的理解，熟知匀速和匀变速转动的定义与公式。 6．能熟练地计算定轴转动刚体上任一点的速度和加速度。 7．掌握传动比的概念及其公式的应用。 8．对角速度矢、角加速度矢以及用矢积表示定轴转动刚体上任一点的速度和加速度有初步了解。 二、基本内容 1．点的运动矢量表示法，直角坐标表示法，自然法表示法。 （1）基本概念 在已有物理知识的基础上，重点强调切向和加速度，法向加速度与密切面的概念。 （2）主要公式 2．刚体的平动；刚体绕定轴转动；转动刚体内各点的速度和加速度；轮系的转动比；以矢量表示角速度和角加速度，以矢积表示点的速度和加速度。 （1）基本概念 刚体平动与定轴转动的定义，刚体在作这两种运动时刚体上各点速度、加速度的分布规律。 （2）主要公式 平动刚体上，任意两点之间均有 ， 定轴转动刚体上任一点的速度和加速度为 ，，，， 以矢积表示的刚体上一点的速度与加速度为 三、重点和难点 1．重点 （1）点的曲线运动的直角坐标法，点的运动方程，点的速度和加速度在直角坐标轴上的投影。 （2）点的曲线运动的自然法（以在平面内运动为主），点沿已知轨迹的运动方程，点的切向加速度和法向加速度。 （3）刚体平动及其运动特征。 （4）刚体的定轴转动，转动方程，角速度与角加速度。 （5）转动刚体内各点的速度与加速度。 2．难点： （1）自然轴系的几何概念，速度与加速度在自然轴上投影的推导。 （2）用矢积表示刚体上任一点的速度与加速度。 四、教学提示 1．建议 （1）在已有物理学的相关知识基础上，引导学生理解，消化并熟练掌握点的运动方程、点沿空间任意曲线运动速度、加速度等新知识。 （2）讲清基本概念，区分点的路程和位移、平均速度与瞬时速度、平均加速度和瞬时 加速度、与，与等概念。 （3）对描述点的运动学的三种方法加以总结，比较它们的联系及如何应用，介绍点的运动学的问题的大致类型及求解时有关的注意事项。 （4）对刚体平动强调“三相同”。 （5）对刚体绕定轴转动的特征及其上点的速度，加速度分布规律要讲透，让学生熟练掌握已知刚体转动规律会求其上一点的运动规律，反之，已知转动刚体上一点的运动规律要会求其上各点的运动规律及整体的转动规律。 （6）对轮系传动比作一般介绍。 （7）对推导公式用。 2．例题 （1）一个可以分别用直角坐标法与自然法均可求解的例题（第一类问题）。 （2）一个已知加速度求运动的例子（第二类问题）。 （3）一个已知直角坐标的运动方程，求自然法中轨迹曲率半径的例子。 (4) 平动与转动刚体各举一个通用类型的例题即可。 3．作业 教材：5-1，5-3，5-6，5-7，5-9, 5-10，5-12，5-14，5-15，5-16 ， 方向的确定要介绍练习，对速度和加速度用矢积表示只作一般介绍以供 第六章 点的合成运动 一、目的要求 1．深刻理解三种运动、三种速度和三种加速度的定义、运动的合成与分解以及运动相对性的概念。 2．对具体问题能够恰当地选择动点、动系和定系进行运动轨迹、速度和加速度分析，能正确计算科氏加速度的大小并确定它的方向。 3．会推导速度合成定理、牵连运动为平动时点的加速度合成定理，理解并掌握牵连运动为转动时点的加速度合成定理。并能熟练地应用上述三个定理。 二、基本内容 1．基本概念 点的合成运动的概念；绝对运动、相对运动、牵连运动，以及由此引出的绝对速度、相对速度、牵连速度和绝对加速度、相对加速度、牵连加速度、科氏加速度的概念；点的速度合成定理和加速度合成定理。 2．基本公式 速度合成定理：加速度合成定理： （牵连运动为平动） （牵连运动为转动） 三、重点和难点 1．重点 （1）动点和动系的选择； （2）运动的合成与分解； （3）速度合成定理和加速度合成定理的应用和计算。 2．难点 （1）动点和动系的选择； （2）加速度合成定理的运用与计算； （3）牵连速度、牵连加速度及科氏加速度的概念。 四、教学提示 1．建议 （1）讲清动点、动系的选取原则，通过举例归纳常见机构动点、动系的选取方法。 （2）强化牵连点的概念，熟练掌握牵连速度、牵连加速度的计算。 （3）举例阐明速度合成定理的应用和解题步骤（多用几何法）。 （4）讲清如何用解析法求解加速度合成问题，强调科氏加速度产生的原因与计算（多用投影法）。 2．例题 速度分析可按六种类型举例，即有一个指定动点、有一个运动连接点，有一个固定不 变的接触点，没有一个固定不变的接触点，两个互不关联的物体，双动系；在进行加速度分析时，重点是前4类，特别是要注意科氏加速度的分析。 3．作业 教材：6-2，6-3，6-5，6-9，6-10，6-12，6-14，6-21，6-22 第七章 刚体的平面运动 一、目的要求 1．明确刚体平面运动的特征，掌握研究平面运动的方法（运动的合成与分解），能够正确地判断机构中作平面运动的刚体。 2．能熟练地应用各种方法——基点法、瞬心法和速度投影定理求平面图形上任一点的速度。 3．能熟练地用基点法分析平面图形内一点的加速度。 4．会求解运动学综合问题中的速度，了解求加速度。 二、基本内容 刚体平面运动的概述和运动的分解；求平面图形内各点速度的基点法（速度投影定理 ）、 和瞬心法；用基点法求平面图形内各点的加速度 ；运动学综合问题。 三、重点和难点 1．重点 （1）以运动的分解与合成为出发点，研究求平面图形上各点的速度和加速度的基点法，明确速度投影定理和瞬心法是从基点法推导而来。 （2）掌握合矢量投影定理。 2．难点： （1）速度瞬心的概念及求法； （2）转动部分的规律与基点的选取无关的概念；转动部分角速度和角加速度的求法。 （3）用基点法分析一点加速度的方法； （4）运动学综合问题。 四、教学提示 1．建议 （1）采用对比的方法，如将平面运动的分解与点的运动分解对比，瞬时平动与平动，瞬时转动与定轴转动对比，加深对基本概念的理解。 （2）在求速度时，要讲清三种方法的特点和联系以及适合求解的问题，重点放在瞬心法。 （3）对求加速度问题，要明确各项加速度的物理意义，正确判断其大小、方向，用解析法求解。 （4）运动学综合问题会求速度即可。 本章是运动学重点，要求多举例，熟练掌握。 2．例题 速度分析以杆系、轮系、杆轮结构为主，各举2～3个基点法与瞬心法求解速度的例子，加速度分析以基点法为重点，举3个例子，特别注意举1个瞬时平动时的情况，综合题以速度分析为主，举2个例题。 3．作业 教材：7-1，7-3，7-4，7-9，7-10，7-12，7-13，7-15，7-17，7-23 第三篇 动力学 第八章 质点动力学基础 一、目的要求 1．对质点动力学的基本概念（如惯性、质量等）和动力学基本定律要在物理课程的基础上进一步理解其实质。 2．深刻理解力和加速度的关系，能正确地建立质点的运动微分方程，掌握质点动力学第一类基本问题的解法。 3．掌握质点动力学第二类基本问题的解法，特别是当作用力分别为常力、时间函数、位置函数和速度函数时，质点直线运动微分方程的积分求解方法。对运动的初始条件的力学意义及其在确定质点运动中的作用有清晰的认识，并会根据题目的已知条件正确提出运动的初始条件。 二、基本内容 1．基本概念： 动力学的基本定律，质点的运动微分方程；质点动力学的两类基本问题。 2．主要公式： （1）牛顿第二定律：为 。） （2）质点运动微分方程 （式中，质点的质量为m，所受合力为 ，其加速度 1）矢径形式：或， 2）直角坐标形式：，， 3）自然坐标形式：，， 强调：动力学基本定律仅在惯性参考系中成立，因此，公式中的速度、加速度指的是绝对速度和绝对加速度。 三、重点和难点 1．重点： （1）建立质点运动微分方程。 （2）求解质点动力学的两类基本问题。 2．难点： 在质点动力学第二类问题中，根据题目所要求的问题对质点运动微分方程进行变量交换后再积分的方法。 四、教学提示 1．建议 （1）在复习物理课程有关内容的基础上，进一步理解动力学各定律的实质，了解古典力学的适用范围。 （2）复习和运用静力学中的合力投影定理与点的运动学知识，学习如何建立不同形式的质点运动微分方程。 （3）注意区分质点动力学的两类基本问题及其解题特点，归纳动力学问题的解题步骤。 