2021年年年年年年年年年年年年年年年三年
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1.
16
的相反数是( )
1
A. 6
B. −6 C. 6
D. −6
1
2. 下列几何体中，其三视图的三个视图完全相同的是( )
A.
B.
C.
D.
3. 下列说法正确的是( )
A. 检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查 B. 可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生 C. 数据3，5，4，1，−2的中位数是4
D. “367人中有2人同月同日出生”为必然事件
4. 已知直线𝑎//𝑏，一块直角三角板如图所示放置，若∠1=37°，
则∠2的度数是( )
A. 37° B. 53° C. 63° D. 27°
KB，MB，GB等作为单位，5. 电子文件的大小常用B，其中1𝐺𝐵=210𝑀𝐵，1𝑀𝐵=210𝐾𝐵，
1𝐾𝐵=210B.某视频文件的大小约为1GB，1GB等于( )
A. 230𝐵 B. 830𝐵 C. 8×1010𝐵 D. 2×1030𝐵
6. 如图，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的边OA在x轴
正半轴上，𝐵𝐶//𝑥轴，∠𝑂𝐴𝐵=90°，点𝐶(3,2)，连接𝑂𝐶.以OC为对称轴将OA翻折到𝑂𝐴′，反比例函数𝑦=的图象恰好
𝑥经过点𝐴′、B，则k的值是( )
𝑘
A. 9
B. 3
13
C.
16915
D. 3√3
7. 定义新运算“𝑎∗𝑏”：对于任意实数a，b，都有𝑎∗𝑏=(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)−1，其中
等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4∗3=(4+3)(4−3)−1=7−1=6.若𝑥∗𝑘=𝑥(𝑘为实数)是关于x的方程，则它的根的情况为( )
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A. 有一个实数根 C. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根
8. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快
递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为( )
A. 500(1+2𝑥)=7500 B. 5000×2(1+𝑥)=7500 C. 5000(1+𝑥)2=7500
D. 5000+5000(1+𝑥)+5000(1+𝑥)2=7500
9. 如图，A、B的坐标分别为(2,0)、(0,1).若将线段AB平移至𝐴1𝐵1，𝐴1、𝐵1的坐标分
別(3,𝑏)、(𝑎,2)，则𝑎+𝑏的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐵𝐶=√3，∠𝐵𝐴𝐶=30°，分别以点
A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为( )
A. 6√3 B. 9 C. 6 D. 3√3
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分） 11. 与√14−2最接近的自然数是______．
𝑥>𝑎,12. 已知关于x的不等式组{其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个不等
𝑥>𝑏,
式组的解集为______．
13. 在一个不透明的口袋中装有3个红球、1个黑球，这些球除颜色外其他都相同，在
看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出两个球，摸到的两个球都是红球的概率是______．
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F分别是边AB，14. 如图，在边长为2√2的正方形ABCD中，点E，
BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为______．
⏜于点D，OD平分∠𝐵𝑂𝐶交𝐵𝐶∠𝐵𝑂𝐶=60°，15. 如图，在扇形BOC中，
点E为半径OB上一动点．若𝑂𝐵=2，则阴影部分周长的最小值为______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分） 16. 先化简，再求值：
