《测试技术》(第二版)课後习题答案-贾民平_

测试技术与信号处理

习题解答

授课教师：陈杰来

第一章 习 题（P29）

解：

（1） 瞬变信号－指数衰减振荡信号，其频谱具有连续性和衰减性。 （2） 准周期信号，因为各简谐成分的频率比为无理数，其频谱仍具有离散

性。

（3） 周期信号，因为各简谐成分的频率比为无理数，其频谱具有离散性、

谐波性和收敛性。

解：x(t)=sin2f0t的有效值（均方根值）：

xrms12T012T01T0T00x2(t)dt1T0T00sin22f0t　dt1(T014f0sin4f0tT00T00(1cos4f0t)　dt14f02T0)

(T0sin4f0T0)1/2

1

解：周期三角波的时域数学描述如下：

x(t) 1 . . .

-T0/2 0 T0/2 T0t020tT02. . . t 2AAtT02Atx(t)AT0x(tnT0)（1）傅里叶级数的三角函数展开： 1T0/22T0/221a0x(t)dt(1t)dtT/20T0T00T02

2T0/2anx(t)cosn0tdt T/2T004T0/22 (1t)cosn0tdtT00T0 4n1,3,5,4222n22sinn2n

n2,4,6,0T0/2 bn  2  ，式中由于x(t)是偶函数，sinn0t是奇函数，x( t)sinn 0tdtT0T0/2则x(t)sinn0t也是奇函数，而奇函数在上下限对称区间上的积分等于0。故

bn0。

因此，其三角函数展开式如下：

14x(t)221cosn0t2n1n14221sin(n0t2)2n1n(n=1, 3, 5, …）

其频谱如下图所示：

2

A() 1 24 () 2492  242 250

0 30 50  0 0 30 50 

单边幅频谱 单边相频谱

（2）复指数展开式

复指数与三角函数展开式之间的关系如下： C0 =a0 CN =(an-jbn)/2 C-N =(an+jbn)/2 故有

22222nsinnReCN =an/2 2n220n1,3,5,n2,4,6,C0A0a0ReCN =an/2 ImCN =-bn/2 1122anbnAn 22ICbnarctgmnarctg(n)ReCnanCn ImCN =-bn/2 ＝0 C0A0a0Cn1212112anbnAn=an 222ICbnarctgmnarctg(n)0ReCnan 3

实频谱 1 2229 252ReCn 2 22 2 2 9 2 222 25-50 -30 -0 0 0 ImCn

虚频谱

30 50 

-50 -30 -0 0 0 30 50 

双边幅频谱 21 2Cn2 29 252 2 2 22 9 2 222 25-50 -30 -0 0 0 30 50 

n

双边相频谱

-50 -30 -0 0 0 30 50 

4

解：该三角形窗函数是一非周期函数，其时域数学描述如下：

x(t) 1 -T0/2 0 T0/2 t 21Tt0x(t)12tT0T0t02T00t2

用傅里叶变换求频谱。 X(f)

x(t)ej2ftdtT0/2T0/2x(t)ej2ftdtT0/20022j2ft(1t)edt(1t)ej2ftdtT0/2T0T001T0/222j2ft[(1t)de(1t)dej2ft]T0/2j2f0T0T012{[(1t)ej2ftj2fT02[(1t)ej2ftT012{[1j2fT00T0/2T0/2T0/200T0/20ej2ft2d(1t)]T0eT0/2ej2ftd(12t)]}T00T0/2j2ft02dt][1T00T0/2]ej2ftdt]}21[ej2ftj2fT0j2fT0/20ej2ft1jfT0jfT0[e11e]222fT0112fT0[1cosfT]2sin02f2T02f2T022sinT02T0sinc2fT02(fT0)2225

