一、计算天体的质量
方法 称量地球的质量 重力加速度法 忽略地球自转影响，重力等计算太阳的质量 环绕法 万有引力提供向心力 2Mm4πG2＝mr2 rT理论依据 于万有引力 Mmmg＝G2 R结果 gR2M＝ G(1)R为地球半径 (2)g为地球表面的重力加4πrM＝2 23GT(1)r为行星绕太阳做匀速圆周运动的半径 (2)T为行星绕太阳做匀速圆周运动的周期 说明 速度 (3)这两种方法同样适用于计算其他天体的质量 (4)求出天体的质量后，还可以进一步计算其密度 二、 发现未知天体
应用万有引力定律可以计算天体的质量，还可以发现未知天体，海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。
1．海王星的发现
英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
2．其他天体的发现
近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。
1．自主思考——判一判
(1)地球表面的物体，重力就是物体所受的万有引力。(×) (2)绕行星匀速转动的卫星，万有引力提供向心力。(√)
(3)利用地球绕太阳转动，可求地球的质量。(×)
(4)海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性。(√) (5)科学家在观测双星系统时，同样可以用万有引力定律来分析。(√) 2．合作探究——议一议
(1)天体实际做什么运动？在处理问题时我们可以认为天体做什么运动？
提示：天体实际做椭圆轨道运动，而在处理相关问题时我们可以认为天体做匀速圆周运动。
(2)若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，由此可以求出地球的质量吗？能否求出月球的质量呢？
23
Mm2π24πr提示：能求出地球的质量。利用G2＝mr求出的质量M＝为中心天体的质量。
rGT2T
做圆周运动的月球的质量m在等式中已消掉，所以根据月球的周期T、公转半径r，无法计算月球的质量。
天体质量和密度的计算
1．天体质量的计算 (1)重力加速度法
若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近
MmgR2
似等于天体对物体的引力，得mg＝G2，解得天体的质量为M＝，g、R是天体自身的参量，
RG所以该方法俗称“自力更生法”。
(2)环绕法
借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下：
万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明 Mmv2G2＝m rrMmG2＝mrω2 rrv2M＝ GrωM＝ G32r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期 2Mm4πG2＝mr2 rT4πrM＝2 23GT 2．天体密度的计算
若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝
43πR3
M4πr3πr，将M＝2代入上式可得ρ＝23。
233
GTGTR特殊情况，当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝3π
GT2
。
[典例] 利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是( ) A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转) B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期 C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离 D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
[解析] 在地球表面附近，在不考虑地球自转的情况下，物体所受重力等于地球对物体
GMmgR2
的万有引力，有2＝mg，可得M＝，A项能求出地球质量。根据万有引力提供卫星、月球、
RG2π2GMmmv2v3TGMm月地球做圆周运动的向心力，由2＝，vT＝2πR，解得M＝；由2＝m月r，解得
RR2πGrT月4πrGM日M2πM＝2；由2＝M2r日，会消去两边的M；故B、C项能求出地球质量，D项不能求出
23
GT月r日
T日
地球质量。
[答案] D
求解天体质量和密度时的两种常见错误 4πr(1)根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝2是中心天体的质量，而不是行星(或卫23GT星)的质量。 (2)混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习3πr惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如ρ＝23误3GTR约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R。