17. 距离中考体考时间越来越近，年级想了解初三年级1512名学生周末在家体育锻炼
的情况，在初三年级随机抽取了18名男生和18名女生，对他们周末在家的锻炼时间进行了调查，并收集得到了以下数据(单位：分钟)
男生：28，30，32，46，68，39，80，70，66，57，70，95，100，58，69，88，99，105
女生：36，48，78，99，56，62，35，109，29，88，88，69，73，55，90，98，69，72
统计数据，并制作了如下统计表：
时间x 男生 女生 2 1 𝑥2−2𝑥𝑥
÷(𝑥−𝑥)，其中𝑥=3．
4
30<𝑥≤60 5 5 60<𝑥≤90 7 9 90<𝑥 4 3 分析数据：两组数据的方差、平均数、中位数、众数如表所示
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男生 女生 平均数 66.7 69.7 中位数 a 70.5 众数 70 b 方差 617.3 547.2 (1)请将上面的表格补充完整：𝑎=________，𝑏=________；
(2)已知该年级男女生人数差不多，根据调查的数据，估计初三年级周末在家锻炼的时间在90分钟以上(不包含90分钟)的同学约有多少人⋅
(3)王老师看了表格数据后认为初三年级的女生周未锻炼做得比男生好，请你结合统计，数据，写出两条支持王老师观点的理由．
18. 数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度．如图所示，炎
帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．(精确到1𝑚.参考数据：𝑠𝑖𝑛34°≈0.56，𝑐𝑜𝑠34°=0.83，𝑡𝑎𝑛34°≈0.67，√3≈1.73)
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19. 为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高
科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量𝑦(单位：台)和销售单价𝑥(单位：万元)成一次函数关系． (1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
而“利用尺规作图三等分一个任意角”20. 我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，
曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具--三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．
使用方法如图2所示，若要把∠𝑀𝐸𝑁三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠𝑀𝐸𝑁的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，
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则EB，EO就把∠𝑀𝐸𝑁三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，𝐸𝐵⊥𝐴𝐶，垂足为点B，______． 求证：______．
21. 如图，抛物线𝑦=−𝑥2+2𝑥+𝑐与x轴正半轴，y轴正半轴
分别交于点A，B，且𝑂𝐴=𝑂𝐵，点G为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及点G的坐标；
(2)点M，N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间(含点M，𝑁)的一个动点，求点Q的纵坐标𝑦𝑄的取值范围．
22. 小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图，点D是BC上一动点，线段BC=8cm，点A是线段BC的中点，过点C作CF//BD，交DA的延长线于点𝐹.当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度．
⌒
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小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：
