人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(41)

人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷（共22题）

一、选择题（共10题）

𝑥+,𝑥>0

4𝑥1. 𝑓(𝑥)=−𝑥−2𝑥，𝑔(𝑥)={，若方程 𝑔[𝑓(𝑥)]−𝑎=0 的实数根个数有 4 个，则 𝑥+1,𝑥≤0

𝑎 的取值范围是 (  )

2

1

A． [1,)

4

5

B． (0,1]

C． [1,)

2

5

D． (1,2)

2. 设 𝑆={(𝑥,𝑦)∣ ∣ 𝑥−lg𝑦∣ =𝑥+lg𝑦}，则下列各式中正确的是 (  )

A． 𝑆={(𝑥,𝑦)∣ 𝑥≥0,𝑦=1} B． 𝑆={(𝑥,𝑦)∣ 𝑥=0,𝑦≥1} C． 𝑆={(𝑥,𝑦)∣ 𝑥(𝑦−1)=0且𝑦>0}

D． 𝑆={(𝑥,𝑦)∣ 𝑥≥0且𝑦=1}∪{(𝑥,𝑦)∣ 𝑥=0且𝑦≥1}

𝑎

3. 若函数 𝑓(𝑥)=log𝑎(𝑥2−𝑎𝑥+3) 在区间 (−∞,) 上是减函数，则 𝑎 的取值范围是 (  )

2

5. 设函数 𝑓(𝑥)=()，𝑔(𝑥)=()，其中 e 为自然对数的底数，则 (  )

e3

6. 若函数 𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑥2−2𝑥−2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：𝑓(1)=−2𝑓(1.5)=0.625𝑓(1.25)=−0.984

那么方程 𝑥3+𝑥2−2𝑥−2=0

𝑓(1.375)=−0.260𝑓(1.4375)=0.162𝑓(1.40625)=−0.054的一个近似根（精确到 0.1）为 (  )

7. 设 𝑎=20.1−1，𝑏=lg，𝑐=log30.3，则 𝑎，𝑏，𝑐 的大小关系是 (  )

41

2𝑥

e𝑥

A． (0,1) B． (1,+∞) C． (1,2√3] D． (1,2√3)

34

4. 若 𝑎=√(3−π)3，𝑏=√(2−π)4，则 𝑎+𝑏 的值为 (  )

A． 1 B． 5 C． −1 D． 2π−5

A．对于任意实数 𝑥 恒有 𝑓(𝑥)≥𝑔(𝑥) B．存在正实数 𝑥 使得 𝑓(𝑥)>𝑔(𝑥) C．对于任意实数 𝑥 恒有 𝑓(𝑥)≤𝑔(𝑥) D．存在正实数 𝑥 使得 𝑓(𝑥)<𝑔(𝑥)

A． 1.2 B． 1.3 C． 1.4 D． 1.5

A． 𝑎<𝑐<𝑏 B． 𝑏<𝑐<𝑎 C． 𝑐<𝑎<𝑏 D． 𝑐<𝑏<𝑎

8. 设方程 (𝑚+1)∣ex−1∣−1=0 的两根分别为 𝑥1，𝑥2(𝑥1<𝑥2)，方程 ∣ex−1∣−𝑚=0 的两根

1

分别为 𝑥3，𝑥4(𝑥3<𝑥4)，若 𝑚∈(0,)，则 (𝑥4+𝑥1)−(𝑥3+𝑥2) 的取值范围为 (  )

2

9. 已知函数 𝑓(𝑥)=(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)（其中 𝑎>𝑏）的图象如图所示，则函数 𝑔(𝑥)=log𝑎(𝑥−𝑏) 的图象大致是 (  ) A． (−∞,0) C． (ln,0)

53

1

B． (−∞,−1) D． (−∞,ln)

5

3

A．

30.5

B．

40.4

C． D．

10. 设 𝑎=(4)

，𝑏=(3)，𝑐=log3(log34)，则 (  )

