固定收益证券计算题

题型一：计算普通债券的久期和凸性

久期的概念公式：DtWt

t1N其中，Wt是现金流时间的权重，是第t期现金流的现值占债券价格的比重。且以上求出的久期是以期数为单位的，还要把它除以每年付息的次数，转化成以年为单位的久期。

久期的简化公式：D1y(1y)T(cy) Tyc[(1y)1]y其中，c表示每期票面利率，y表示每期到期收益率，T表示距到期日的期数。

1凸性的计算公式：C(1y)2(tt1N2t)Wt

其中，y表示每期到期收益率；Wt是现金流时间的权重，是第t期现金流的现值占债券价格的比重。且求出的凸性是以期数为单位的，需除以每年付息次数的平方，转换成以年为单位的凸性。

资料

例一：面值为100元、票面利率为8%的3年期债券，半年付息一次，下一次付息在半年后，如果到期收益率（折现率）为10%，计算它的久期和凸性。

1008%10%4 实际折现率：5% 每期现金流：C22

息票债券久期、凸性的计算 时间（期现金流现金流的现值 权重 时间×权重 (t2+t)×Wt 数） （元） （元） （Wt） （t×Wt） 1 4 0.0401 0.0401 0.0802 43.8095 3.8095（） (15%)94.9243 2 4 0.0382 0.0764 0.2292 43.6281 (15%)2 3 4 43.4554 (15%)343.2908 4(15%)43.1341 5(15%)10477.6064(15%)60.0364 0.1092 0.4368 4 4 0.0347 0.1388 0.6940 5 4 0.0330 0.1650 0.9900 6 104 0.8176 4.9056 34.3392 总计 94.9243 1 5.4351 36.7694 即，D=5.4351/2=2.7176

利用简化公式：D15%(15%)6(4%5%)5.4349（半年） 65%4%[(15%)1]5%即，2.7175（年）

36.7694/（1.05）2=33.3509 ；

以年为单位的凸性：C=33.3509/（2）2=8.3377

利用凸性和久期的概念，计算当收益率变动1个基点（0.01%）时，该债券价

资料

格的波动

利用修正久期的意义：P/PD*y

D*2.71752.5881（年）

15%

当收益率上升一个基点，从10%提高到10.01%时，

P/P2.58810.01%0.0259%；

当收益率下降一个基点，从10%下降到9.99%时，

P/P2.5881(0.01%)0.0259%。

12凸性与价格波动的关系：P/PD*yCy

2

当收益率上升一个基点，从10%提高到10.01%时，

1P/P2.58810.01%8.3377(0.01%)20.0259%；

2

当收益率下降一个基点，从10%下降到9.99%时，

1P/P2.5881(0.01%)8.3377(0.01%)20.0676%

2

又因为，债券价格对于收益率的降低比对收益率的上升更加敏感，所以凸性的估计结果与真实价格波动更为接近。

资料

题型二：计算提前卖出的债券的总收益率

(1r1)n1首先，利息+利息的利息=C；r1为每期再投资利率；

r1然后，有 债券的期末价值=利息+利息的利息+投资期末的债券价格；

其中，

CFC1(1r2)NF投资期末的债券价格：P； tNN(1r2)r2(1r2)t1(1r2)NN为投资期末距到期日的期数；r2为预期的投资期末的每期收益率。

例二：投资者用905.53元购买一种面值为1000元的8年期债券，票面利率是12%，半年付息一次，下一次付息在半年后，再投资利率为8%。如果债券持有到第6年（6年后卖出），且卖出后2年的到期收益率为10%，求该债券的总收益率。

