数字信号处理复习(2)

第2部分: 离散时间信号在传输与中的分析

1. DTFT（离散时间傅里叶变换）

DTFT是分析离散时间序列频谱的重要工具。 给定离散时间序列x[n], 它的 DTFT定义为： X(e)jnx[n]ejn------牢记!

逆变换定义为：

1 x[n]2jjnX(e)ed------牢记! 收敛条件：

若满足下式，则序列x[n]的DTFT存在。

nx[n]

DTFT性质(设x[n]为实序列，且非周期):

(a) 连续性

(b) 周期性, DTFT是ω的周期函数，以2π为周期。 (c) 幅度谱是ω的偶函数，相位谱为ω的奇函数。

(d) X(ejω) 的实部是ω的偶函数，X(ejω)的虚部是ω的奇函数。 如何理解序列的DTFT?

1从DTFT逆变换IDTFT的表达式 x[n]2X(ej)ejnd, 可以看出：任一

序列 x[n] 都可以看成是无穷多个指数序列的线性加权和，或等价地，是无穷多个正弦序列的线性加权和。X(ejω) 代表频率分量ejωn 在某一频率点的相对幅度。

要求:

能推导并运用表3.1列出的常用DTFT变换对（常见序列及其DTFT）。

2. DTFT性质：

(a) 时移性质：

若 g[n]G(ej) 则： g[nn0]ejnG(ej)

0时移性质理解：序列在时域移位，对应着频域中的相位移动。为什么？看下面解释:

g[n]G(ej)G(ej)ejG(ejj)

jg[nn0]ejn0G(ej)G(ej)ejG(e)ejn0G(ej)ejG(e)n0

可以看到：g[n-n0]的相位谱平移了（–ωn0）。 (b) 频移性质 ejng(n)G(ej()

00)(c) 频域微分 (d) 卷积 (e) 调制

(f) 表3.3和3.4列出的对称性质（实序列及复序列的DTFT对称关系） 对称关系总结:

若x[n] 是复序列，其DTFT为 X(ejω),

(a) 序列x[n]的实部(xre[n])的DTFT是X(ejω)的共轭对称部分

----------- xre[n]Xcs(ej)1X(ej)X*(ej) 2(b) 序列x[n]的虚部(xim[n])的DTFT是X(ejω)的共轭反对称部分

----------- xim[n]Xca(ej)1X(ej)X*(ej) 2(c) 序列x[n]的共轭对称部分(xcs[n])的DTFT是X(ejω)的实部

----------- xcs[n]x[n]x*[n]Xre(ej)

(d) 序列x[n]的共轭反对称部分(xca[n])的DTFT是X(ejω)的虚部

----------- xca[n]x[n]x*[n]jXim(ej)

若x[n]是实序列，其DTFT为 X(ejω),

(e) x[n]的偶对称部分的DTFT是X(ejω)的实部

----------- xev[n]x[n]x[n]Xre(ej)

(f) x[n]的奇对称部分的DTFT是X(ejω)的虚部

----------- xod[n]x[n]x[n]jXim(ej)

课后练习:

1、 9点长序列x[n]的傅里叶变换用X(ejω)表示，不直接求X(ejω)，完成下面运算; x[n]={3 0 1 -2 -3 4 1 0 -1} -3≤n≤5

j12121212 a. X(e) b. X(e) c.

j0jX(e)d d.

X(ej)d

2解： a. X(e)j0n35x[n]3 x[n]ejn5b. X(e)jn3n3x[n](1)5n=1

c.

X(ej)d=2x[0]4

2d.

X(e)d2x[n]98

j52n33. DFT

给定N-点x[n]定义在区间0 ≤ n ≤ N-1内，它的N-点DFT X[k] 定义为： X[k]x[n]WNkn------牢记!

n0N1其中： WNej2N

DFT逆变换IDFT定义为：

1 x[n]NX[k]Wk0N1knN------牢记!

物理意义:

N-点DFT X[k]可以看成是对序列x[n]的DTFT (X(ejω))在0 ≤ ω ≤ 2π范围内等间距采样（采N个样本点）得到的。 时域混叠 (重点!)