4A． 𝑏<𝑎<𝑐 B． 𝑐<𝑎<𝑏 C． 𝑐<𝑏<𝑎 D． 𝑎<𝑐<𝑏

二、填空题（共6题）

11. 函数 𝑓(𝑥)=log1(−2𝑥2+𝑥) 的单调增区间是 ；𝑓(𝑥) 的值域是 ．

2

,𝑥≤0

12. 已知 𝑘 为常数，函数 𝑓(𝑥)={𝑥+1，若关于 𝑥 的方程 𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+2 有且只有四个不

∣ln𝑥∣,𝑥>0

同解，则实数 𝑘 的取值构成的集合为 ．

13. 已知 𝑓(𝑥)=log𝑎𝑥 在 𝑥∈[2,+∞) 上恒有 𝑓(𝑥)<−1，则 𝑎 的取值范围是 ．

𝑥2+5𝑥+4∣,𝑥≤0,

14. 已知函数 𝑓(𝑥)={∣ 若函数 𝑦=𝑓(𝑥)−𝑎∣𝑥∣ 恰有 4 个零点，则实数 𝑎

2∣𝑥−2∣,𝑥>0,

的取值范围为 ．

2

𝑥+2

15. 已知 3𝑎=2，3𝑏=5，则 32𝑎−𝑏= ．

16. 已知关于 𝑥 的方程 ∣𝑥2−4𝑥+3∣−𝑎=0 有三个不相等的实数根，则实数 𝑎 的值是 ．

三、解答题（共6题）

17. 已知 𝑎∈𝐑，函数 𝑓(𝑥)=log2(2𝑥+𝑎)．

(1) 当 𝑎=1 时，求不等式 𝑓(𝑥)≤1 的解集；

(2) 若关于 𝑥 的方程 𝑓(𝑥)+2𝑥=0 的解集中恰有两个元素，求 𝑎 的取值范围．

18. 函数 𝑓(𝑥)=log𝑎(1−𝑥)+log𝑎(𝑥+3)(0<𝑎<1)．

(1) 求方程 𝑓(𝑥)=0 的解；

(2) 若函数 𝑓(𝑥) 的最小值为 −2，求 𝑎 的值．

19. 水葫芦原产于巴西，后作为观赏植物引入中国．现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾，严重影响

航道安全和水生动物的生长．某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过 2 个月其覆盖面积为 18 m2，经过 3 月其覆盖面积为 27 m2．现水葫芦的覆盖面积 𝑦（单位：m2）与经过时间 𝑥(𝑥∈𝐍) 个月的关系有两个函数模型 𝑦=𝑘𝑎𝑥(𝑘>0,𝑎>1) 与 𝑦=𝑝𝑥2+𝑞(𝑝>0) 可供选择．

（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，lg2≈0.301，lg3≈0.477） (1) 试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；

(2) 求原先投放的水葫芦的面积，并求约经过几个月该水域中水葫芦的面积是当初投放的 1000

倍．

20. 已知偶函数 𝑦=𝑓(𝑥) 满足：当 𝑥≥2 时，𝑓(𝑥)=(𝑥−2)(𝑎−𝑥)，𝑎∈𝐑，当 𝑥∈[0,2) 时，

𝑓(𝑥)=𝑥(2−𝑥)．

(1) 求当 𝑥≤−2 时，𝑓(𝑥) 的表达式；

(2) 若直线 𝑦=1 与函数 𝑦=𝑓(𝑥) 的图象恰好有两个公共点，求实数 𝑎 的取值范围； (3) 试讨论当实数 𝑎，𝑚 满足什么条件时，函数 𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑚 有 4 个零点且这 4 个零点