解：

100012%8%10%60 r14% r25% C222(14%)121 6年内的利息+6年内利息的利息=60901.55元

4%601(15%)41000 第6年末的债券价格=1035.46元

5%(15%)4所以，

6年后的期末价值=901.55+1035.46=1937.01元

总收益=1937.01-905.53=1031.48元 半年期总收益率=121937.0116.54%

905.53 总收益率=（1+6.54%）2-1=13.51%

资料

题型三：或有免疫策略（求安全边际）

例三：银行有100万存款，5年到期，最低回报率为8%；现有购买一个票面利率为8%，按年付息，3年到期的债券，且到期收益率为10%；求1年后的安全边际。

解：

银行可接受的终值最小值：100×(1+8%)5=146.93万元； 如果目前收益率稳定在10%：

触碰线：

146.93100.36万元

(110%)48108=104.53万元；

110%(110%)2 1年后债券的价值=100×8%+

安全边际：104.53-100.36=4.17万元；

A

B触碰线

所以，采取免疫策略为卖掉债券，将所得的104.53万元本息和重新投资于期限为4年、到期收益率为10%的债券。

4104.53(110%)债券年收益率=518.88%100资料

题型四：求逆浮动利率债券的价格

例四（付息日卖出）：已知浮动利率债券和逆浮动利率债券的利率之和为12%，两种债券面值都为1万，3年到期。1年后卖掉逆浮动利率债券，此时市场折现率（适当收益率）为8%，求逆浮动利率债券的价格。

解：

在确定逆浮动利率债券价格时，实际上是将浮动和逆浮动利率这两种债券构成一个投资组合，分别投资1万元在这两种债券上，则相当于购买了票面利率为6%、面值为1万元的两张债券。又因为在每个利息支付日，浮动利率债券价格都等于其面值，所以逆浮动利率债券价格易求。

1年后，算票面利率为6%，面值为1万的债券价格

P600106009643.347元

(18%)(18%)2P逆=2P-P浮=2×9643.347-10000=9286.694元

题型五：关于美国公司债券的各种计算（债券面值1000美元、半年付息一次）（YTM实为一种折现率）

例五：现有一美国公司债券，息票利率为8%，30年到期，适当收益率为6%，求债券现在的价值？

解：

因为该债券面值为1000美元，每半年付息一次，所以：

1(13%)601000401000=+=1276.76元 P4060n60(13%)3%n1(13%)(13%)60

例六：现有一美国公司债券，息票利率为8%，30年到期，假设现在的售价为676.77美元，求债券到期收益率？

解：

因为该债券面值为1000美元，每半年付息一次，所以：

1(1YTM)601000401000= 676.7740n6060(1YTM)(1YTM)YTM(1YTM)n160通过上式求出该债券的半年期到期收益率为6%，因此该债券的年到期收益

率为6%×2=12%

例七：美国债券市场上交易的一种零息债券，距到期日还有10年，到期价值为5000元，年适当贴现率是8%，计算该债券的价值。

解：

因为该债券半年付息一次，所以每期贴现率为8%/2=4% n=20

P=

5000=2281.93元 20(14%)资料

例八：一种美国公司债券，票面利率是10%，2008年4月1日到期。每年的4月1日和10月1日分别支付一次利息。如果投资者在2003年7月10日购买，该债券的适当贴现率是6%，则该债券的净价是多少？全价是多少？（采用360天计算）

解：

2003年7月10日距下一次利息支付日10月1日还有81天，且利息支付期为半年，即180天。那么n=81/180=0.45。

P5050501050......1189.79元

(13%)0.45(13%)1.45(13%)8.45(13%)9.45即该债券的净价为1189.79元

又因为距上一次付息日为180-81=99天，所以

99AI5027.5元

180即该债券的全价为27.5+1189.79=1217.29元

例九：在美国债券市场上有一种2年期的零息债券，目前的市场价格为857.34元，计算该债券的年到期收益率。

解：

因为该债券为票面价格为1000元，半年付息一次，所以：

857.341000 4(1YTM)通过上式求出该债券的半年到期收益率为3.9%，因此该债券的年到期收益率为3.9%×2=7.8%

例十：美国债券市场上有一种债券，票面利率为10%，每年的3月1日和9月1日分别付息一次，2005年3月1日到期，2003年9月12日的完整市场价格为1045元，求它的年到期收益率。（按一年360天计算）