(1)根据点D在BC上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下表的几组对应值． BD/cm 0 CD/cm FD/cm 8.0 8.0 1.0 7.7 7.4 2.0 7.2 6.9 3.0 6.6 6.5 4.0 5.9 a 6.1 6.0 5.0 6.0 3.9 6.2 7.0 2.4 0 6.7 8.0 8.0 ⌒
操作中发现：
①“当点D为BC的中点时，BD=5.0cm”.则上表中a的值是______； ②“线段CF的长度无需测量即可得到”.请简要说明理由．
CD和FD的长度都是x的函数，(2)将线段BD的长度作为自变量x，分别记为𝑦CD和𝑦FD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数𝑦FD的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数𝑦CD的图象；
⌒
(3)继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值(结果保留一位小数)．
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23. 将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至𝐴𝐵′，记旋转角为𝛼，连接𝐵𝐵′，过点
D作DE垂直于直线𝐵𝐵′，垂足为点E，连接𝐷𝐵′，CE．
(1)如图1，△𝐷𝐸𝐵′的形状为______，当𝛼=60°时，连接BD，可求出𝐶𝐸的值为______； (2)当0°<𝛼<360°且𝛼≠90°时，
①(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②当以点𝐵′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出𝐵′𝐸的值．
𝐵𝐸𝐵𝐵′
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答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：6的相反数是−6， 故选：D．
只有符号不同的两个数是互为相反数，在数轴上表示，分别位于原点的两侧，且到原点距离相等的两点所表示的数是互为相反数．
本题考查相反数的意义和求法，理解相反数的意义是正确解答的前提．
1
1
2.【答案】D
【解析】解：A、圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，错误； B、圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误； C、三棱锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误； D、球的三视图完全相同，都是圆，正确； 故选：D．
找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可．
考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．
3.【答案】D
【解析】 【分析】
本题主要考查可能性的大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数概念、随机事件，熟练掌握基本定义是解题的关键．
根据可能性的大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数概念、必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可． 【解答】
解：A、检测某批次灯泡的使用寿命，调查具有破坏性，应采用抽样调查，此选项错误； B、可能性是1%的事件在一次试验中可能发生，此选项错误； C、数据3，5，4，1，−2的中位数是3，此选项错误；
D、“367人中有2人同月同日出生”为必然事件，此选项正确； 故选：D．
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4.【答案】B
【解析】解：作直线𝐴𝐵//𝑎，
∵𝑎//𝑏
∴𝐴𝐵//𝑎//𝑏， ∵𝐴𝐵//𝑎， ∴∠1=∠3， ∵𝐴𝐵//𝑏， ∴∠2=∠4， ∵∠3+∠4=90°， ∴∠1+∠2=90°， ∵∠1=37°，
∴∠2=90°−37°=53°， 故选：B．
首先作平行线，然后根据平行线的性质可得到∠1+∠2=90°，据此求出∠2的度数． 本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．
5.【答案】A
【解析】解：由题意得：210×210×210𝐵=210+10+10=230𝐵， 故选：A．