2．例题 （1）质点动力学第一类基本问题：已知运动（包括可以根据已知条件求出的运动）求力，质点直线运动、曲线运动，2～3题，如：P183～184，例8-1，8-2。 （2）质点动力学第二类基本问题：已知力（常力、变力）求运动，质点直线运动，曲线运动，3～4题，如P184～187，例8-3，8-4，8-5；P190，习题8-6。 讲解例题时，强调受力分析、运动分析方法及建立和求解质点运动微分方程应注意的问题。 3．作业 第九章 质点系动力学基础 一、目的要求 1．使学生认识到质点系（刚体、刚体系）是动力学的主要力学模型，解决质点系（刚 体、刚体系）动力学问题的主要方法有三类：（1）达朗伯原理；（2）动力学基本定理；（3）动力学普遍方程和拉格朗日方程。 2．对质点系（刚体、刚体系）的质心、动量、动量矩，质点系（刚体、刚体系）对某轴的转动惯量等概念有清晰的理解，能熟练地计算质点系（刚体、刚体系）的动量，熟练地计算质点系对某定点（轴）的动量矩，根据刚体（系）的运动计算刚体（系）对某点（轴）和质心的动量矩，会用定义、平行移轴定理和组合法（分割法）计算刚体对某轴的转动惯量。 二、基本内容 1．基本概念 质点系的质心、质点系（刚体、刚体系）的动量、质点系（刚体、刚体系）对某定点（轴）和质心的动量矩、转动惯量的概念及计算。 2．主要公式 （1）质点系（刚体、刚体系）质心的计算 1）矢径形式 2）直角坐标形式 或 ， 其中 ， 为第i个质点到固定点O的矢径。 为质点系的质心到固定点O的矢径。 为第i个刚体的质心到固定点O的矢径。 mi为第i个质点的质量， 为质点系（刚体、刚体系）的质量。 （2）质点系（刚体、刚体系）动量的计算 1）矢径形式 2）投影形式 ， 注意：动量是矢量，需要时还要计算动量的方向。 （3）质点系（刚体、刚体系）对某定点（轴）及质心的动量矩的计算 1）质点系对某定点（轴）及质心的动量矩 ， ， 为质点系对质心C的动量矩。 ，z是过定点O的轴。 2）平动刚体对某定点O的动量矩 3）绕定轴转动刚体对转轴z的动量矩 4）平面运动刚体对运动平面内定点O的动量矩 分别为第i个质点的绝对速度和相对于坐标原点在质心的平动坐标系的速度， 为质点系（刚体、刚体系）质心的绝对速度，量， 分别为刚体对转轴和质心轴的转动惯 为刚体转动的角速度。 为定点O到质点系质心的矢径与质心速度的夹角，（4）转动惯量 1）定义 2）引入回转（惯性）半径 为刚体对转轴的回转半径 3）平行轴定理 为轴Z和轴Zc间的距离 4）组合法（分割法） 三、重点和难点 1．重点：质点系（刚体、刚体系）质心、动量、动量矩、转转惯量的计算。 2．难点：质点系（刚体、刚体系）对某定点（轴）动量矩的概念及计算方法。 四、教学提示 1．建议 （1）强调动量、动量矩中所用到的速度、角速度均为绝对速度、绝对角速度。 （2）通过复习力对点之矩的计算引出动量对点之矩——动量矩的概念。 （3）刚体对定点（轴）的动量矩的计算与刚体的运动有关。 2． 例题 （1）动量的计算：1）质点系动量的计算；2）不同运动刚体的动量的计算；如：P195、例9-1；P207，习题9-1；P208，习题9-10。 （2）动量矩的计算：如P205，例9-3；P207，习题9-6、9-7。 第十章 达朗伯原理 一、目的要求 1．对惯性力的概念有清晰的理解。 2．掌握质点系惯性力简化的方法，能正确地计算平动、定轴转动和平面运动刚体惯性力系的主矢和主矩，注意不同运动刚体惯性力系简化中心的选择。 3．能熟练地应用达朗伯原理求解动力学问题。 二、基本内容 1．基本概念 惯性力的概念；质点和质点系达朗伯原理；刚体惯性力系的简化；绕定轴转动刚体的轴承动反力；应用达朗伯原理推导出质点系动量定理、动量矩定理。 2．主要公式 质点系达朗伯原理： 式中 、 分别为第个质点上作用的外力矢量以及简化的惯性力。 三、重点和难点 1．重点：（1）惯性力的概念 （2）平动、定轴转动和平面运动刚体惯性力系的简化及简化结果 （3）用达朗伯原理求解动力学问题 2．