解：

2003年9月1日距下一次利息支付日2004年3月1日还有169天，半年支付一次。即n=169/180=0.9389

又因为全价=净价+应付利息

180169AI503.06元

180所以，净价=1045-3.06=1041.94元 即，

1041.9450501050(1YTM)0.9389(1YTM)1.9389(1YTM)2.9389

该债券的半年到期收益率为YTM=3.58% 年到期收益率为3.58%×2=7.16%

资料

题型六：交税方法

例十一：一种10年期基金，票面利率为6%、按年付息、持有到期。政府对其收税，税率为20%。现有两种交税方式：一年一付；到期时一起付；问选择哪种交税方式更好？（改变哪个数值会造成相反的结果）

解：设在某年年初购买该基金；基金面值为100元； 市场适当收益率为r；

一年一付（年末付）：

每年年末应交：1006%20%1.2元

1.21.21(1r)10现值：PV1 nrn1(1r)10

到期时一起付

总利息为：10×1.2=12元 现值：PV212 10(1r)若PV1PV2,则r1%

所以：当市场适当收益率为1%时，两种交税方式都可以； 当市场适当收益率大于1%时，选择到期一起付； 当市场适当收益率小于1%时，选择一年一付。

附：课上提过的重点题

例十二：有一个债券组合，由三种半年付息的债券组成，下次付息均在半年后，每种债券的相关资料如下：

资料

债券名称 到期时间面值（元） 市场价格到期收益率（年） （元） （年率） A 6% 6 1000 951.68 7% B 5.5% 5 20 000 20 000 5.5% C 7.5% 4 10 000 9831.68 8% 求该债券组合的到期收益率。（步骤：1、列表 ；2、列方程 ） 解：

若考试时试题未给出债券的市场价格，必须计算出来。

A：951.68B：2000010 票面利率 301000 n12(13.5%)n1(13.5%)1255020000（平价出售） n10(12.75%)(12.75%)n1C：9831.6837510000 n8(14%)n1(14%)8该债券组合的总市场价值为：

951.68+20 000.00+9 831.68=30 783.36元

列表：r为债券组合的到期收益率 期数 A的现金流B的现金流C的现金流（元） （元） （元） 1 30 550 375 2 30 550 375 3 30 550 375 4 30 550 375 5 30 550 375 6 30 550 375 7 30 550 375 8 30 550 10 375 9 30 550 10 30 20 550 11 30 12 1030 总市场价值 债券组合的现金流（元） 955 955 955 955 955 955 955 10 955 580 20 580 30 1030 总现金流的现值（元） 955/(1+r) 955/(1+r)2 955/(1+r)3 955/(1+r)4 955/(1+r)5 955/(1+r)6 955/(1+r)7 10955/(1+r)8 580/(1+r)9 20580/(1+r)10 30/(1+r)11 1030/(1+r)12 30 783.36 资料

④列方程：

1(1r)7109555802058030103030783.36955r(1r)8(1r)9(1r)10(1r)11(1r)12

r3.13%

所以该债券的半年期到期收益率为3.13%；其年到期收益率（内部回报率）为6.26%。

例十三：APR与EAR的换算

公式：

EAR(1APRn)1n

其中：EAR为实际年利率；APR为名义年利率；n为一年中的计息次数；

A债券的年利率为12%，半年支付一次利息。B债券的年利率为12%，每季度支付一次利息。C债券的年利率为10%，每季度支付一次利息。求这三种债券的实际年收益率。

12%A：EAR1112.36%

212%B：EAR1112.55%

410%C：EAR1110.38%

4注：名义利率一样，付息次数越多，实际收益率越大；

付息次数一样，名义利率越大，实际收益率越大。

例十四：求债券总收益或总收益率（与题型二对比 此题没有提前出售债券这一条件 故较为简单）

此时，债券的期末价值=总的利息+利息的利息+债券面值

总收益 =债券实际总价值-购买债券时的价格

求总收益率：

公式：每期收益率=（期末价值/期初价值）1/n-1 实际年收益率=（1+每期收益率）m-1

资料

442投资者用1108.38元购买一种8年后到期的债券，面值是1000元，票面利率为12%，每半年付息一次，下一次付息在半年后。假设债券被持有至到期日，再投资利率等于到期收益率，分别计算该债券的利息、利息的利息以及总收益、总收益率。