列出算式，进行计算即可．
本题考查同底数幂的乘法，底数不变，指数相加是计算法则．
6.【答案】C
【解析】解：如图，过点C作𝐶𝐷⊥𝑥轴于D，过点𝐴′作𝐴′𝐺⊥𝑥轴于G，连接𝐴𝐴′交射线OC于E，过E作𝐸𝐹⊥𝑥轴于F， 设𝐵(2,2)，
在𝑅𝑡△𝑂𝐶𝐷中，𝑂𝐷=3，𝐶𝐷=2，∠𝑂𝐷𝐶=90°， ∴𝑂𝐶=√𝑂𝐷2+𝐶𝐷2=√32+22=√13， 由翻折得，𝐴𝐴′⊥𝑂𝐶，𝐴′𝐸=𝐴𝐸， ∴sin∠𝐶𝑂𝐷=𝑂𝐴=𝑂𝐶，
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𝐴𝐸
𝐶𝐷
𝑘
∴𝐴𝐸=
𝐶𝐷⋅𝑂𝐴𝑂𝐶
=
2×
𝐾2√13=
√13
𝑘， 13
∵∠𝑂𝐴𝐸+∠𝐴𝑂𝐸=90°，∠𝑂𝐶𝐷+∠𝐴𝑂𝐸=90°， ∴∠𝑂𝐴𝐸=∠𝑂𝐶𝐷， ∴sin∠𝑂𝐴𝐸=∴𝐸𝐹=
𝑂𝐷⋅𝐴𝐸𝑂𝐶
𝐸𝐹𝐴𝐸
=
3𝑂𝐷𝑂𝐶
=sin∠𝑂𝐶𝐷，
√13𝑘13
=
√×13=13𝑘，
3
∵cos∠𝑂𝐴𝐸=𝐴𝐸=𝑂𝐶=cos∠𝑂𝐶𝐷， ∴𝐴𝐹=𝑂𝐶⋅𝐴𝐸=
𝐶𝐷
2√𝐴𝐹𝐶𝐷
×13√13𝑘13
=13𝑘，
2
∵𝐸𝐹⊥𝑥轴，𝐴′𝐺⊥𝑥轴， ∴𝐸𝐹//𝐴′𝐺， ∴
𝐸𝐹𝐴′𝐺
=
𝐴𝐹𝐴𝐺
=
=，
𝐴𝐴′2
6
4
𝐴𝐸1
∴𝐴′𝐺=2𝐸𝐹=13𝑘，𝐴𝐺=2𝐴𝐹=13𝑘， ∴𝑂𝐺=𝑂𝐴−𝐴𝐺=2−13𝑘=26𝑘， ∴𝐴′(26𝑘,13𝑘)， ∴
526
5
6
𝑘
4
5
𝑘⋅
613
𝑘=𝑘，
∵𝑘≠0， ∴𝑘=
16915
，
故选：C．
𝐴′𝐺=2𝐸𝐹，𝐴𝐺=2𝐴𝐹，设𝐵(2,2)，由翻折知OC垂直平分𝐴𝐴′，由勾股定理得𝑂𝐶=√13，根据相似三角形或锐角三角函数可求得𝐴′(26𝑘,13𝑘)，根据反比例函数性质𝑘=𝑥𝑦建立方程求k．
本题是反比例函数综合题，常作为考试题中选择题压轴题，考查了反比例函数点的坐标特征、相似三角形、翻折等，解题关键是通过设点B的坐标，表示出点𝐴′的坐标．
5
6
𝑘
7.【答案】C
【解析】解：∵𝑥∗𝑘=𝑥(𝑘为实数)是关于x的方程， ∴(𝑥+𝑘)(𝑥−𝑘)−1=𝑥， 整理得𝑥2−𝑥−𝑘2−1=0， ∵△=(−1)2−4(−𝑘2−1)
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=4𝑘2+5>0，
∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C．
利用新定义得到(𝑥+𝑘)(𝑥−𝑘)−1=𝑥，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用△>0可判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的根与△=𝑏2−4𝑎𝑐有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
8.【答案】C
【解析】解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x， 由题意得：5000(1+𝑥)2=7500， 故选：C．
2017年的快递业务量×(1+增长率)2=2019年的快递业务量，根据题意可得等量关系：根据等量关系列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为𝑎(1±𝑥)2=𝑏．
9.【答案】A
【解析】解：观察图形可知将线段向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到线段𝐴1𝐵1， ∴𝑎=1，𝑏=1， ∴𝑎+𝑏=2， 故选：A．
观察图形可知将线段向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到线段𝐴1𝐵1． 本题考查平移变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】D
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【解析】解：连接BD交AC于O，
∵𝐴𝐷=𝐶𝐷，𝐴𝐵=𝐵𝐶， ∴𝐵𝐷垂直平分AC， ∴𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，𝐴𝑂=𝐶𝑂， ∵𝐴𝐵=𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐵𝐴𝐶=30°， ∵𝐴𝐶=𝐴𝐷=𝐶𝐷， ∴△𝐴𝐶𝐷是等边三角形， ∴∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐷𝐶𝐴=60°，
∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐶𝐷=90°，∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐶𝐷𝐵=30°， ∵𝐴𝐵=𝐵𝐶=√3， ∴𝐴𝐷=𝐶𝐷=√3𝐴𝐵=3，
∴四边形ABCD的面积=2×2×3×√3=3√3， 故选：D．
连接BD交AC于O，根据已知条件得到BD垂直平分AC，求得𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，𝐴𝑂=𝐶𝑂，根据等腰三角形的性质得到∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐵𝐴𝐶=30°，根据等边三角形的性质得到∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐷𝐶𝐴=60°，推出∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐶𝐷=90°，求得𝐴𝐷=𝐶𝐷=√3𝐴𝐵=3，于是得到结论． 本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
1
11.【答案】2
【解析】 【分析】
本题考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
根据3.5<√14<4，可求1.5<√14−2<2，依此可得与√14−2最接近的自然数． 【解答】
解：∵3.5<√14<4，
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∴1.5<√14−2<2，
∴与√14−2最接近的自然数是2． 故答案为：2．
12.【答案】𝑥>𝑎
【解析】 【分析】
本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，先根据题意得出不等式组的解集是解答此题的关键．
根据关于x的不等式组的解集表示在数轴上表示方法求出x的取值范围即可． 【解答】
解：∵𝑏<0<𝑎，
𝑥>𝑎,∴关于x的不等式组{的解集为：𝑥>𝑎，
𝑥>𝑏,故答案为：𝑥>𝑎．
13.【答案】2
【解析】解：树状图如图所示，
1
摸到的两个球都是红球的概率=12=2， 故答案为2
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出的两个球中，2个为红球的情况，再利用概率公式即可求得答案；
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
1
61
14.【答案】1
【解析】
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【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
设DF，CE交于O，根据正方形的性质得到∠𝐵=∠𝐷𝐶𝐹=90°，𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐴𝐵，根据∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐶𝐷𝐹，线段中点的定义得到𝐵𝐸=𝐶𝐹，根据全等三角形的性质得到𝐶𝐸=𝐷𝐹，求得𝐷𝐹⊥𝐶𝐸，根据勾股定理得到𝐶𝐸=𝐷𝐹=√(2√2)2+(√2)2=√10，点G，H分别是EC，FD的中点，根据相似三角形的判定和性质列出比例式，即可得到结论． 【解答】
解：设DF，CE交于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠𝐵=∠𝐷𝐶𝐹=90°，𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐴𝐵， ∵点E，F分别是边AB，BC的中点， ∴𝐵𝐸=𝐶𝐹，
∴△𝐶𝐵𝐸≌△𝐷𝐶𝐹(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐶𝐸=𝐷𝐹，∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐶𝐷𝐹， ∵∠𝐶𝐷𝐹+∠𝐶𝐹𝐷=90°， ∴∠𝐵𝐶𝐸+∠𝐶𝐹𝐷=90°， ∴∠𝐶𝑂𝐹=90°， ∴𝐷𝐹⊥𝐶𝐸，
∴𝐶𝐸=𝐷𝐹=√(2√2)2+(√2)2=√10， ∵点G，H分别是EC，FD的中点， ∴𝐶𝐺=𝐹𝐻=
√10， 2
∵∠𝐷𝐶𝐹=90°，𝐶𝑂⊥𝐷𝐹，∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐶𝐷𝐹， ∴△𝐶𝑂𝐹∽△𝐷𝐶𝐹， ∴𝐶𝐹2=𝑂𝐹⋅𝐷𝐹， ∴𝑂𝐹=∴𝑂𝐻=
𝐶𝐹2𝐷𝐹
=
(√2)2√10==
√10， 54√10， 5