1．中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一可视为均匀球体的中1
子星，观测到它的自转周期为T＝ s，要维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解的最小密度
30ρ约是(引力常量G＝6.67×10
A．ρ＝1.27×10 kg/m B．ρ＝1.27×10 kg/m C．ρ＝1.27×10 kg/m D．ρ＝1.27×10 kg/m
16
3
15
3
13
3
14
3
－11
N·m/kg)( )
22
Mm4π2
解析：选A 选赤道处质量为m的物体为研究对象，由万有引力提供向心力得：G2＝m2
RTMM3π143
R，密度为：ρ＝＝ ，联立解得：ρ＝2，代入数据解得：ρ＝1.27×10 kg/m，故
V43GTπR3
A正确，B、C、D错误。
2．[多选]若宇航员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，万有引力常量为G。则下列说法正确的是( )
2hv0
A．月球表面的重力加速度g月＝2
2
L2hRv0
B．月球的质量m月＝2
22
GL2πRC．月球的自转周期T＝ v0
3hv0D．月球的平均密度ρ＝2
2πGL12hv02
解析：选AB 根据平抛运动规律，L＝v0t，h＝g月t，联立解得g月＝2，选项A正确；
2L22
mm月2hRv0
由mg月＝G2解得m月＝，选项B正确；根据题目条件无法求出月球的自转周期，选项
RGL2
2
2
C错误；月球的平均密度ρ＝
m月
4
πR3 3hv0
＝2，选项D错误。 2πGLR3
天体运动的分析与计算 2
1．基本思路
一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有
引力提供，所以研究天体时可建立牛顿第二定律方程G2＝ma，式中a是向心加速度。
2．常用关系
2
Mmv24π2
(1)G2＝m＝mrω＝mr2，万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力。
rrTMmr(2)mg＝G2，在天体表面上物体的重力等于它受到的引力，可得gR＝GM，该公式称为黄金代换。
[典例] 有的天文学家倾向于把太阳系外较小的天体叫做“矮行星”，而另外一些人把它们叫做“小行星”，谷神星就是小行星之一。现有两个这样的天体，它们的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，求：
(1)它们与太阳间的万有引力之比。 (2)它们的公转周期之比。
[解析] (1)设太阳质量为M，由万有引力定律得，两天体与太阳间的万有引力之比＝MmR2
F1F2
GMm1
r12m1r22
＝。 Mm2m2r12G2r2
Mm2π(2)两天体绕太阳的运动可看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，则有G2＝mrT
2
r，
所以，天体绕太阳运动的周期T＝2π
r3， GMr13
。 r23T1
则两天体绕太阳的公转周期之比＝
T2m1r22
[答案] (1) (2)
m2r12r13
r23 天体运动的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径的关系 vGM1m→v＝ →v∝越高rrrGMm＝ r越慢GM1mrω→ω＝→ω∝rr4π4πrmr→T＝→T∝rTGM2223322332GM1ma→a＝2→a∝2rr
1．由于某种原因，人造地球卫星的轨道半径减小了，那么，卫星的( ) A．速率变小，周期变小 C．速率变大，周期变大
B．速率变小，周期变大 D．速率变大，周期变小
解析：选D 人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量
Mmv24π2
为m、轨道半径为r、地球质量为M，有G2＝m＝m2r得：v＝
rrT以当轨道半径减小时，其速率变大，周期变小，故D正确。
GM，T＝2π rr3，所GM2.如图所示，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a、b到地心O的距离分别为r1、r2，线速度大小分别为v1、v2，则( )
A.＝v1v2r2
r1
B.＝v1v2r1 r2
C.＝
rv1r22v21
D.＝
rv1r12v22
GMmv2
解析：选A 对人造卫星，根据万有引力提供向心力2＝m，可得v＝
rr对于a、b两颗人造卫星有＝GM。 所以rv1v2r2
，故选项A正确。 r1
3．如图所示，A是静止在赤道上随地球自转的物体，B、C是同在赤道平面内的两颗人造卫星，B位于离地高度等于地球半径的圆形轨道上，C是地球同步卫星。则下列说法正确的是( )
A．物体A随地球自转的角速度大于卫星B的角速度 B．卫星B的线速度小于卫星C的线速度
C．物体A随地球自转的向心加速度小于卫星C的向心加速度 D．物体A随地球自转的周期大于卫星C的周期
解析：选C C为地球同步卫星，即角速度和地球自转角速度相同，运行周期与地球自转周期相同，轨道半径大于卫星B的轨道半径，根据公式G2＝mωr可得ω＝