从小到大依次成等差数列．

21. 求下列函数的定义域：

(1) 𝑦=log𝑥(5−𝑥)； (2) 𝑦=√lg𝑥+lg(5−3𝑥)； (3) 𝑦=√log0.2(𝑥+3)−1；

3

1

1

(4) 𝑦=√log0.12𝑥+1； (5) 𝑦=

22. 设 𝑚 是不小于 −1 的实数，关于 𝑥 的方程 𝑥2+2(𝑚−2)𝑥+𝑚2−3𝑚+3=0 有两个不相等

的实数根 𝑥1，𝑥2．

22

(1) 若 𝑥1+𝑥2=6，求实数 𝑚 的值；

𝑚𝑥

𝑚𝑥

√log2𝑥−1． 2𝑥−5

3𝑥−2

(2) 令 𝑇=1−𝑥1+1−𝑥2(𝑚≠0)，求实数 𝑇 的取值范围．

1

2

4

答案

一、选择题（共10题） 1. 【答案】A

【知识点】函数的零点分布

2. 【答案】D

【知识点】对数的概念与运算

3. 【答案】C

【解析】由对数式的底数知 𝑎>0，且 𝑎≠1．令 𝑔(𝑥)=𝑥2−𝑎𝑥+3，其图象的对称轴为 𝑥=2，函数 𝑔(𝑥)=𝑥2−𝑎𝑥+3 在 (−∞,2) 上是减函数，在 [2,+∞) 上是增函数，要使复合函数 𝑓(𝑥)=log𝑎(𝑥2−𝑎𝑥+3) 在区间 (−∞,2) 上是减函数，则外层函数 𝑦=log𝑎𝑔(𝑥) 是增函数，且同时满足内层函数 𝑔(𝑥)=𝑥2−𝑎𝑥+3>0 在 (−∞,2) 上恒成立，即 𝑎>1,{𝑎 解得 1<𝑎≤2√3．所以使函数 𝑓(𝑥)=log𝑎(𝑥2−𝑎𝑥+3) 在区间 𝑎2𝑎

𝑔()=()−𝑎⋅+3≥0,

2

2

2

𝑎

𝑎𝑎

𝑎

𝑎

(−∞,2) 上是减函数的 𝑎 的取值范围是 (1,2√3]． 【知识点】对数函数及其性质、函数的单调性

4. 【答案】A

【解析】由根式的性质得，

3

𝑎=√(3−π)3=3−π，

𝑎

𝑏=√(2−π)4=∣2−π∣=π−2， 因此 𝑎+𝑏=(3−π)+(π−2)=1． 【知识点】幂的概念与运算

5. 【答案】D

【解析】e=3e，3=3e，所以 02

6

e

e2

2

e

4

5

【知识点】指数函数及其性质

6. 【答案】C

【解析】由图中参考数据可得 𝑓(1.4375)>0，𝑓(1.40625)<0， 所以方程的根在 (1.40625,1.4375) 上， 又因为题中要求精确到 0.1， 所以近似根为 1.4．

【知识点】二分法求近似零点

7. 【答案】D

【解析】 𝑎=20.1−1>0，𝑏=lg=−lg4∈(−1,0)，𝑐=log30.3=1−log310<−1，则 𝑎，𝑏，

41

𝑐 的大小关系是 𝑐<𝑏<𝑎．

【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质

8. 【答案】D

【知识点】函数的零点分布、指数函数及其性质

9. 【答案】B

【解析】法一：结合二次函数的图象可知，𝑎>1，−1<𝑏<0，所以函数 𝑔(𝑥)=log𝑎(𝑥−𝑏) 单调递增，排除C，D；把函数 𝑦=log𝑎𝑥 的图象向左平移 ∣𝑏∣ 个单位，得到函数 𝑔(𝑥)=log𝑎(𝑥−𝑏) 的图象，排除A，选B．

法二：结合二次函数的图象可知，𝑎>1，−1<𝑏<0，所以 𝑎>1，0<−𝑏<1，在 𝑔(𝑥)=log𝑎(𝑥−𝑏) 中，取 𝑥=0，得 𝑔(0)=log𝑎(−𝑏)<0，只有选项B符合． 【知识点】对数函数及其性质

10. 【答案】B

【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质

二、填空题（共6题）

6

11. 【答案】 [4,2) ； [3,+∞)

【知识点】复合函数、对数函数及其性质

12. 【答案】 {e3}∪(−e,−1)