难点：（1）惯性力系的简化 （2）求解杆系动力学问题时，运动学补充方程的提出。 四、教学提示 1．建议 （1）讲清惯性力的概念和刚体惯性力系的简化，熟记各种运动刚体惯性力系的简化中心（轴）及相应的简化结果，反复练习。 （2）讲清并强调用达朗伯原理（动静法）求解动力学问题的方法和步骤： 1）以整体为研究对象画出全部主动力和约束反力；2）假设系统的运动形态（各刚体质心加速度及转动的角加速度；3）根据运动虚加惯性力（偶），画在受力图上，并写出其结果；4）根据具体问题可以整体或某个构件为研究对象，用达朗伯原理（动静法），列出平衡方程；5）根据构件间的运动联系，列出运动学的补充方程；6）求解联立方程。 区分用达朗伯原理解题的方法与用静力学平衡方程求解静力学问题有何异同。 （3）由达朗伯原理推导动量（矩）定理时，讲清楚问题。 2．例题 4～5题，如P214～220，例10-1，10-2，10-3，10-5。 3．作业：P227～232 习题：10-1，10-2，10-3，10-7，10-10，10-13，10-14，10-18，10-20，10-21，10-23 第十一章 质点系动力学基本定理 一、目的要求 1．能熟练地应用质点系的动量定理、质心运动定理（包括相应的守恒定律）求解动力学问题。 2．能熟练地应用质点系的动量矩定理（包括动量矩守恒）和刚体绕定轴转动微分方程求解动力学问题。 3．会应用相对质心的动量矩定理和刚体平面运动微分方程求解动力学问题。 二、基本内容 1．内容 质点系的动量定理（质心运动定理）、动量矩定理、刚体绕定轴转动微分方程、质点系相对于质心的动量矩定理、刚体平面运动微分方程。 2．主要公式 （1）动量定理（质心运动定理） 式中，是质点系某瞬时的动量，是质点系所受外力的主矢量。 为质点系心的加速度。 （2）动量矩定理（刚体绕定轴转动微分方程，刚体平面运动微分方程） （a） 是质点系对定点O的动量矩 是外力系对O点的主矩 （b），是刚体对转轴 的转动惯量 （c） 式中 ，是平面运动刚体对质心C的转动惯量。/ 是外力系对质心C的主矩。 三、重点、难点 1．重点 质点系动量定理、质心运动定理；质点系的动量矩定理和刚体绕定轴转动微分方程。 2．难点 相对质心的动量矩定理、刚体平面运动微分方程的应用。 四、教学提示 1．建议 （1）通过举例熟练掌握微分形式的动量定理、质点系的质心运动定理的应用，讲清各自的解题特点，尤其求简单机构的约束反力。 （2）明确质心守恒的条件及应用守恒定律求解的有关问题。 （3）强调应用动量矩定理、刚体绕定轴转动微分方程解题的关键是会正确地构造出等式两端的各项，多做相应的练习。 （4）讲清楚相对于质心的动量矩定理的引出及力学意义。 （5）讲清楚如何选取研究对象建立刚体的平面运动微分方程，如何利用运动学条件加列补充方程。 2．例题：P235～251 例11-1，11-2，11-3，11-4，11-5，11-6，11-7，11-8，11-9，11-10，11-11，11-12，11- 13，11-14，11-15。 3．作业：P252～259 习题11-1，11-2，11-3，11-5，11-6，11-8，11-9，11-12，11-14，11-16，11-19，11-20，11-23，11-25，11-28，11-31，11-32。 第十二章 动能定理 一、目的要求 1．对功和功率的概念有清晰的理解，能熟练地计算重力、弹性力和力矩的功。 2．能熟练地计算平动刚体、定轴转动刚体和平面运动刚体的动能，重力和弹性力的势能。 3．熟知何种约束反力的功为零，何种内力的功之和为零。 4．能熟练地应用动能定理和机械能守恒定律解动力学问题。 5．能熟练地应用动力学基本定理解动力学的综合问题。 二、基本内容 1．基本概念 力的功；质点和质点系的动能；动能定理；功率、功率方程、机械效率；势力场、势能、机械能守恒定律；动力学基本定理的综合应用。 2．