2021年高中数学核心知识点4.2 指数与指数函数(专题训练卷)(解析版)新高考

专题4.2指数与指数函数（专题训练卷）

一、 单选题

1．（2020·嘉兴市第五高级中学高二期中）对任意的正实数a及m,nQ，下列运算正确的是（ ） A．amnamn B．amnamn C．amnamn D．amnamn

【答案】D 【解析】

根据指数的运算性质amnamn排除ABC.

故选:D

2．（2020·湖北省高三其他（文））已知fx12x|12x|，则fx的值域是（ ）A．,2 B．0,2 C．0,3 D．1,2

【答案】B 【解析】

当12x0，即x0时，fx12x12x2x1，则0fx2，

当12x0，即x0时，fx12x12x2，

∴fx的值域是0,2， 故选：B．

3．（2020·上海高一课时练习）若指数函数yax是减函数，则下列不等式中一定成立的是( A．a1 B．a0.2 C．a(a1)0 D．a(a1)0

【答案】C 【解析】

由于指数函数yax是减函数，所以0a1，

所以a10，aa10，所以ABD选项错误，C选项正确.

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)

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故选：C

xx4．（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）已知在同一坐标系下，指数函数ya和yb的图象如图，

则下列关系中正确的是（ ）

A．ab1 【答案】C 【解析】

B．ba1 C．ab1 D．ba1

很显然a，b均大于1；

yax与x1的交点在ybx与x1的交点上方，

故ba，综上所述:ab1. 故选:C.

﹣5．（2019·宁夏回族自治区贺兰县景博中学高一月考）函数y=ax1+2（a＞0且a≠1）图象一定过点（ ）

A．（1，1） 【答案】B 【解析】

B．（1，3） C．（2，0） D．（4，0）

由x﹣1=0，解得x=1，此时y=1+2=3， 即函数的图象过定点（1，3），

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故选B

6．（2020·福建省高三其他（文））已知a21.2，b0.51.1，c40.4，则（ ） A．cba 【答案】A 【解析】

B．bac

C．bca

D．abc

1b0.51.1()1.121.1，c40.4(22)0.420.8.

2因为y2在R上为增函数，所以20.821.121.2. 即cba. 故选：A

7．（2020·萍乡市上栗中学高三二模（文））已知0ab1，则下列结论正确的是（ ） A．babb 【答案】B 【解析】

B．abbb

C．aaab

D．baaa

x111111abababb取a，b，则，a，，， 4222242bbba，故排除A；aaab，故排除C；baaa，故排除D；

由幂函数的性质得：abbb. 故选：B.

x8．（2020·上海高一课时练习）若函数y2m的图像不经过第二象限，则m的取值范围是( )

A．m1 【答案】D 【解析】

B．m1 C．m1 D．m1

xx指数函数y2过点0,1,则函数y2m过点0,1m,

若图像不经过第二象限,则1m0, 即m1, 故选：D

9．（2020·湖北省高三其他（文））若0＜a＜b＜1，x＝ab，y＝ba，z＝bb，则x、y、z的大小关系为（

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A．x＜z＜y 【答案】A 【解析】 因为0ab1，

B．y＜x＜z C．y＜z＜x D．z＜y＜x

x故f(x)b单调递减；

故ybazbb，

b幂函数g(x)x单调递增；

故xabzbb，

则x、y、z的大小关系为：xzy； 故选：A

(3a)x3,x710．（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）若函数f(x)x6单调递增,则实数a的取值

a,x7范围是( )

9A．,3

4【答案】B 【解析】 函数f(x)9B．,3

4C．1,3 D．2,3

(3a)x3,x7单调递增， x6a,x73a09a1解得a3

43a73a所以实数a的取值范围是,3． 故选：B． 二、多选题

11．（2019·广东省佛山一中高一月考）下列运算结果中，一定正确的是（ ） A．a3a4a7

B．a2943a6

C．8a8a

D．5

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【答案】AD 【解析】

a3a4a34a7，故A正确；

当a1时，显然不成立，故B不正确；

8a8a，故C不正确；5，D正确，

5故选AD.