Mmr2
GM，即ωA＝r3
Mmv2
ωC<ωB，A、D错误；根据公式G2＝m可得v＝
rr2
GM，即运动半径越大，卫星的线速度越小，r故vC (1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比。 (2)试写出它们角速度的表达式。 [解析] 双星之间相互作用的引力满足万有引力定律，即F＝G宇宙双星问题 m1m2 ，双星依靠它们之间相L2 互作用的引力提供向心力，又因为它们以二者连线上的某点为圆心，所以半径之和为L且保持不变，运动中角速度不变，如图所示。 (1)分别对m1、m2应用牛顿第二定律列方程， 对m1有G对m2有Gm1m22 2＝m1ωr1① Lm1m22 2＝m2ωr2② Lr1m2r2m1 由①②得＝； 由线速度与角速度的关系v＝ωr，得＝＝。 (2)由①得r1＝ v1r1m2v2r2m1 Gm2Gm1 ， 22，由②得r2＝2 LωLω2 Gm1＋m2 。 L3 又L＝r1＋r2，联立以上三式得ω＝ [答案] (1)见解析 (2)ω＝Gm1＋m2 L3 如图所示，宇宙中两个靠得比较近的天体称为双星，它们绕其连线上的某固定点做匀速圆周运动。双星具有以下特点： (1)由于双星和该固定点总保持三点共线，所以双星做匀速圆周运动的角速度和周期分别相同。 (2)由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等。由F＝mrω和L＝r1＋r2，可得r1＝2m1r1m2L，r2＝L，则＝。 m1＋m2m1＋m2r2m1 m21.天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。如图所示，是某双星系统中A、B两颗恒星围绕它们连线上的固定点O分别做匀速圆周运动，在运动中恒星A、B的中心和O三点始终共线，下列说法正确的是( ) A．恒星A的角速度比恒星B的角速度小 B．恒星A的线速度比恒星B的线速度小 C．恒星A受到的向心力比恒星B受到的向心力小 D．恒星A的质量比恒星B的小 解析：选D 由于二者具有相同的周期，故二者角速度ωA＝ωB，故选项A错误；根据公式v＝ωr，由于二者角速度相同，A的半径大，则恒星A的线速度比恒星B的线速度大，故选项B错误；恒星A受到的向心力和恒星B受到的向心力均由二者之间的万有引力提供，而万有引力大小相等，故二者向心力大小相等，故选项C错误；根据上面的分析可知：mAωrA＝mBωrB，由于rA>rB，故mA 解析：设两星球质量分别为m1和m2，做圆周运动的半径分别为r1和R－r1，则由万有引力提供向心力得 4πm1 22 2 TT2 m1m2 r1＝G2① RR4πm2m1m2 (R－r1)＝G2② 2 由①②可得m1r1＝m2(R－r1)③ 则＝ 2 m2m1＋m2 ④ r1R23 m24π2R2m1＋m24πR由①④得＝＝，所以m1＋m2＝。 r1GT2RGT2 4πR答案：2 23 GT 1．[多选]下面说法中正确的是( ) A．海王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的 B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的 C．天王星的运动轨道偏离是根据万有引力定律计算出来的，其原因是由于天王星受到轨道外面其他行星的引力作用 D．冥王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的 解析：选ACD 人们通过望远镜发现了天王星，经过仔细的观测发现，天王星的运行轨道与根据万有引力定律计算出来的轨道总有一些偏差，于是认为天王星轨道外面还有一颗未发现的行星，它对天王星的吸引使其轨道产生了偏差。英国的亚当斯和法国的勒维耶根据天王星的观测资料，独立地利用万有引力定律计算出这颗新行星的轨道，后来用类似的方法发现了冥王星。故A、C、D正确，B错误。 2．已知金星和地球的半径分别为R1、R2，金星和地球表面的重力加速度分别为g1、g2，则金星与地球的质量之比为( ) g1R21 A.2 g2R2g2R21C.2 g1R2 g1R22B.2 g2R1g2R22D.2 g1R1 MmgR2M金 解析：选A 根据星球表面物体重力等于万有引力，即mg＝G2，得M＝，所以有＝ RGM地 g1R21 ，故A正确，B、C、D错误。 g2R22 3．人造地球卫星以地心为圆心，做匀速圆周运动，下列说法正确的是( ) A．半径越大，速度越小，周期越小 B．半径越大，速度越小，周期越大 C．所有卫星的速度均是相同的，与半径无关 D．所有卫星的角速度均是相同的，与半径无关 GMm解析：选B 本题考查对万有引力定律的应用问题，由F＝ R＋hmv2 (R＋h)＝，2＝mT2R＋h4π 2 可知半径越大，速度越小，周期越大；卫星的线速度、角速度与半径有关。 4．假设火星和地球都是均匀球体，火星的质量M火和地球的质量M地之比半径R火和地球的半径R地之比加速度g地之比等于( ) A.2 C. M火 ＝p，火星的M地 R火 ＝q，那么火星表面处的重力加速度g火和地球表面处的重力R地 pqpqB．pq D．pq 2 MmGMg火M火R2p地 解析：选A 根据G2＝mg解得g＝2；所以＝·2＝2， 故A正确。 