主要公式 微分形式 积分形式 具有理想约束的质点系，其动能的改变（增量或对时间的一阶导数），等于作用于质点系的主动力的元功之和；在理想的约束条件下，质点系在某一段运动过程中起点和终点的动能改变量，等于作用于质点系的主动力在这段过程中所作的功的和。 三、重点和难点 1．重点：（1）力的功和物体动能的计算。 （2）动能定理和机械能守恒定律的应用。 （3）动力学基本定理的综合问题。 2．难点：综合应用动力学基本定理求解动力学问题，运动学补充条件（方程）的提出。 四、教学提示 1．建议 （1）讲清力的功的一般形式，反复练习重力的功、弹性力的功和力矩的功的计算，搞清圆轮纯滚时摩擦力为什么不作功。 （2）在复习物理课程有关内容的基础上，熟练计算刚体系统的动能，强调动能表达式中的速度（角速度）一定用绝对速度（绝对角速度）；反复练习取整体为研究对象，用动能 定理求运动的问题；强调用动能定理的积分形式可求解任何运动问题；强调用动能定理解题是以整体为研究对象。 （3）讲清动量、动量矩定理与动能定理的异同点。通过练习，明确各定理适合求解的问题及解题特点。 （4）本章重点是动力学基本定理的综合应用，要多举各种类型的例子，把握“先求运动后求力”的解题思路，使学生熟练掌握。强调求运动，可用动能定理，求力可用动量定理（质心运动定理）或达朗伯原理。 2．例题：P265～284，例12-1，12-2，12-3，12-4，12-5，12-8，12-9，12-10。 3．作业：P285～293。 习题：例12-1，12-2，12-3，12-7，12-8，12-11，12-12，12-13，12-15，例12-16，12-20，12-22，12-24，12-26，12-29，12-30，12-32，12-35，12-37。 第十三章 虚位移原理 一、目的要求 1．对约束方程、理想约束和虚位移有清晰的认识，并会利用几何法、解析法和虚速度法找系统内各点虚位移之间的关系。 2．能正确地运用虚位移原理求解物体系的平衡问题。 3．对自由度和广义坐标有初步的理解。 4．会用解析法和几何法计算广义力。 二、基本内容 1．基本概念 约束、虚位移、虚功、虚位移原理、自由度和广义坐标。 2．主要公式： （1）虚功 （2）虚功方程（虚位移原理） 1）几何法 2）解析法 （3）广义力的计算 1）解析法 2）几何法 （4）广义力表示的平衡条件 Q1=Q2=…=QN=0 N为系统的自由度数 三、重点和难点 1．重点 （1）虚位移、理想约束的概念 （2）应用虚位移原理求解物体系的平衡问题 （3）质点系自由度数的判断及广义力的计算 2．难点 找虚位移之间的关系 四、教学提示 （1）讲清虚位移原理解决什么问题，以及为什么要学习本章内容。 （2）对约束、约束主程只作简单介绍，熟练找虚位移之间关系的几何法、虚速度法与解析法，区分虚位移与实位移、虚功与实功。 （3）讲清虚功方程的几何与解析表达式，反复举例说明其解题特点，尤其注意方程中各项符号的确定。 （4）强调用虚位移原理解题是以质点系整体为研究对象。 （5）讲清广义坐标、广义力与直角坐标、一般力的关系。 2．例题 P298～305，P308～311，如例13-1，13-2，13-3，13-4，13-5，13-6，13-7包括了求平衡位置、主动力之间的关系、约束反力（偶）的计算和内力的计算等各种静力问题。 3．作业： P313～316，习题13-1，13-3，13-6，13-7，13-11，13-12，13-13，13-14，13-16，13-19。 第十四章 动力学普遍方程和拉格朗日方程 一、目的要求 1．掌握动力学普遍方程的推导过程及式中各项的含义，会对具体问题分析、画受力图后代入动力学普遍方程求解。 2．熟记拉格朗日方程的各种形式，清楚拉格朗日方程与动力学普遍方程的关系。熟练应用拉格朗日方程求解动力学问题（主要是列运动微分方程、求出加速度或角加速度）。 3．知道在多自由度情况下，用拉格朗日方程求解动力学问题方法简单、步骤规范、容易掌握。 二、基本内容 1．基本概念 动力学普遍方程、拉格朗日方程的推导及表达式 2．