12．（2020·山东省高一期末）如图，某湖泊的蓝藻的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系满足ya，则下列说法正确的是（ ）

t

A．蓝藻面积每个月的增长率为100 % B．蓝藻每个月增加的面积都相等 C．第6个月时，蓝藻面积就会超过60m2

D．若蓝藻面积蔓延到2m2,3m2,6m2所经过的时间分别是t1, t2, t3，则一定有t1t2t3 【答案】ACD 【解析】

由图可知，函数ya图象经过1,2，即a12，则a2，∴y2；

tt∴2t12t2t不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍，则每个月的增长率为100 %，A对、B错；

当t6时，y26460，C对；

若蓝藻面积蔓延到2m,3m,6m所经过的时间分别是t1, t2, t3，则2t12，2t23 ，2t36，则

22262t12t223，即2t1t26，则t1t2t3，D对；

故选：ACD．

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13．（2020·全国高一课时练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用[x]表示不超过

ex1x的最大整数，则y[x]称为高斯函数，例如：[3.5]4，[2.1]2.已知函数f(x)，则关x1e2于函数g(x)[f(x)]的叙述中正确的是（ ） A．g(x)是偶函数 C．f(x)在R上是增函数 E.g(x)的值域是{1,0} 【答案】BCE 【解析】

B．f(x)是奇函数

D．g(x)的值域是{1,0,1}

ex111. 根据题意知，f(x)xx1e221e∵g(1)[f(1)]1e0， 1e211g(1)[f(1)]1，

e12g(1)g(1),g(1)g(1)，

∴函数g(x)既不是奇函数也不是偶函数，A错误；

ex111f(x)f(x)， xx1e21e2∴f(x)是奇函数，B正确； 由复合函数的单调性知f(x)11在R上是增函数，C正确； x21e11xx01,10, ，，e01e1xx1e1e11f(x)，g(x)[f(x)]{1,0}，D错误，E正确.

22故选:BCE.

aabx14．（2020·湖南省宁乡一中高一开学考试）定义运算ab，设函数fx12，则下列

bab精品资源·备战高考

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命题正确的有（ ） A．fx的值域为 1, B．fx的值域为 0,1

C．不等式fx+1f2x成立的范围是,0 D．不等式fx+1f2x成立的范围是0,+ 【答案】AC 【解析】

1(12x), 由函数fx12，有f(x)xx2(12)x2x即f(x)1(x0)，作出函数fx的图像如下，

(x0)

根据函数图像有fx的值域为[1,)， 若不等式fx+1f2x成立，由函数图像有 当2xx10即x1时成立， 当2x0即1x0时也成立.

x10所以不等式fx+1f2x成立时，x0. 故选：AC. 三、单空题

15．（2020·上海高三专题练习）函数y323x的单调递减区间是_________.

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【答案】0, 【解析】

uu令u23x2，则y3，u在x,0上递增，在x0,上递减，而y3是增函数，原函

数的递减区间为0,，故答案为0,.

【方法点睛】判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增 增，减减 增，增减 减，减增 减）.

2n116．18m(m,nN*)，则72n118m_________. （2020·上海高二课时练习）设7【答案】4872n1 【解析】

72n118m(m,nN*)，72n18m1 72n1=72n1724972n1，

72n1149(8m1)1=498m48 =8m+488m48=8m+48(8m1)

=8m+4872n1

故答案为：4872n1

17．（2020·上海高三专题练习）若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围为________． 【答案】[－1,1] 【解析】

画出曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示

由图象可得|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]．

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四、双空题

18．（2019·北京市第二十五中学高一期中）在①最小的数值________（填序号）. 【答案】③. ①. 【解析】 ①1、

③1④21中，最大的数是________；②2、221211212；②2211211122112. ；③；④22222221所以最大的是③，最小的是①. 故答案为：(1). ③. (2). ①.

xx19．（2020·上海高一课时练习）函数y2的图象与函数y2的图象关于________对称，它们的交点坐

标是_________.

【答案】y轴 0,1 【解析】

xx函数y2的图象与函数y2的图象如下：

由指数函数的性质可知，函数y2的图象与函数y2的图象关于y轴对称，它们的交点坐标是0,1.

xx故答案为：y轴；0,1.