2fT0

X(f ) T0/2 6 T0 4 T0 2 T0 0 2 T0 4 T0 6 T0 f (f )  6 T0

4 T0 2 0 T0 2 T0 4 T0 6 T0 f

解：

方法一，直接根据傅里叶变换定义来求。

6

X()0x(t)ejtdteatsin0tejtdtje(aj)t(ej0tej0t)dt20j(ajj0)t[ee(ajj0)t)dt20je(ajj0)te(ajj0)t[02(ajj0)(ajj0)j11[]2aj(0)aj(0)0]022a02j2a方法二，根据傅里叶变换的频移特性来求。 单边指数衰减函数：

t00f(t)ata0,e其傅里叶变换为

t0F()f(t)ejtdteatejtdt0eatejt(aj)0

1(aj)

aj2a2

7

F()1a22()arctg

a根据频移特性可求得该指数衰减振荡函数的频谱如下：

1X()FT[f(t)sin0t][F(0)F(0)]2j111[]2jaj(0)aj(0)022a02j2aF()1/a 0根据频移特性得下列频谱

1 2aX()1 2a0

01[F(0)F(0)]20 8

解：利用频移特性来求，具体思路如下：

A/2

A/2

当f0f00f0f

9

解：

x(t)w(t)cos0tw(t) 1 w0 T cos0t 1 0 --T t FT[w(t)]FT[cos0t]1212W()2T012T卷积 000FT[w(t)cos0t]TX()T0

010

0

由于窗函数的频谱 W()2Tsinc(T)，所以

1[W(0)W(0)]2T[sinc(0)Tsinc(0)T]X()其频谱图如上图所示。

解：

x1T0T00x(t)dtT01T0/2[sin2f0dt(sin2f0)dt]T0/2T001[cos2f0tT02/

T0/20cos2f0tT0T0/2]1(xrms)T02x2T00x2(t)dt1T0T00sin22f0t　dtT012T00(1cos4f0t)　dt

110(T0sin4f0tT0)2T04f01/2

11

第二章 习 题（P68）

=

60sin50解： x2Rx(0)lim()sin(50)lim3000()30000

050-

解：

Rx()limlim2T0TTTx(t)x(t)dtTAeatAea(t)dtAlimA2(T0Te2ateadt01a2at)ee2aA2ae2a

解：

对于周期信号可用一个周期代替其整体，故有1TRx()x(t)x(t)dtT01T2＝Acos(t)cos[(t)]dtT0式中，T是余弦函数的周期，T＝2/

令t＝代入上式，则得A2Rx()＝2201coscos[＋]d　＝A2cos

2若x(t)为正弦信号时，Rx()结果相同。

12

第三章 习 题（P90）

解：

S＝S1S2S3=80nc/MPa×0.005V/nc×25mm/V=10 mm/ MPa △P=△x/S=30mm/10(mm/ MPa)=3 MPa

解：

S＝S1S2=404×10-4Pc/Pa×0.226mV/Pc=9.13×10-3mV/Pa

10106mV/Pa8

S2=S/S1== 2.48×10mV/Pc

40410-4Pc/Pa

解: =2s, T=150s, =2π/T

300－0.9965×100=200.35℃ 300＋0.9965×100=399.65℃ 故温度变化范围在200.35~399.65℃.

A()11()211(4/150)20.9965 13

解: =15s, T=30/5=6s, =2π/T

A()11()211(152/6)20.0635h高度处的实际温度t=t0-h*0.15/30

而在h高度处温度计所记录的温度t‘＝A()t＝A()（t0-h*0.15/30） 由于在3000m高度温度计所记录的温度为－1℃，所以有

－1= A()（t0-3000*0.15/30） 求得 t0=－0.75℃

当实际温度为t＝－1℃时，其真实高度可由下式求得：

t=t0-h*0.15/30，h=(t0- t)/0.005=(-0.75+1)/0.005=50m

解： (1)

A()1A()111()2111(1002)210%

则 ≤7.71×10－4 S (2)

A()1A()111()2111(5027.7110)422.81%()= arctg = -arctg（5027.71104）= －13.62°

14

解：＝0.04 S，

A()1A()111()2111(2f)2（1）当f=0.5Hz时，

A()1A()111()11()11()222111(20.50.04)11(210.04)11(220.04)2220.78%（2）当f=1Hz时，

A()1A()113.02%（3）当f=2Hz时，

A()1A()1110.65%

解：＝0.0025 S

A()1A()111()2111(0.0025)25%则 ＜131.5（弧度/s） 或 f＜/2π＝20.9 Hz 相位差：()= arctg = -arctg(131.50.0025) = －18.20°