3√10，𝑂𝐷10
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∵𝐶𝑂⊥𝐷𝐹，∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐶𝐷𝐹， ∴△𝐶𝑂𝐹∽△𝐷𝑂𝐶， ∴𝑂𝐶2=𝑂𝐹⋅𝑂𝐷， ∴𝑂𝐶=√4√10√10×55
=
2√10
， 5
∴𝑂𝐺=𝐶𝐺−𝑂𝐶=
√102
−
2√1051
=
910
√10
， 10
∴𝐻𝐺=√𝑂𝐺2+𝑂𝐻2=√故答案为：1．
10
+=1，
15.【答案】6√2+𝜋 3
【解析】 【分析】
本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．
利用轴对称的性质，得出当点E移动到点𝐸′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与𝐶𝐷′的长度和，分别进行计算即可． 【解答】
解：如图，作点D关于OB的对称点𝐷′，连接𝐷′𝐶交OB于点𝐸′，连接𝐸′𝐷、𝑂𝐷′，
此时𝐸′𝐶+𝐸′𝐷最小，即：𝐸′𝐶+𝐸′𝐷=𝐶𝐷′， 由题意得，∠𝐶𝑂𝐷=∠𝐷𝑂𝐵=∠𝐵𝑂𝐷′=30°， ∴∠𝐶𝑂𝐷′=90°，
∴𝐶𝐷′=√𝑂𝐶2+𝑂𝐷′2=√22+22=2√2， ⏜的长𝑙=𝐶𝐷
30𝜋×2180
=3，
𝜋
6√2+𝜋． 3
𝜋
∴阴影部分周长的最小值为2√2+=
3故答案为：
6√2+𝜋． 3
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16.【答案】解：原式=
=
𝑥(𝑥−2)𝑥𝑥
𝑥(𝑥−2)𝑥
÷(
𝑥 2−4𝑥
)，
×
𝑥(𝑥−2)(𝑥+2)
，
=𝑥+2，
𝑥=3时，原式=5．
【解析】首先将分式的分子与分母进行因式分解，再去括号，约分最后代入求值． 此题主要考查了分式的化简求值问题，正确的因式分解再约分是解决问题的关键．
3
17.【答案】解：(1)68.5，69和88；
1512×=294((2)据表格，可得锻炼时间在90分钟以上的男生有4人，女生有3人，2×18人)，
答：初三年级锻炼时间在90分钟以上的同学有294人．
(3)理由一：因为69.7>66.7，所以女生锻炼时间的平均时间更长，因此女生周末做得更好．
理由二：因为70.5>68.5，所以锻炼时间排序后在中间位置的女生比男生更好，因此女生周末做得更好． 【解析】 【分析】
本题考查频数分布表、中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解各个统计量的意义，是正确计算的前提，样本估计总体是统计常用的方法． (1)通过对女生数据的整理，求出中位数、众数即可；
(2)求出男女生锻炼时间超过90分钟的人数所占的百分比，用1512去乘这个百分比即可；
(3)通过比较男女生的中位数、平均数得出理由． 【解答】
10位的两个数的平均数为(1)将男生数据从小到大排列后，解：处在第9、
68+6924+3
=68.5，
因此中位数𝑏=68.5，女生数据出现次数最多的是69和88，因此众数是69和88， 故答案为：68.5，69和88； (2)见答案． (3)见答案．
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18.【答案】解：∵∠𝐴𝐶𝐸=90°，∠𝐶𝐴𝐸=34°，𝐶𝐸=55𝑚，
∴tan∠𝐶𝐴𝐸=∴𝐴𝐶=
𝐶𝐸𝑡𝑎𝑛34∘
𝐶𝐸𝐴𝐶
，
550.67
≈≈82.1𝑚，
∵𝐴𝐵=21𝑚，
∴𝐵𝐶=𝐴𝐶−𝐴𝐵=61.1𝑚， 在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐷中，∠𝐶𝐵𝐷=60°， 则tan∠𝐶𝐵𝐷=𝑡𝑎𝑛60°=𝐵𝐶=√3， ∴𝐶𝐷=√3𝐵𝐶≈1.73×61.1≈105.7𝑚， ∴𝐷𝐸=𝐶𝐷−𝐸𝐶=105.7−55≈51𝑚， 答：炎帝塑像DE的高度约为51m．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．由三角函数求出𝐴𝐶=𝑡𝑎𝑛34∘≈82.1𝑚，得出𝐵𝐶=𝐴𝐶−𝐴𝐵=61.1𝑚，在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐷中，由三角函数得出𝐶𝐷=√3𝐵𝐶，即可得出答案．
𝐶𝐸
𝐶𝐷
19.【答案】解：(1)设年销售量y与销售单价x的函数关系式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)，
将(40,600)、(45,550)代入𝑦=𝑘𝑥+𝑏，得： 40𝑘+𝑏=600𝑘=−10{，解得：{， 45𝑘+𝑏=550𝑏=1000