RRg地M地R火q5．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为41 天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的。该中心恒星与太阳的质量比约为( ) 20 A.1 B．1 10 C．5 D．10 解析：选B 行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得 Mm4π2M1r1T21365 G2＝m2r，则＝3·2＝3×2≈1，选项B正确。 rTM2r2T1204 6.如图所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道。若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知万有引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是( ) 4πnA．M＝4πB．M＝ 222 R＋hGt22 3 3πn，ρ＝ 2 R＋hGt2R32 3 R＋hGt2R＋hGn2 3π，ρ＝ 3 R＋hGt2R3 2 3 4πtC．M＝4πD．M＝ 2 22 3πt，ρ＝ R＋h23GnR3 R＋hGt2 3 3π，ρ＝ R＋hGt2R3 ＝m4π 2 Mm解析：选A 根据万有引力提供向心力有GR＋h22 t4πnR＋h＝，得土星的质量：M＝nGt23 2 T2 (R＋h)，又卫星的周期为TM43 ，由密度的定义式为ρ＝，土星的体积为V＝πR， V3 3πn得土星的密度ρ＝ 2 R＋hGt2R3 3 ，故A正确。 7．若将地球同步卫星和月球绕地球的运动均视为匀速圆周运动，下列相关说法正确的是( ) A．月球的周期比同步卫星的周期小 B．月球的角速度比同步卫星的角速度大 C．月球的线速度比同步卫星的线速度大 D．月球的向心加速度比同步卫星的向心加速度小 解析：选D 地球同步卫星的轨道半径小于月球的轨道半径，卫星绕地球做圆周运动的向 Mmv22π22 心力由万有引力提供，由G2＝m＝mr＝ma＝mrω；可得周期：T＝rrT 4πr23GM，可知半 径越大，则周期越大，则月球的周期比同步卫星的周期大，故选项A错误；角速度ω＝故ω <ω ，故B错误；线速度v＝ GM，r3 月同 GMGM，v月 A.C.3π3π g0－g GT2g0 B.D. 3πg0 GTg0－g2 GT2 3πg0 2 GTg解析：选B 由万有引力定律可知：G2＝mg0，在地球的赤道上：G2－mg＝m433πg0 球的质量：M＝πRρ，联立三式可得：ρ＝2，B正确。 3GTg0－g MmRMmR2π2R，地 T 9．[多选]如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，万有引力常量为G，则( ) 5GMA．甲星所受合外力为2 4R2 GM2 B．乙星所受合外力为2 RC．甲星和丙星的线速度相同 D．甲星和丙星的角速度相同 GM2GM2 解析：选AD 甲星所受合外力为乙、丙对甲星的万有引力的合力：F甲＝2＋＝RR2 5GM2，A正确；由对称性可知，甲、丙对乙星的万有引力等大反向，乙星所受合外力为0，B4R错误；由甲、乙、丙位于同一直线上可知，甲星和丙星的角速度相同，由v＝ωR可知，甲星和丙星的线速度大小相同，但方向相反，故C错误，D正确。 10．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N。已知引力常量为G，则这颗行星的质量为( ) 2 mv2A. GNNv2C. Gmmv4B. GNNv4D. GmGNMmv2 解析：选B 根据G＝mg，所以g＝＝，根据万有引力提供向心力得：G2＝m＝mg， mmRRmv4 解得：M＝，故B正确。 GN11．质量分别为m1和m2的两个星球，绕同一圆心做匀速圆周运动，它们之间的距离恒为 l，不考虑其他星体的影响，两颗星球的轨道半径和周期各是多少？ 解析：设m1的轨道半径为R1，m2的轨道半径为R2，由于它们间的距离恒定，因此双星在空间的绕向一定相同，所以角速度和周期也都相同。 对m1：G对m2：Gm1m22π2① ＝mR11Tl2m1m22π2② 2＝m2R2lTR1m2 R2m1 由①②可得＝③ 又由于R1＋R2＝l④ m2lm1l由③④得R1＝，R2＝，将其代入①或②式可得T＝2π m1＋m2m1＋m2m2lm1l答案： 2π m1＋m2m1＋m2 l3 Gm1＋m2 l3 Gm1＋m2 。 12．宇航员来到某星球表面做了如下实验：将一小钢球以v0的初速度竖直向上抛出，测得小钢球上升离抛出点的最大高度为h(h远小于星球半径)，该星球为密度均匀的球体，引力常量为G，求： (1)该星球表面的重力加速度； (2)若该星球的半径为R，忽略星球的自转，求该星球的密度。 解析：(1)根据速度位移公式得：0－v0＝－2gh 2 v20 得g＝。 2hMm43 (2)根据G2＝mg及M＝ρ·πR R3 3v0 联立解得星球密度ρ＝。 8πGRh2 v23v00 答案：(1) (2) 2 2h8πGRh 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容