解：

1108.38投资利率为5%

601000 半年期的YTM=5%，即每期的再n16(1YTM)(1YTM)n116(15%)161利息+利息的利息=601419.45元

5%

该债券的利息=60×16=960元

利息的利息=1419.45-960=459.45元

持有到期时债券的总价值=1419.45+1000=2419.45元

总收益=2419.45-1108.38=1311.07元 每期收益率=162419.4515%

1108.38总收益率=15%2110.25%

资料

例十五：（资产组合的久期）一个债券组合由三种半年付息的债券构成，求该债券组合的久期，并说明利率变动时价格的变化。 票面利率 到期时间（年） 市场价格（元） YTM（年） 债券名称 面值（元）A 1000 6% 6 B 20 000 5.5% 5 C 10 000 7.5% 4 解：1.若没给出市场价格，先计算市场价格； 2.利用简化公式，求出各自的久期； 3.得出修正久期，算出总D*；

4.假设利率变动，计算现在的价格。

久期的简化公式：D1y(1y)T(cy)yc[(1y)T1]y；

951.68 20000 9831.68 7% 5.5% 8% 分别计算出A、B、C的久期：

DA13.5%(13.5%)12(3%3.5%)10.2001（半年） 123.5%3%(13.5%)13.5%

*DA10.20019.855213.5%（半年）=4.9276（年）

DB12.75%(12.75%)2.75%2.75%(12.75%)1012.75%12.75%118.8777102.75%(12.75%)（半年）

*DB8.87778.6401（半年）=4.3201（年）

(12.75%)

DC*DC14%(14%)8(3.75%4%)7.0484（半年） 84%3.75%14%14%7.04846.7773（半年）=3.3887（年） 14% 该债券组合的市场总价值等于951.68+20000+9831.68=30783.36元，债券A的权重为0.0309、债券B的权重为0.6497、债券C的权重为0.3194。因此，该债券组合的久期为：

D*4.92760.03094.32010.64973.38870.31944.0414（年）

这表明当组合中的三种债券的年收益率都变动1个百分点时，组合的市场价值将会变动4.0414%。

资料

例十六：如何构造理论上的即期利率曲线——解鞋带的方法：

假设存在5种政府债券，期限分别从1年到20年。这些债券都是平价债券，即价格与面值相等，等于100元。因为是平价债券，所以这些债券的到期收益率与票面利率正好相等。 债券期限（年） 1 2 3 4 5 YTM（票面利率） 5% 5.1% 5.2% 5.35% 5.45% 即期利率（Sn） 5% 5.1026% 5.207% 5.368% 5.4763% 远期利率（fn1,n） 5% 5.2052% 5.4161% 5.8525% 5.9106% 解： 在整个计算过程中，债券都被看做是一系列零息债券构成的债券组合，债券的价格等于这些零息债券的价值总和；先求出即期利率，再利用

fn1,n(1Sn)n1，计算远期利率。 (1Sn1)n1 1年期债券的到期收益率就是1年期的即期利率，即S15%； 2年期债券的现金流模式如下：1001005.1%100(15.1%) 2(1S1)(1S2)%、f1,2 解得S25.1026(1S2)215.2052%； (1S1)5.25.2105.2 (1S1)(1S2)2(1S3)33 3年期债券的现金流模式如下：100 解得S35.207%、f2,315.207%15.4161%； (1S3)31(15.1026%)21S225.355.355.35105.35 (1S1)(1S2)2(1S3)3(1S4)4 ④4年期债券的现金流模式如下：100解得S45.368%、f3,4(15.368%)415.8525%； (15.207%)3 ⑤5年期债券的现金流模式如下： 1005.455.455.455.45105.45 (1S1)(1S2)2(1S3)3(1S4)4(1S5)5解得S55.4763%、f4,5(15.4763%)515.9106% (15.368%)4资料

根据以上计算，画图：

6.0000% 5.8000% 5.6000% 5.4000% 5.2000% 5.0000% 4.8000% 4.6000% 4.4000% 远期利率 即期利率

1 2 3 4 5 资料