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为𝑦=−10𝑥+1000．
(2)设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为(𝑥−30)万元，销售数量为(−10𝑥+1000)台，
根据题意得：(𝑥−30)(−10𝑥+1000)=10000， 整理，得：𝑥2−130𝑥+4000=0， 解得：𝑥1=50，𝑥2=80．
∵此设备的销售单价不得高于70万元， ∴𝑥=50．
答：该设备的销售单价应是50万元/台． 【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；(2)找准等量关系，正确列
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出一元二次方程． 【解答】
(1)根据点的坐标，解：利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式； (2)设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为(𝑥−30)万元，销售数量为(−10𝑥+1000)台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解值取其小于70的值即可得出结论．
20.【答案】𝐴𝐵=𝑂𝐵，EN切半圆O于F
EB，EO就把∠𝑀𝐸𝑁三等分
B，O，C在同一直线上，𝐸𝐵⊥𝐴𝐶，𝐴𝐵=𝑂𝐵，【解析】解：已知：如图2，点A，垂足为点B，EN切半圆O于F．
求证：EB，EO就把∠𝑀𝐸𝑁三等分， 证明：∵𝐸𝐵⊥𝐴𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝑂𝐵𝐸=90°， ∵𝐴𝐵=𝑂𝐵，𝐵𝐸=𝐵𝐸， ∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝑂𝐵𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠1=∠2， ∵𝐵𝐸⊥𝑂𝐵， ∴𝐵𝐸是⊙𝐸的切线，
∵𝐸𝑁切半圆O于F，𝐵𝑂=𝐹𝑂， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠2=∠3，
∴𝐸𝐵，EO就把∠𝑀𝐸𝑁三等分．
故答案为：𝐴𝐵=𝑂𝐵，EN切半圆O于F；EB，EO就把∠𝑀𝐸𝑁三等分．
根据垂直的定义得到∠𝐴𝐵𝐸=∠𝑂𝐵𝐸=90°，根据全等三角形的判定和性质得到∠1=∠2，根据切线的性质得到∠2=∠3，于是得到结论．
本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，正确的识别图形是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵抛物线𝑦=−𝑥2+2𝑥+𝑐与y轴正半轴分别交于点B，
∴点𝐵(0,𝑐)， ∵𝑂𝐴=𝑂𝐵=𝑐， ∴点𝐴(𝑐,0)，
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∴0=−𝑐2+2𝑐+𝑐， ∴𝑐=3或0(舍去)，
∴抛物线解析式为：𝑦=−𝑥2+2𝑥+3， ∵𝑦=−𝑥2+2𝑥+3=−(𝑥−1)2+4， ∴顶点G为(1,4)；
(2)∵𝑦=−𝑥2+2𝑥+3=−(𝑥−1)2+4， ∴对称轴为直线𝑥=1，
∵点M，N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，
∴点M的横坐标为−2或4，点N的横坐标为6， ∴点M坐标为(−2,−5)或(4,−5)，点N坐标(6,−21)， ∵点Q为抛物线上点M，N之间(含点M，𝑁)的一个动点， ∴−21≤𝑦𝑄≤4或−21≤𝑦𝑄≤−5．
【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练运用二次函数的性质解决问题是本题的关键． (1)先求出点B，点A坐标，代入解析式可求c的值，即可求解； (2)先求出点M，点N坐标，即可求解．
22.【答案】解：(1)①5；
②∵点A是线段BC的中点， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐶， ∵𝐶𝐹//𝐵𝐷， ∴∠𝐹=∠𝐵𝐷𝐴， 又∵∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐹， ∴△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐹(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐵𝐷=𝐶𝐹，
