高考数学二轮复习精品资料 专题05 平面向量(学生)

【考纲解读】

1. 理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义;掌握向量加减与数乘运算及其意义;理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义.

2．了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

3．理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

【考点预测】

高考对平面向量的考点分为以下两类: (1)考查平面向量的概念、性质和运算,向量概念所含内容较多,如单位向量、共线向量、方向向量等基本概念和向量的加、减、数乘、数量积等运算，高考中或直接考查或用以解决有关长度，垂直，夹角，判断多边形的形状等，此类题一般以选择题形式出现，难度不大.

(2)考查平面向量的综合应用.平面向量常与平面几何、解析几何、三角等内容交叉渗透，使数学问题的情境新颖别致，自然流畅，此类题一般以解答题形式出现，综合性较强.

【要点梳理】

1.向量的加法与减法:掌握平行四边形法则、三角形法则、多边形法则，加法的运算律; 2.实数与向量的乘积及是一个向量，熟练其含义；

3.两个向量共线的条件:平面向量基本定理、向量共线的坐标表示；

4.两个向量夹角的范围是:[0,];

5.向量的数量积:熟练定义、性质及运算律，向量的模，两个向量垂直的充要条件. 【考点在线】

考点一 向量概念及运算

例1.(2011年高考山东卷理科12)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3A1A2 (λ∈R)，A1A4A1A2(μ∈R)，且

112,则称A3，A4调和

分割A1，A2 ,已知点C(c，o),D(d，O)(c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是( ) (A)C可能是线段AB的中点 (B)D可能是线段AB的中点 (C)C，D可能同时在线段AB上

(D) C，D不可能同时在线段AB的延长线上

练习1: (2011年高考广东卷文科3)已知向量a(1,2),b(1,0),c(3,4)，若为实数，

(ab)//c，则= （ ）

用心 爱心 专心 1

A．

11 B． C．1 D．2 42考点二 平面向量的数量积

已知向量a(sin,2)与b(1,cos)互相垂直，其中(0,2)

（1）求sin和cos的值（2）若5cos()35cos，0【易错专区】

,求cos的值 2问题：向量运算

例. (山东省济宁市2011年3月高三第一次模拟理科)平面上有四个互异的点A、B、C、D， 满足（AB－BC）·（AD－CD）＝0，则三角形ABC是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 【考题回放】

C．等腰直角三角形D．等边三角形

1.（2011年高考全国卷文科3)设向量a、b满足|a|=|b|=1, ab=1,则2a2b( )

（A）2 （B）3 （C）5 （D）7 2.（2011年高考辽宁卷文科3)已知向量a=（2,1），b=（-1，k），a·（2a-b）=0，则k=（ ）

（A）-12 （B）-6 （C）6 （D）12

3. （2011年高考四川卷文科7)如图，正六边形ABCDEF中，BACDEF=( )

用心 爱心 专心 2

(A)0 (B)BE (C)AD (D)CF

4．（ 2010年高考全国Ⅰ卷文科11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PAPB的最小值为( )

(A) 42 (B)32 (C) 422 (D)322

5．（2010年高考全国卷Ⅱ文科10）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若CB= a ,

CA= b , a= 1 ，b= 2, 则CD=( )

（A）

12213443a + b （B）a +b （C）a +b （D）a +b 3333555526．（2010年高考四川卷文科6）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC16，

ABACABAC，则AM( )

（A）8 （B）4 （C）2 （D）1

7．（2011年高考江西卷文科11)已知两个单位向量e1，e2的夹角为

，若向量b1e12e2，3b23e14e2，则b1b2=___.

8. （2011年高考福建卷文科13)若向量a=（1,1），b（-1,2），则a·b等于_____________. 9．（2011年高考湖南卷文科13)设向量a,b满足|a|25,b(2,1),且a与b的方向相反，则a的坐标为 ．

10.（2011年高考浙江卷文科15)若平面向量α、β 满足1,β为邻边的平行四边形的面积为

1，且以向量α、

1，则α和β的夹角θ取值范围是 . 211. (2011年高考天津卷文科14)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,ADC90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|PA3PB|的最小值为 .

用心 爱心 专心 3

(D)(ab)2(ab)2|a|2|b|2

2．（2010年高考天津卷文科9）如图，在ΔABC中，ADAB，BC3BD，AD1，则ACAD=( )

（A）23 （B）3 2（C）3 （D）3 33．（2010年高考福建卷文科8）若向量a(x,3)(xR)，则“x4”是“|a|5”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

x2y21的中心和左焦点，点4．（2010年高考福建卷文科11）若点O和点F分别为椭圆43P为椭圆上的任意一点，则OPFP的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8

5．（2010年高考北京卷理科6）a、b为非零向量。“ab”是“函数f(x)(xab)(xba)为一次函数”的( )

（A）充分而不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 6．(2010年高考安徽卷文科3)设向量a(1,0),b(,),则下列结论中正确的是( )

1122用心 爱心 专心 4

(A)ab (B)ab2 2(C)a//b (D)ab与b垂直

7．（2010年高考辽宁卷文科8）平面上O,A,B三点不共线，设OAa,OBb,则OAB的面积等于 ( )

（A）ab(ab) （B）ab(ab)2 22222（C）12ab(ab)2 （D）2212ab(ab)2 228.(2010年高考宁夏卷文科2)a，b为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a，b夹角的余弦值等于( )

881616 （B） （C） （D） 656565659．（2010年高考广东卷文科5）若向量a=（1,1），b=（2,5），c=(3,x)满足条件 (8a－

（A）

b)·c=30，则x=( )

A．6 B．5 C．4 D．3

10．（2010年高考重庆卷文科3）若向量a(3,m)，b(2,1)，ab0，则实数m的值为( ) （A）33 （B） 22（C）2 （D）6

11．（2010年高考湖北卷文科8）已知ABC和点M满足MAMBMC0.若存在实m使得AMACmAM成立，则m=( )

A.2 B.3 C.4 D.5 12．（2010年高考湖南卷文科6）若非零向量a，b满足|a||b|,(2ab)b0，则a与b的夹角为( )

0000

A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 二、填空题：

13．(2010年高考江西卷文科13)已知向量a，b满足b2，a与b的夹角为60°，则b在

a上的投影是 ．

14. (2010年高考浙江卷文科13)已知平面向量,,1,2,(2),则

用心 爱心 专心 5

三．解答题：

17．（2010年高考江苏卷试题15）

在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1). (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t满足(ABtOC)·OC=0，求t的值。

18．（2010年高考福建卷文科18）设平顶向量am＝ （ m , 1）, bn= ( 2 , n )，其中 m， n {1,2,3,4}.

（I）请列出有序数组（ m，n ）的所有可能结果；

（II）记“使得am（am-bn）成立的（ m，n ）”为事件A，求事件A发生的概率. 19．（2009年高考湖北卷理科第17题）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

已知向量a(cosa,sina),b(cos,sin),c(1,0) （Ⅰ）求向量bc的长度的最大值； （Ⅱ）设a4，且a(bc)，求cos的值。

20. (山东省烟台市2011年1月“十一五”课题调研卷理科)

如图，平面上定点F到定直线l的距离|FM|=2，P为该平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且(PFPQ)(PFPQ)0.

（1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹C的方程；

（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交

直

线

l于点N，已知

NA1AF,NB2BF,求证:12为定值.

用心 爱心 专心 6