【解析】作函数 𝑦=𝑓(𝑥) 和 𝑦=𝑘𝑥+2 的图象，如图所示， 两图象除了 (0,2) 还应有 3 个公共点，

当 𝑘≥0 时，直线应与曲线 𝑦=𝑓(𝑥)（𝑥>1）相切， 设切点 (𝑥0,ln𝑥0)，则切线斜率为 𝑘=𝑥，

0

11

1

1

又 𝑘=

ln𝑥0−2𝑥0

，则 𝑥=

0

1

ln𝑥0−2𝑥01

，

解得 𝑥0=e3，此时 𝑘=e3，

当 𝑘<0 时，当 𝑦=𝑘𝑥+2 与曲线 𝑦=𝑥+1 相切于点 (0,2) 时，函数 𝑦=𝑓(𝑥) 和 𝑦=𝑘𝑥+2 的图象只有三个公共点，不符合题意，此时 𝑘=−1，

当 −1<𝑘<0 时，函数 𝑦=𝑓(𝑥) 和 𝑦=𝑘𝑥+2 的图象只有三个公共点，不符合题意， 当直线 𝑦=𝑘𝑥+2 与 𝑦=𝑓(𝑥)（0<𝑥<1）相切时，两图象只有三个公共点， 设切点 (𝑥0,−ln𝑥0)，则切线的斜率 𝑘=−𝑥，

0

𝑥+2

1

又 𝑘=

−ln𝑥0−2𝑥0

，则 −𝑥=

0

1

−ln𝑥0−2𝑥0

，

解得 𝑥0=e−1，此时 𝑘=−e 不符合题意， 当 𝑘<−e 时，两图象只有两个公共点，不合题意， 而当 −e<𝑘<−1 时，两图象有 4 个公共点，符合题意， 所以实数 𝑘 的取值范围是 {e3}∪(−e,−1)．

1

【知识点】函数的零点分布、利用导数求函数的切线方程

13. 【答案】 2<𝑎<1

【知识点】对数函数及其性质

7

1

14. 【答案】(1,2)

【解析】考查函数 𝑦=𝑓(𝑥) 图象与 𝑦=𝑎∣𝑥∣ 图象的交点的情况，根据图象，得 𝑎>0． 当 𝑎=2 时，函数 𝑦=𝑓(𝑥) 与 𝑦=𝑎∣𝑥∣ 图象有 3 个交点； 当 𝑦=𝑎∣𝑥∣(𝑥≤0) 图象与 𝑦=∣𝑥2+5𝑥+4∣ 图象相切时，

在整个定义域内，函数 𝑦=𝑓(𝑥) 图象与 𝑦=𝑎∣𝑥∣ 图象有 5 个交点，

𝑦=−𝑎𝑥,

此时，由 { 得 𝑥2+(5−𝑎)𝑥+4=0． 2

𝑦=−𝑥−5𝑥−4,由 𝛥=0，解得 𝑎=1 或 𝑎=9（舍去）．

故当 1<𝑎<2 时，函数 𝑦=𝑓(𝑥) 与 𝑦=𝑎∣𝑥∣ 图象有 4 个交点．

【知识点】函数零点的概念与意义、函数图象

15. 【答案】 5

【解析】 32𝑎−𝑏=

32𝑎3𝑏4

=

(3𝑎)23𝑏=

225

=5．

4

【知识点】幂的概念与运算

16. 【答案】 1

【解析】作出函数 𝑦=∣𝑥2−4𝑥+3∣ 的图象（如图所示）， 由图象知直线 𝑦=1 与函数 𝑦=∣𝑥2−4𝑥+3∣ 的图象有三个交点， 即方程 ∣𝑥2−4𝑥+3∣=1 有三个不相等的实数根， 所以 𝑎=1．

8

【知识点】函数的零点分布

三、解答题（共6题） 17. 【答案】

(1) log2(2𝑥+1)≤1=log22⇔2𝑥+1≤2⇔2𝑥≤1⇔2−𝑥≤20⇔𝑥≥0， 所以不等式 𝑓(𝑥)≤1 的解集为：[0,+∞)．

(2) 根据集合中元素的唯一性可知，关于 𝑥 的方程 𝑓(𝑥)+2𝑥=0 有两个不相等的实数根， 即方程 log2(2𝑥+𝑎)=−2𝑥=log22−2𝑥 有两个不相等的实数根，即方程 2𝑥+𝑎=2−2𝑥 有两个不相等的实数根，