解：fn=800Hz, =0.14, f=400 nf/fn400/8000.5

A()H()1112n242n1.31210.52240.1420.52()arctg2n20.140.5arctg10.57210.521n15

第四章 习 题（P127）

4－9

解： 由 得

SCC00A200C0A1226218.85104(110)/0.3024.941015(F)4.94103(PF)变化格数　　S1S2C1005(4.94103)2.47(格)

4－10

解：

Q

Ca Ra Cc Ri Ci

U0

QQCCaCc1

CaCc由Su=U0/a , Sq=Q/a 得：Su/ Sq =U0/Q=

16

第五章 习 题（P162）

解： (1）半桥单臂

uoR01uiSui4R0412210－62＝2v4 1当＝2000时，u02200010－62＝2mv4当＝2时，u0（2）半桥双臂 uo当＝2时，u0R01uiSui2R0212210－62＝4v2

1当＝2000时，u02200010－62＝4mv2S单u01ui0.5(V)，SR0/R04u01ui1(V)

R0/R02双半桥双臂是半桥单臂灵敏度的两倍。

解：均不能提高灵敏度，因为半桥双臂灵敏度Su0/(与桥臂上应变片数无关。

R1)ui，与供桥电压成正比，R2

17

解：

由已知：(t)Acos10tBcos100t，u0Esin10000t得全桥输出电压：

uyRu0Su0SE(t)sin10000tR 　＝SE(Acos10tBcos100t)sin10000t根据　x(t)y(t)X(f)*Y(f)jsin2f0t[(ff0)(ff0)]2 j　　　x(t)sin2f0t[X(f)(ff0)X(f)(ff0)] 2得电桥输入和输出信号的傅里叶变换：

(f)AB[(ff01)(ff01)][(ff02)(ff02)]22

A1010B100100　　　[(f)(f)][(f)(f)]2222220电桥输出信号的频谱，可以看成是(t)的频谱移动到±f0处。

电桥输入与输出信号的频谱图如下图所示。

Reε(ω) A/2 B/2 －100 －10 10 100 ω SEA/4 ImUy(ω) SEB/4 -ω0 -(ω0+100) -(ω0+10) -(ω0-10) -(ω0-100) 0 ω0-100 ω0-10 ω0 ω0+10 ω0+100 ω ω0=10000 －SEB/4 －SEA/4 本量题也可用三角函数的积化和差公式来计算：

18

由已知：(t)Acos10tBcos100t，u0Esin10000t得全桥输出电压：Ruyu0Su0SE(t)sin10000tR　＝SE(Acos10tBcos100t)sin10000t　　SEAsin10000tcos10tSEBsin10000tcos100t11　　SEA[sin(1000010)tsin(1000010)t]SEB[sin(10000100)tsin(10000100)t]2211sincos[sin()sin()],　　coscos[cos()cos()][注： 22cos()＝coscossinsin,　　　sin()＝sincoscossin

解：调幅波中所包含的各分量的频率及幅值大小：

xa(t)(10030cos2f1t20cos6f1t)cos2fct　　　100cos2fct30cos2f1cos2fct20cos6f1tcos2fct　　　100cos2fct15[cos2(fcf1)tcos2(fcf1)t]　　　　　　　　　10[cos2(fc3f1)tcos2(fc3f1)t]调制信号与调幅波的频谱分别如下图所示。

ReX(f) 10 －1.5

15

0

100

15

10 1.5

f (kHz)

－0.5 0.5

ReUy(f) 50 5 -11.5 7.5 -10.5 7.5 -10 -9.5 5 -8.5 0 5 8.5 7.5 9.5 10 50 7.5 10.5 5 11.5 f (kHz)