∴线段CF的长度无需测量即可得到； (2)由题意可得：
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(3)由题意画出函数𝑦𝐶𝐹的图象；
由图象可得：𝐵𝐷=3.8𝑐𝑚或5cm或6.2𝑐𝑚时，△𝐷𝐶𝐹为等腰三角形． 【解析】 【分析】
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，动点问题的函数图象探究题，也考查了函数图象的画法，解题关键是数形结合． ⏜可求𝐵𝐷=𝐶𝐷=𝑎=5𝑐𝑚； ⏜=𝐶𝐷(1)①由𝐵𝐷
②由“AAS”可证△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐹，可得𝐵𝐷=𝐶𝐹，即可求解； (2)由题意可画出函数图象； (3)结合图象可求解． 【解答】
⏜的中点， 解：(1)①∵点D为𝐵𝐶⏜， ⏜=𝐶𝐷∴𝐵𝐷
∴𝐵𝐷=𝐶𝐷=𝑎=5𝑐𝑚， 故答案为：5； ②见答案；
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(2)见答案； (3)见答案．
23.【答案】解：(1)等腰直角三角形；√2；
(2)①两结论仍然成立． 证明：连接BD，
∵𝐴𝐵=𝐴𝐵′，∠𝐵𝐴𝐵′=𝛼， ∴∠𝐴𝐵′𝐵=90°−，
2
∵∠𝐵′𝐴𝐷=𝛼−90°，𝐴𝐷=𝐴𝐵′， ∴∠𝐴𝐵′𝐷=135°−2，
∴∠𝐸𝐵′𝐷=∠𝐴𝐵′𝐷−∠𝐴𝐵′𝐵=135°−−(90°−)=45°，
2
2
𝛼
𝛼
𝛼𝛼
∵𝐷𝐸⊥𝐵𝐵′，
∴∠𝐸𝐷𝐵′=∠𝐸𝐵′𝐷=45°， ∴△𝐷𝐸𝐵′是等腰直角三角形， ∴
𝐷𝐵′𝐷𝐸
=√2，
∵四边形ABCD是正方形， ∴∴
𝐵𝐷𝐶𝐷𝐵𝐷𝐶𝐷
=√2，∠𝐵𝐷𝐶=45°， =
𝐷𝐵′𝐷𝐸
，
∵∠𝐸𝐷𝐵′=∠𝐵𝐷𝐶，
∴∠𝐸𝐷𝐵′+∠𝐸𝐷𝐵=∠𝐵𝐷𝐶+∠𝐸𝐷𝐵， 即∠𝐵′𝐷𝐵=∠𝐸𝐷𝐶， ∴△𝐵′𝐷𝐵∽△𝐸𝐷𝐶， ∴
𝐵𝐵′𝐶𝐸
=𝐶𝐷=√2．
𝐵𝐷
②𝐵′𝐸=3或1．
若CD为平行四边形的对角线，
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𝐵𝐸
点𝐵′在以A为圆心，AB为半径的圆上，取CD的中点．连接BO交⊙𝐴于点𝐵′， 过点D作𝐷𝐸⊥𝐵𝐵′交𝐵𝐵′的延长线于点E，
由(1)可知△𝐵′𝐸𝐷是等腰直角三角形， ∴𝐵′𝐷=√2𝐵′𝐸，
由(2)①可知△𝐵𝐷𝐵′∽△𝐶𝐷𝐸，且𝐵𝐵′=√2𝐶𝐸． ∴
𝐵𝐸𝐵′𝐸
=
𝐵′𝐵+𝐵′𝐸𝐵′𝐸
=
𝐵𝐵′𝐵′𝐸
+1=
√2𝐶𝐸𝐵′𝐸
+1=
√2𝐵′𝐷𝐵′𝐸
+1=√2×√2+1=3．
若CD为平行四边形的一边，如图3，
点E与点A重合， ∴𝐵′𝐸=1．
综合以上可得𝐵′𝐸=3或1．
【解析】解：(1)∵𝐴𝐵绕点A逆时针旋转至𝐴𝐵′， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐵′，∠𝐵𝐴𝐵′=60°， ∴△𝐴𝐵𝐵′是等边三角形，
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𝐵𝐸
𝐵𝐸
∴∠𝐵𝐵′𝐴=60°，
∴∠𝐷𝐴𝐵′=∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐵𝐴𝐵′=90°−60°=30°， ∵𝐴𝐵′=𝐴𝐵=𝐴𝐷， ∴∠𝐴𝐵′𝐷=∠𝐴𝐷𝐵′， ∴∠𝐴𝐵′𝐷=
180°−30°
2
=75°，
∴∠𝐷𝐵′𝐸=180°−60°−75°=45°， ∵𝐷𝐸⊥𝐵′𝐸，
∴∠𝐵′𝐷𝐸=90°−45°=45°， ∴△𝐷𝐸𝐵′是等腰直角三角形． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠𝐵𝐷𝐶=45°， ∴𝐷𝐶=√2， 同理𝐷𝐸=√2， ∴𝐷𝐶=
𝐵𝐷
𝐵′𝐷𝐷𝐸𝐵′𝐷𝐵𝐷
，
∵∠𝐵𝐷𝐵′+∠𝐵′𝐷𝐶=45°，∠𝐸𝐷𝐶+∠𝐵′𝐷𝐶=45°， ∴𝐵𝐷𝐵′=∠𝐸𝐷𝐶， ∴△𝐵𝐷𝐵′∽△𝐶𝐷𝐸， ∴
𝐵𝐵′𝐶𝐸
=
𝐵𝐷𝐷𝐶
=√2．
故答案为：等腰直角三角形；√2． (2)见答案；
(1)由旋转的性质得出𝐴𝐵=𝐴𝐵′，∠𝐵𝐴𝐵′=60°，证得△𝐴𝐵𝐵′是等边三角形，可得出△𝐷𝐸𝐵′是等腰直角三角形．证明△𝐵𝐷𝐵′∽△𝐶𝐷𝐸，得出𝐶𝐸=𝐷𝐶=√2．
(2)①得出∠𝐸𝐷𝐵′=∠𝐸𝐵′𝐷=45°，则△𝐷𝐸𝐵′是等腰直角三角形，得出𝐷𝐸=√2，证明△𝐵′𝐷𝐵∽△𝐸𝐷𝐶，由相似三角形的性质可得出𝐶𝐸=𝐶𝐷=√2． ②分两种情况画出图形，由平行四边形的性质可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
𝐵𝐵′
𝐵𝐷
𝐷𝐵′
𝐵𝐵′
𝐵𝐷
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