主要公式 （1）动力学普遍方程 （2）拉格朗日方程 和广义坐标 ，叫拉格朗日函数或动势，T为质点系的功能，是广义速度 的函数V是势能，是广义坐标的函数。N是质点系的自由度数。 是质点系的非保守力对应于第 三、重点和难点 1．重点 （1）质点系自由度的判断； 个广义坐标的广义力。 （2）应用拉格朗日方程解题的步骤，拉格朗日方程中各项的计算； （3）不同形式拉格朗日方程的用途。 2．难点 （1）正确地选取广义坐标； （2）有保守力时，势能零点的选择及势能的计算； （3）将动能写成广义速度和广义坐标的函数。 四、学习提示 1．建议 （1）强调用动力学普遍方程和拉氏方程解题均以整体为研究对象。 （2）广义坐标、广义速度的个数均与质点系自由度相同。 （3）强调拉氏方程和动力学普遍方程适用于求多自由度系统的运动量，如加速度、角加速度，建立系统的运动微分方程。 2．例题：P317～P325 例14-1，14-2，14-4，14-5，14-6。 3．作业：P326～329 习题14-1，14-3，14-4，14-5，14-7，14-10，14-12，14-15，14-18。 第十五章 机械振动基础 一、目的要求 1、掌握建立各种类型单自由度系统振动（自由振动、阻尼振动、受迫振动）微分方程的方法及其解的表达式。理解恢复力、阻尼力和干扰力的概念。 2、对各种类型振动规律有清晰的理解，会计算有关的物理量。 深刻理解自由振动的固有频率（或周期）、振幅、初相位角的概念。会应用各种方法特别是能量法，求固有频率。 了解阻尼对自由振动的干扰、幅频曲线、共振和放大系数的概念。 3、懂得如何利用振动现象，以及消振和隔振的原理与方法。 二、基本内容 1．基本概念 单自由度系统的自由振动，计算固有频率的能量法；单自由度系统的有阻尼自由振动；单自由度系统的无阻尼受迫振动；单自由度系统的有阻尼强迫振动；转子的临界转速；隔振。 2．主要公式 （1）单自由度系统无阻尼自由振动微分方程 单自由度系统无阻尼自由振动微分方程的解 是系统的固有（圆）频率， 为自由振动的振幅， 为初相位。 是系统的自由振动的周期。 是系统自由振动的频率。 能量法求单自由度系统无阻尼自由振动的固有频率 （注意：计算最大势能 时，取系统的静平衡位置为势能零点。） （2）单自由度系统有阻尼自由振动微分方程 其中式是系统的粘滞阻尼系数。 小阻尼情况下（ ）单自由度系统有阻尼自由振动微分方程的解 ， 为系统的阻尼比。 有阻尼自由振动的周期 减幅系数 对数减幅系数 （3）单自由系统无阻尼受迫振动的微分方程 为激振力的力幅 单自由系统无阻尼受迫振动的微分方程的解 稳态解 共振的条件 （4）单自由度系统有阻尼受迫振动的微分方程 单自由度系统有阻尼受迫振动的微分方程的解 三、重点和难点 1．重点 （1）单自由度系统自由振动，自由振动的固有频率和求固有频率的方法。 （2）单自由度受迫振动，受迫振动的幅频曲线、共振现象。 2．难点 用能量法计算系统的固有频率时，势能零点的选择。 四、教学提示 1．建议 单自由度振动问题是研究多自由度系统振动的基础，在学习中应注意： （1）讲清如何将机械振动系统抽象为理想的力学模型——弹簧质量系统，明确恢复力的概念及常见恢复力（力矩），会列各种类型单自由度系统微分方程。 （2）对诸如固有频率、周期、振幅、位相和初位相等物理量，要讲清它们与那些因素有关，并熟记它们的计算公式及多种计算方法。 （3）阻尼对振动的影响、受迫振动微分方程求解过程等不作重点介绍，但对共振产生的条件要讲透，减振和隔振原理简单说明即可。 2．例题：P335～357、例15-1、15-2、15-3、15-4、15-6、15-9、15-10。 3．作业：P358～365、习题15-1、15-3、15-8、15-13、15-20、15-21、15-23、15-29、15-30、15-35 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容