𝛥>0,

令 𝑡=2𝑥，即方程 𝑡2−𝑡−𝑎=0 在区间 (0,+∞) 有两个不相等的实数根，从而有 {𝑡1+𝑡2>0,

𝑡1⋅𝑡2>0,

1

1

1

1

1

1

(−1)2+4𝑎>0,即 {1>0,

−𝑎>0,解得 −<𝑎<0，

41

故 𝑎 的取值范围 (−,0)．

4

1

【知识点】函数的零点分布

18. 【答案】

1−𝑥>0,

(1) 要使函数有意义，则有 { 解得 −3<𝑥<1，所以函数 𝑓(𝑥) 的定义域为 (−3,1)．

𝑥+3>0,函数可化为 𝑓(𝑥)=log𝑎(1−𝑥)(𝑥+3)=log𝑎(−𝑥2−2𝑥+3)． 由 𝑓(𝑥)=0，得 −𝑥2−2𝑥+3=1，

9

即 𝑥2+2𝑥−2=0，解得 𝑥=−1±√3． 因为 𝑥=−1±√3∈(−3,1)．

所以 𝑓(𝑥)=0 的实数根是 𝑥1=−1−√3，𝑥2=−1+√3．

(2) 函数可化为 𝑓(𝑥)=log𝑎(1−𝑥)(𝑥+3)=log𝑎(−𝑥2−2𝑥+3)=log𝑎[−(𝑥+1)2+4]． 因为 −3<𝑥<1，所以 0<−(𝑥+1)2+4≤4． 因为 0<𝑎<1，所以 log𝑎[−(𝑥+1)2+4]≥log𝑎4， 即 𝑓(𝑥)min=log𝑎4．

由题意知，log𝑎4=−2，所以 𝑎−2=4，所以 𝑎=2． 【知识点】函数的最大（小）值、对数函数及其性质

19. 【答案】

(1) 因为 𝑦=𝑘𝑎𝑥(𝑘>0,𝑎>1) 的增长速度越来越快，𝑦=𝑝𝑥2+𝑞(𝑝>0) 的增长速度越来越慢， 所以依题意应选函数模型 𝑦=𝑘𝑎𝑥(𝑘>0,𝑎>1)， 𝑎=2,𝑘𝑎2=18,

则 {3 解得 {

𝑘𝑎=27,𝑘=8,所以 𝑦=8⋅()(𝑥∈𝐍)．

2(2) 当 𝑥=0 时，𝑦=8．

设经过 𝑥 个月该水域中水葫芦的面积是当初投放的 1000 倍， 则 8⋅(2)=8×1000， 所以 𝑥=log31000=

21

1

3

3𝑥

3𝑥

lg1000

3lg2=

3lg3−lg2

≈17．

所以原先投放的水葫芦的面积为 8 m2，约经过 17 个月该水域中水葫芦面积是当初投放的 1000 倍．

【知识点】函数的模型及其实际应用、建立函数表达式模型

20. 【答案】

(1) 设 𝑥≤−2，则 −𝑥≥2，所以 𝑓(−𝑥)=(−𝑥−2)(𝑎+𝑥)， 又因为偶函数，所以 𝑓(𝑥)=𝑓(−𝑥)𝑓(𝑥)=(𝑥+𝑎)(−𝑥−2)．

(2) （Ⅰ）𝑎>2 时，𝑥≥2，𝑓(𝑥)=(𝑥−2)(𝑎−𝑥)，𝑓(𝑥)max=𝑓(1+2)=(2−1)， 所以 (−1)<1，所以 0<𝑎<4，所以 2<𝑎<4；