19

解：

1）各环节输出信号的时域波形图如下：

电阻应变片x(t)0xm(t)x’m(t)x‘’m(t)x'(t)0t0x(t)电桥放大器t相敏检波y(t)0tt0t低通滤波显示记录载波振荡器t动态电阻应变仪方框图2）各环节输出信号的频谱图 信号的调制： sin2f0t[(ff0)(ff0)]

x(t)sin2f0tj[X(f)(ff0)X(f)(ff0)]2j2j[X(ff0)X(ff0)]2信号的解调： x(t)sin2f0tsin2f0t1x(t)1x(t)cos4f0t22

x(t)sin2f0tsin2f0tF[x(t)sin2f0t]F[sin2f0t]jj[X(ff0)X(ff0)][(ff0)(ff0)]221[2X(f)X(f2f0)X(f2f0)]420

x(t)调制器y(t)xm(t)= x(t) sin2f0tY(f)01/21/2f0ff0X(f)1fm0fm1/2f0fXm(f)= X(f) Y(f)1/2f调幅过程频谱图00fxm(t)调幅波乘法器载波y(t)Xm(f)1/2低通滤波同步解调1/2x’(t)f1/200Y(f)1/2f0ff同步解调1/400f01/2fmfXm(f) Y(f)1/42 f02 f0fm0X’(f)低通滤波1/2fm21 2 f0fcfm0fc2 f0

x(t)调制器y(t)xm(t)= x(t) sin2f0tImY(f)f001/2f0X(f)1-1/2ff1/2m0fmfImXm(f)f0f调幅过程频谱图00-1/2fxm(t)调幅波乘法器载波y(t)ImXm(f)1/2低通滤波同步解调x’(t)f1/200ImY(f)0f0f0-1/2ff同步解调0-1/2-1/2fRe[Xm(f) Y(f)]2 f0-1/42 f0-1/4fm0fm低通滤波ReX’(f)1/2fmfc22 f2 f0mfc02 f0

解：

uy(t)R1u0cos2ftsin2f0t 4R04根据　x(t)y(t)X(f)*Y(f)jsin2f0t[(ff0)(ff0)]2 j　　　x(t)sin2f0t[X(f)(ff0)X(f)(ff0)] 2得电桥输出电压的傅里叶变换：

Uy(f)1FT[R(t)sin2f0t]4R0j　　　[R(t)(ff0)R(t))(ff0)]　8R0

电桥输出信号的频谱，可以看成是R(t)的频谱移动到±f0处。 电桥输入与输出信号的频谱图如下图所示。

ReR(f) R0/2 -f 0 f f

ImUy(f) 1/16 f0-f -(f0+f) -(f0-f) 0 -1/16 f0+f f

23

附 注：常用公式

常用三角函数公式：

11sincos[sin()sin()],　　coscos[cos()cos()] 22cos()＝coscossinsin,　　　sin()＝sincoscossin（1）傅里叶级数的三角函数展开：

x(t)a0(ancosn0tbnsinn0t)A0Ansin(n0tn)n1n1An22anbnnarctg(an)bn1a0T0

T0/2T0/2x(t)dt

（2）三角函数是正交函数

2anT0T0/2T0/2T0/2x(t)cosn0tdtx(t)sinn0tdt 2bnT0T0/2t0T1t0cosn1t.sinm1t.dt0t0T1t0T21sinn1tsinm1tdt0T21cosn1tcosm1tdt0(mn)(mn)(mn)(mn)

t0T1t0（3）欧拉公式

ejn0tcosn0tjsinn0tcosn0t1jn0tjn0t(ee) 2jjn0t sinn0t(eejn0t)2（4）傅里叶级数的复指数展开：

x(t)C0(Cnen1jn0tCnejn0t)nCnejn0t

24

CnReCnjImCnCnejnCn(ReCn)2(ImCn)2narctgImCnReCn

（5）复指数与三角函数展开式之间的关系如下： C0 =a0 ReCN =an/2 CN =(an-jbn)/2 ImCN =-bn/2 C-N =(an+jbn)/2 C0A0a01122anbnAn 22ICbnarctgmnarctg(n)ReCnanCn（6）δ函数的部分性质：

x(t)(t)x(t)x(t)(tt0)x(tt0)X(f)(f)X(f)X(f)(ff0)X(ff0)