记住下面结论:

时域采样对应着频域的周期延拓，频域采样对应着时域中以N为周期进行周期延拓。 (N为频域中的样本个数)

上面的结论可以写成下式： y[n]mx[nmN] (重点!)

其中，N为频域中的样本个数，y[n]是通过先对DTFT(X(ejω))进行N点等间距采样获得Y[k]（DFT），再对Y[k]做逆变换IDFT得到的。.

由上面结论，我们很容易得到IDFT。例如，给定序列x[n]={1 1 1 1 1 1 1}，其DTFT为X(ejω)，如果对X(ejω)进行8点采样，得到8-点DFTY[k]， 对Y[k]做IDFT，得到y[n]={1 1 1 1 1 1 1 0}。另外。若我们对X(ejω)进行4点采样，得到4-点DFT Y[k]，则对Y[k]做IDFT，得到y[n]={2 2 2 1} 课后练习:

3.74 设x[n]={1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}的DTFT为X(ejω) ，

(a) 从ω=0以/5的采样间隔采样X(ejω) 得到X1[k]，不计算X(ejω) 和 X1[k] ，

试求出x1[n]，从x1[n]能否恢复出x[n]?

(b) 从ω=0以/3的采样间隔采样X(ejω) 得到X2[k]，不计算X(ejω) 和 X2[k] ，试求出x2[n]，从x2[n]能否恢复出x[n]?

解：(a) 因为采样间隔=/5，X1[k] 的点数为N=2/(/5)=10. 很明显， N=10

要大于序列长度M=8 。 而x1[n] 与x[n] 存在如下关系

x1[n]mx[nmN] N=10, 0 ≤ n ≤ N-1

 ={1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0}

可以从x1[n]中恢复出x[n]，因为时域无混叠。

(b) 因为采样间隔=/3, X2[k] 的点数为N=2/(/3)=6. 很明显，序列长度M=8 。

而x2[n] 与x[n] 存在如下关系：

x2[n]x[nmN] N=6, 0 ≤ n ≤ N-1

m ={2, 2, 1, 1, 1, 1}

不能从x2[n]中恢复出x[n]，因为时域无有混叠。

4. 圆周移位（循环移位）和圆周卷积（循环卷积）

给定长度为N的序列g[n]，它的n0-点圆周移位定义为：

gc[n]g[nn0N]

注意:

和原来学过的时移对比， 有两处不同:

1. 圆周移位 gc[n] 总是定义（保持）在区间 0≤n≤N-1内. 2. 圆周移位包含一个求模运算。

N=6要小于 给定两个定义在0≤n≤N-1区间的N长序列g[n]和h[n]，它们的N点圆周卷积定义为：

yc[n]g[m]h[nmN]----牢记!

m0N1注意:

对比线性卷积，有两点差异:

1. 圆周卷积yc[n]的长度等于g[n]和h[n]的长度（即：三者长度相等）。 2. 圆周卷积要求序列g[n]和h[n]的长度相等。

5. DFT性质：

(a) 圆周时移 g[nn0N]WNknG[k]

0kng[n]Y[k]G[kk0N] (b) 圆周频移 y[n]WN0(c) N-点圆周卷积 yc[n]g[n]h[n]Y[k]H[k]G[k] (d) 调制

(e) 复序列的DFT的对称性质

(f) 实序列的DFT的对称性质 (重点！)

即：实序列x[n]的DFT为X[k]， X[k]是共轭对称的。 （即：X[k]满足下面关系：

X[k] = X*[<-k>N] = X*[N-k] 或 X*[k] = X [<-k>N] = X [N-k] ）

要求:

能推导并运用上述性质。 课后练习:

3.51 G[k] 和H[k] 分别为7点序列g[n]和h[n]的7点DFT。

(a) 若G[k] = {1+j2, -2+j3, -1-j2, 0, 8+j4, -3+j, 2+j5} 且 h[n] = g[(n-3)7], 不计

算DFT得出 H[k]。

(b) 若g[n] = {-3.1, 2.4, 4.5, -6, 1, -3, 7} 且 H[k] = G[(k-4)7], 不计算DFT得出h[n]。

解: (a)由 圆周时移性质，有：

H[k]=WNkn0G[k]