2𝑎

2

𝑎

𝑎

2

（Ⅰ）𝑎≤2 时，满足． 综上，所以 𝑎<4．

(3) 𝑓(𝑥)=𝑚 零点 𝑥1，𝑥2，𝑥3，𝑥4，𝑦=𝑓(𝑥) 与 𝑦=𝑚 交点 4 个且均匀分布．

10

𝑥1+𝑥2=−2,

（Ⅰ）𝑎≤2 时，{2𝑥2=𝑥1+𝑥3,

𝑥2+𝑥3=0,

得 𝑥1=3𝑥2，𝑥1=−2，𝑥2=−2，𝑥3=2，𝑥4=2，𝑚=4；

（Ⅰ）2<𝑎<4 时，𝑚=4 时，且 (2−1)<4−√3+2<𝑎<√3+2， 所以 2<𝑎<√3+2 时，𝑚=4； （Ⅰ）𝑎=4 时，𝑚=1 时；

𝑥3+𝑥4=2+𝑎,

2+𝑎

（Ⅰ）𝑎>4 时，𝑚>1，{2𝑥3=𝑥2+𝑥4,⇒𝑥4=，

4

𝑥2=−𝑥3 𝑚=(

2+𝑎4

3

3

𝑎

2

3

3

1

1

3

3

−2)(𝑎−

2+𝑎4

)=

3𝑎2−20𝑎+12

16

，此时 1<𝑚<(2−1)．

𝑎

2

所以 𝑎>

10+4√7 3

或 𝑎<

10−4√7（舍）， 3

3𝑎2−20𝑎+12

16

𝑎>4 且 𝑎>综上：

10+4√7 3

时，𝑚= 时存在．

（1）𝑎<2+√3 时，𝑚=；

4

3

（2）𝑎=4 时，𝑚=1； （3）𝑎>

【知识点】函数的零点分布、函数的最大（小）值、函数的奇偶性

21. 【答案】

(1) (0,1)∪(1,5)． (2) [1,3)． (3) (−3,−2.8]． (4) (,3]．

325

10+4√7 3

时，𝑚=

3𝑎2−20𝑎+12

16

符合题意．

(5) [2,)∪(,+∞)．

22

【知识点】对数函数及其性质、函数的定义域的概念与求法

22. 【答案】

(1) 因为方程有两个不相等的实数根，

11

55

所以 𝛥=[2(𝑚−2)]2−4(𝑚2−3𝑚+3)=−4𝑚+4>0，解得 𝑚<1， 又因为 𝑚 是不小于 −1 的实数， 所以 −1≤𝑚<1，

由题得 𝑥1+𝑥2=−2(𝑚−2)=4−2𝑚，𝑥1𝑥2=𝑚2−3𝑚+3．

22

因为 𝑥1+𝑥2=6，

所以 (𝑥1+𝑥2)2−2𝑥1𝑥2=6， 即 (4−2𝑚)2−2(𝑚2−3𝑚+3)=6， 整理得 𝑚2−5𝑚+2=0， 解得 𝑚=

5+√172

5−√172

或 𝑚=

，

因为 −1≤𝑚<1， 所以 𝑚=

𝑇

5−√172𝑚𝑥

．

𝑚𝑥

=1−𝑥1+1−𝑥2

1

=

(2)

===

𝑚𝑥1(1−𝑥2)+𝑚𝑥2(1−𝑥1)

(1−𝑥1)(1−𝑥2)𝑚[(𝑥1+𝑥2)−2𝑥1𝑥2]1−(𝑥1+𝑥2)+𝑥1𝑥2

2𝑚(4−2𝑚−2𝑚+6𝑚−6)1−4+2𝑚+𝑚2−3𝑚+3

−2𝑚(𝑚−1)2

𝑚2−𝑚

2

=2−2𝑚.

因为 −1≤𝑚<1 且 𝑚≠0，

所以 0<2−2𝑚≤4 且 2−2𝑚≠2，即 0<𝑇≤4 且 𝑇≠2， 故实数 𝑇 的取值范围为 0<𝑇≤4 且 𝑇≠2． 【知识点】函数的零点分布

12