高中数学反函数人教版第一册

一、课题：反函数

二、教学目标：理解反函数的意义，会求一些函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象间

的关系，会利用yf(x)与yf1(x)的性质解决一些问题．

三、教学重点：反函数的求法，反函数与原函数的关系． 四、教学过程：

（一）主要知识：

1．反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；

2．反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若yf(x)与yf1(x)互为

反函数，

函数yf(x)的定义域为A、值域为B，则f[f1(x)]x(xB)，f1[f(x)]x(xA)； 3．互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于yx对称． （二）主要方法：

1．求反函数的一般方法：（1）由yf(x)解出xf1(y)，（2）将xf1(y)中的x,y互

换位置，得yf1(x)，（3）求yf(x)的值域得yf1(x)的定义域． （三）例题分析：

例1．求下列函数的反函数：

x21(0x1)2 （1）f(x)xx(x1)；（2）f(x){2；（3）yx33x23x1．

x(1x0)

1111解：（1）由yx2x(x1)得y2(x)2(x1)，∴xy2(y0)，

242411∴所求函数的反函数为yx2(x0)．

24（2）当0x1时，得xy1(1y0)，当1x0时，得xy(0y1)， ∴所求函数的反函数为y{x1(1x0)x(0x1)．

（3）由yx33x23x1得y(x1)32，∴x13y2(yR)，

∴所求反函数为f1(x)13x2(xR)．

1ax1(x,xR)的图象关于yx对称，求a的值． 例2．函数y1axa1ax11y1x(x,xR)得x(y1)，∴f1(x)(x1)， 解：由y1axaa(y1)a(x1)1x1ax 由题知：f(x)f1(x)，，∴a1．

a(x1)1ax例3．若(2,1)既在f(x)mxn的图象上，又在它反函数图象上，求m,n的值．

解：∵(2,1)既在f(x)mxn的图象上，又在它反函数图象上，

f(1)2m3mn2 ∴，∴，∴．

f(2)1n72mn112x例4．设函数f(x)，又函数g(x)与yf1(x1)的图象关于yx对称，求g(2)的值．

1x

例5．已知函数yf(x)（定义域为A、值域为B）有反函数yf1(x)，则方程f(x)0有

解

xa，且f(x)x(xA)的充要条件是yf1(x)满足f1(x)x(xB)且f1(0)a．

a2x1(aR)，是R上的奇函数．例6．已知f(x)x（1）求a的值，（2）求f(x)的反函数，（3）211x对任意的k(0,)解不等式f1(x)log2．

k2x12x12x112x0， 解：（1）由题知f(0)0，得a1，此时f(x)f(x)x 212x12x112x即f(x)为奇函数．

12x1xx1y得x，∴f1(x)，f1(x1)， 1xx2x3y2xx∴g(x)与y互为反函数，由2，得g(2)2．

x3x3解法二：由yf1(x1)得xf(y)1，∴g(x)f(x)1，∴g(2)f(2)12．

解法一：由y

2x121y(1y1)， 1x（2）∵yx，得2x1y21211x(1x1)． ∴f1(x)log21x1x1xx1k1x（3）∵f1(x)log2，∴1x，∴， kk1x11x1①当0k2时，原不等式的解集{x|1kx1}，

②当k2时，原不等式的解集{x|1x1}． （四）巩固练习：

x21(0x1)51．设f(x){x，则f1() ．

42(1x0)2．设a0,a1，函数ylogax的反函数和ylog1x的反函数的图象关于 （ ）

a (A)x轴对称 (B)y轴对称 (C)yx轴对称 (D)原点对称

13．已知函数f(x)()x1，则f1(x)的图象只可能是 （ ）

2y y y y

1 x 2 O x 2 1 O x O 1 x 1 O

(D) (A) (B) (C)

14．若yax6与yxb的图象关于直线yx对称，且点(b,a)在指数函数f(x)的图象上，

3则f(x) ．