且 WNkn0=e-j2π3k/7= e-j6πk/7={1, -0.9010-j0.4339, 0.6235+j0.7818, -0.2225-j0.9749, -0.2225+j0.9749, 0.6235-j0.7818, -0.9010+j0.4339}

H[k]={ 1 + 2j, 3.1036 - j1.8351, 0.9402 - j2.0288, 0, -5.6799 + j6.9093, -1.0886 + j2.9690, -3.9714 - j3.6371 } （b）由圆周频移性质，

H[k]=G[(k-4)7] 得到 h[n]= WN-4ng[n]

WN-4n={1, -0.9010-j0.4339, 0.6235+j0.7818, -0.2225-j0.9749, -0.2225+j0.9749, 0.6235-j0.7818, -0.9010+j0.4339} 则：h[n]= WN-4ng[n]

={-3.1, -2.1623 - j1.0413, 2.8057 + j3.5182, 1.3351 + j5.8496, -0.2225 + j0.9749, -1.8705 + j2.3455, -6.3068 + j3.0372}

3.61 X[k]是实值序列x[n]的316点DFT, X[k]部分样本为：X[0]=3+jα;

X[17] = 1.5, X[ k1] = j2.3 , X [ k2] = 4.2 , X [110] =- j1.7, X[158] =13+ jβ, X [ k3] = γ+j1.7, X[179] = 4.2+jδ , X [210] = ε-j2.3, X [ k4] = 1.5, 其余样本均为0，求： α，β, γ，δ，ε，k1， k2，k3 ，k4

解:此问题用到实序列的DFT的对称性质。

即：X[k]满足下面关系：

X[k] = X*[<-k>N] = X*[N-k]

或 X*[k] = X [<-k>N] = X [N-k] 其中：N = 316 基于上式，我们有:

X [316-17] = X*[17] = X[299] = 1.5 Eq.(1) X[ k1] = j2.3 X [316-k2] = X*[ k2] = 4.2 X [316-110] = X*[110] = X[206] = j1.7 X [316-158] = X*[158] = X[158] =13+ jβ X [ k3] = γ+j1.7 X [316-179] = X*[179] = X[137] = 4.2+jδ X [316-210] = X*[210] = X[116] = ε+j2.3 X [ k4] = 1.5 (a)和(b)

Eq.(1)和(9)，有：X[299] = X[ k4] = 1.5

得出：k4 = 299 Eq.(2)和(8), 有：

X[ k1] = j2.3, X[116] = ε+j2.3 ，得出： k1 = 116 和 ε = 0 Eq.(3) 和 (7), 有

X[ k2] = 4.2 和X[137] = 4.2+jδ ，得出： k2 = 137 and δ = 0

Eq.(2) Eq.(3) Eq.(4) Eq.(5) Eq.(6) Eq.(7) Eq.(8) Eq.(9) 由式由式由式由式Eq.(4) 和 (6), 有

X[206] = j1.7 和 X[ k3] = γ+j1.7 ，得出： k3 = 206 和γ = 0 由式Eq.(5),

X*[158] = X[158] =13+ jβ, 所以：β = 0

从这个问题可以看出：若x[n]是实值序列，它的DFT满足共轭对称性质（是共轭对称序列）。这种情况下，若X[k]未完全列出，我们可以运用共轭对称性质确定出DFT的未知样本中的一部分。

6. 实序列的DFT计算 (重点)

给定两个长度为N的实值序列g[n]和h[n]，我们可以通过下面的方法得到g[n]和h[n]的N-点DFT。

G[k]H[k]1X[k]X*[Nk]1X[k]X*[kN] 221X[k]X*[Nk]1X[k]X*[kN] 2j2j其中X[k] 是新序列x[n]=g[n]+jh[n]的N-点DFT。