20．（2020·上海高一课时练习）已知函数f(x)2x值为_________. 【答案】2

22x,x[0,3]，则该函数的最大值为__________，最小

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【解析】

函数gxx22xx11在[0,1)上单调递增，在(1,3]上单调递减，且g0=0，g33，

2g11

gx[3,1]，

11gxx2，即函数f(x)的最大值为2，最小值为. 函数y2单调递增，288故答案为：2；

1 82xa，x＞221．（2020·浙江省诸暨中学高二期中）设函数f（x），若a＝1，则f（f（2））＝_____；

ax1，x2若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是_____． 【答案】9 [3，+∞） 【解析】

若a＝1，则f(f(2))＝f(3）＝23+1＝9， 当x＞2时，f（x）＝2x+a＞4+a，

当x≤2时，由函数的值域为R可知，a＞0，此时f(x)≤2a+1， 结合分段函数的性质可知，2a+1≥a+4即a≥3． 故答案为：9；[3，+∞）． 五、解答题

22．（2018·江苏省启东中学高一开学考试）若aa11，求下列各式的值: （1）a2a2；（2）a3a3；（3）aa1；（4）a3

【答案】（1）3（2）4（3）5（4）【解析】

（1）aa11，

54 2(aa1)2a2a221， a2a23．

（2）a3a3(aa1)(a2a21)1(31)4．

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（3）(aa1)2a2a22325，

aa15．

（4）a3a3(aa1)(a2a21)5(32)5， 即a3a35，由（2）得：a3a34，

a354 223．（2020·上海高一课时练习）已知函数f(x)求实数a的取值范围. 【答案】(0,1)(2,) 【解析】

aaxax（其中a0且a1）在R上是增函数，2a2aaxax（其中a0且a1）在R上是增函数， 2a2axx0，故a2； 当a1时，ya和ya单调递增，故只需满足2a2axx0，故0a1； 当0a1时，ya和ya单调递减，故只需满足2a2函数f(x)综上所述：a(0,1)(2,).

24．（2020·上海高三专题练习）已知x3,2，求f(x)【答案】最小值【解析】

111的最小值与最大值． xx423；最大值57 41113fxxx14x2x122x2x12x,

4224∵x3,2, ∴则当2x212x8. 413,即x1时,fx有最小值；当2x8,即x3时，fx有最大值 24x225．（2019·黑龙江省大庆四中高一月考（文））已知函数f(x)a(a0,且a1,x0)的图像经过点

(3,0.5)，

（1）求a值；

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（2）求函数f(x)a【答案】（1）a【解析】 （1）

x2(x0)的值域；

1（0,4] （2）2函数fxax2的图像经过点3,0.5

a320.5

a1 2x21（2）由（1）可知fx20x0

11 fx在[0,）上单调递减，则fx在x0时有最大值 2fxmax又

1f0f4

22fx0

函数fx的值域为（0,4]

xx26．（2019·攀枝花市第十五中学校高一月考）设函数f(x)aa(a0,a1).

1112（1）若f()aa23，求a2a2的值.

2（2）若f(1)3，求函数f(x)的解析式； 22x（3）在（2）的条件下，设g(x)a【答案】（1）7；（2）2；（3）3. 【解析】

a2x2mf(x)，g(x)在[1,)上的最小值为1，求m.

（1）由题意知a2a23，可得(a2a2)2aa129，可得aa17， 又由(aa）aax12221111249，可得a2a247.

x313，可得a， 2a21整理得2a23a20，解得a2或a（舍去），

2（2）由函数f(x)aa，且f(1)精品资源·备战高考

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xx所以函数fx的解析式为f(x)22.

xx（3）由（2）知f(x)22，

可得g(x)a2xa2x2mf(x)22x22x2m2x2x2x2x2m2x2x2，

2xx222令tf(x)22，可得h(t)t2mt2(tm)2m，

xx又由函数f(x)22为增函数，因为x1，所以tf(1)3， 232，当tm时，h(t)min2m1，即m3，解得m3， 21773333m1，解得m，舍去. 当m，当t时，h(t)min22442当m综上可知m3.

x27．（2020·山东省莱州一中高二月考）如图所示的函数F(x)的图象，由指数函数f(x)a与幂函数

g(x)xb“拼接”而成．

（1）求F(x)的解析式； （2）比较ab与ba的大小； （3）已知(m4)b(32m)b，求m的取值范围．

1x1,x12164【答案】（1）F(x)；（2）abba；（3）(,).

13312x,x4【解析】

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1x11,xa1611416bx（1）将,分别代入f(x)a，g(x)x，求得，所以F(x)；

1421b12x,x241132116113216，即abba； （2）因为()，所以()()22221（3）由题意(m4)21m40,113. m解得2，根据定义域和单调性，有{32m0,(32m)32m432m,试题解析：

1x11114,xaa,164216 （1）由题意得b解得{∴F(x)11,1112b,x,x22441132116113216（2）因为()，所以()，即abba． ()22221（3）由题意(m4)12(32m)，

12m40,13所以{32m0,解得m，

32m432m,所以m的取值范围是(,)．

1233精品资源·备战高考