2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷理科数学)

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2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

理 科 数 学

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。 注意事项：

1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类 在答题卡和试卷规定的位置上。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式:

如果事件A，B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)。

第Ⅰ卷 （共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

（1）已知集合Ax|x4x30，Bx|2x4，则AB

2（A）（1,3） （B）（1,4） （C）（2,3） （D）（2,4） （2）若复数z满足

zi，其中i为虚数单位，则z 1i（A）1i （B）1i （C）1i （D）1i （3）要得到函数ysin(4x （A）向左平移

3)的图象，只需将函数ysin4x的图象

个单位 （B）向右平移个单位 1212 （C）向左平移个单位 （D）向右平移个单位

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（4）已知菱形ABCD的边长为a,ABC60，则BDCD

（A）32333a （B）a2 （C）a2 （D）a2 2442（5）不等式|x1||x5|2的解集是

（,4）（,1）（1,4）（1,5）（A） （B） （C） （D）

xy0,（6）已知x，y满足约束条件xy2，若zaxy的最大值为4，则a

y0.（A） 3 （B） 2 （C）2 （D）3 （7）在梯形ABCD中，ABC2，AD//BC,BC2AD2AB2.将梯形ABCD绕

AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 （A）

245 （B） （C） （D）2

333（8）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N(0,3)，从中随机取一件，其 长度误差落在区间(3,6)内的概率为

2 （附：若随机变量服从正态分布N(,)，则P()68.26%，

P(22)95.44%.）

（A）4.56% （B）13.59% （C）27.18% （D）31.74%

22（9）一条光线从点(2,3)射出，经y轴反射后与圆(x3)(y2)1相切，则反射

光线所在直线的斜率为

5332或 （B）或 35235443（C）或 （D）或

4535（A）（10）设函数f(x)3x1,x1,f(a)则满足的a的取值范围是 f(f(a))2x2,x1.232（C）[,) （D）[1,)

3

（A）[,1] （B）[0,1]

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二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）观察下列各式：

0 C014;

11 C03C34; 122 C05C5C54; 0123 C7C7C7C743;

开始 „„

照此规律，当nN时，

012n1 C2n1C2n1C2n1C2n1 。

*n1,T1否n3是（12）若“x[0,4T1f01xndx输出T结束]，tanxm”是真命题，

nn1 则实数m的最小值为 。

（13）执行右边的程序框图，输出的T的值为 。

（14）已知函数f(x)axb(a0,a1)的定义域和值域都是[1,0]，则ab 。

x2y2（15）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1:221(a0,b0)的渐近线与抛物线

abC2:x22py(p0)交于点O，A,B.若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为

。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。 （16）（本小题满分12分） 设f(x)sinxcosxcos(x（I）求f(x)的单调区间；

（II）在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别 为a,b,c.若f()0,a1，求ABC

24).

DFEH 面积的最大值。

B（17）（本小题满分12分）

如图，在三棱台DEFABC中，AB2DE,G,H分别为AC,BC的中点。

A2GAC（I）求证：BD//平面FGH;

（II）若CF平面ABC,ABBC,CFDE,BAC45,求平面FGH与平面

ACFD所成的角（锐角）的大小。

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（18）（本小题满分12分）

设数列an的前n项和为Sn.已知2Sn3n3. （I）求an的通项公式；

（II）若数列bn满足anbnlog32，求bn的前n项和Tn.

（19）（本小题满分12分）

若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则 称n为“三位递增数”（如137，359，567等）.

在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数， 且只能抽取一次。得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5 整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1分；若能被10整除， 得1分.

（I）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；

（II）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX. （20）（本小题满分13分）

x2y23 平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:221(ab0)的离心率为，左、

ab2 右焦点分别是F1，F2. 以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相 交，且交点在椭圆C上.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

x2y221，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线 （Ⅱ）设椭圆E:24a4b ykxm 交椭圆E 于A,B两点，射线PO 交椭圆 E于点 Q. ( i )求

|OQ|的值； |OP| （ii）求△ABQ面积的最大值. （21）(本小题满分14分)

设函数f(x)ln(x1)a(xx)，其中aR。 （Ⅰ）讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若x0,f(x)0成立，求a的取值范围。

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