(tt0)ej2ftej2f0t0(ff0) （7）正余弦信号的频谱 　　　x(t)y(t)X(f)*Y(f)

j[(ff0)(ff0)]21cos2f0t[(ff0)(ff0)]2sin2f0tjj　　　 x(t)sin2f0t[X(f)(ff0)X(f)(ff0)][X(ff0)X(ff0)]2211　　　x(t)cos2f0t[X(f)(ff0)X(f)(ff0)][X(ff0)X(ff0)]2211　　　[1x(t)]cos2f0t[(ff0)(ff0)][X(ff0)X(ff0)]22 25

1 0 1/2 -0 0 x(t)=cos0t 1 t cnR 1/2 x(t)=sin0t 0 cnR t 0 cnI  -0 1/2 0 cnI 0 |cn| 0 0  0  -1/2 1/2 -0 1/2 -0 0 |cn| 0 0 1/2  -0 1/2 0  -0 0  双边幅频谱 An 1 双边幅频谱 An 1 0 0  0 0  单边幅频谱 单边幅频谱 （8）傅里叶变换对：

X()x(t)ejtdt1x(t)2或

X()ejtdX(f)x(t)x(t)ej2ftdtX(f)ej2ftdfx(t)

FT IFT

X()

26

（9）对周期信号有：

均值：x1T0T00x(t)dt绝对均值：x1T0T00x(t)dt1T0有效值（均方根值）：xrms1均方值:　(xrms)T02x2T00x(t)dt2

T00x2(t)dt22（10）随机信号的均值x、方差x、均方值x

 均值（数学期望）――常值（稳定）分量

1Txlim0x(t)dtE[x]TT

其中x(t)为样本函数，T为观测的时间历程。  方差－－波动分量

2x1Tlim0x(t)x2dtEx(t)x2TT

方差的正平方根称为标准差。  均方值――随机信号的强度

2x1Tlim0x(t)2dtE[x(t)2] TT均方值的正平方根称为均方根值。

222 xxx22当x=0时，xx

（10）自（互）相关函数、相关系数

Rx()limTTTx(t)x(t)dt

27

xy相关系数 xy()xy

E[(xx)(yy)]E(xx)E(yy)22

1Tlim[x(t)x][x(t)x]dtTT0x()2x1T2limx(t)x(t)dtxTT02x

自相关函数

1TRx()limx(t)x(t)dt

TT0x()2Rx()x2x

周期信号：

1TRx()x(t)x(t)dt

T0非周期信号：

自相关函数的性质：

Rx()x(t)x(t)dt

自相关函数为实偶函数 Rx()Rx()

Rx(0)lim1T2TTT22x2(t)dtxx2222xxRx()xx2Rx()xx()0周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数

互相关函数

1T Rxy()limx(t)y(t)dt TT0 28

1T[(x(t)x)(y(t)x)]dt0TTxy()limxy1Tlimx(t)y(t)dtxyR()TT0xyxy

xyxy随机信号的自功率谱密度函数（自谱）为：

Sx(f)Rx()ej2fdi2f

其逆变换为

两随机信号的互功率谱密度函数（互谱）为：

Rx()Sx(f)edf

Sx(f)Rx()ej2fdi2f其逆变换为

Rx()Sx(f)edf

自功率谱密度函数 Sx(f)和幅值谱 X(f) 或 |X(f)|2 能谱之间的关系

1SxlimXfT2T单边谱和双边谱

2Gx(f)2Sx(f)|X(f)|及系统频率响应函数H（f）的关系 Sx(f)与幅值谱 自功率谱密度

Y(f)X(f)Sxy(f)Gxy(f)H(f)X(f)X(f)Sxx(f)Gxx(f)H(f)Sy(f)Sx(f)输入/输出自功率谱密度函数与系统频率响应函数关系

Sy(f)|H(f)|2Sx(f) Gy(f)|H(f)|2Gx(f)

单输入、单输出的理想线性系统

Sxy(f)H(f)Sx(f)

29