一、选择题（共8小题）.
1．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则集合A∩B＝（ ） A．{0}
B．{﹣1，0}
C．{0，1}
D．{﹣1，0，1}
2．某校高一、高二、高三年级各有学生数分别为800、1000、800（单位：人），现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本了解网课学习情况，样本中高一学生的人数为48人，那么此样本的容量n为（ ） A．108
B．96
C．156
D．208
3．从3名男生，2名女生中任选2人参加抗疫志愿服务活动，则选中的是1男1女的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
4．若直线x+ay+1＝0与直线ax+4y+2＝0平行，则实数a的值为（ ） A．﹣2
B．0
C．2
D．±2
5．在疫情冲击下，地摊经济有利于缓解部分失业人群的燃眉之急，2020年5月底中央开始鼓励地摊经济，某地摊的日盈利y（单位：百元）与当天的平均气温x（单位：℃）之间有如下数据：
x/℃ y/百元
20 1
22 3
24 6
21 2
23 3
若y与x具有线性相关关系，则y与x的线性回归方程A．（22，3）
B．（22，5）
C．（24，3）
必过的点为（ ） D．（24，5）
6．与圆x2+y2+4x﹣4y+7＝0和x2+y2﹣4x﹣10y+13＝0都相切的直线共有（ ） A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
7．若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为（ ）A．π
B．
C．
D．
8．设函数f（x）＝，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）
成立，则实数a的取值范围为（ ） A．（﹣∞，）∪[1，+∞）
B．[，1）
C．（0，） D．（0，）∪（1，+∞）
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，计20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．）
9．设函数f（x）＝sin2x+cos2x，则下列结论正确的是（ ） A．f（x）的最小正周期为π B．y＝f（x）的图象关于直线x＝C．f（x）的最大值为
，0）对称
＝absinC，
对称
D．y＝f（x）的图象关于点（
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝acosB+bsinA＝c，则下列结论正确的是（ ） A．tanC＝2 C．b＝
或b＝3
B．A＝
D．△ABC的面积为6
，现沿着BD将菱形折起，使得
，
11．已知边长为2的菱形ABCD中，则下列结论正确的是（ ） A．AC⊥BD
B．二面角A﹣BD﹣C的大小为C．点A到平面BCD的距离为
D．直线AD与平面BCD所成角的正切值为
．若
fx）12．设函数（是定义在实数集R上周期为2的偶函数，当0≤x≤1时，
直线y＝x+a与函数y＝f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值可为（ ） A．﹣
B．0
C．﹣
D．1﹣
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分，不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
13．已知tanα＝2，则sin2α﹣cos2α＝ ．
14．古希腊数学家阿基米德的整碑上刻着一个圆柱，此陶柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，如图所示，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现，我们不妨称之为“阿氏球柱体”，若在装满水的阿氏球柱体中放入其内切球（溢出部分水），则“阿氏球桂体”中剩下的水的体积与圆柱体积的比值为 ．
15．已知点P在圆C：（x﹣4）2+y2＝4上，点A（6，0），M为AP的中点，O为坐标原点，则tan∠MOA的最大值为 ．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，圆M为△BCD的内切圆，点P为圆上任意一点，且
，则λ+μ的最大值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，计70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
17．已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（
） （1）若|（2）若
|＝|•
|，求角α的值； ＝﹣1，求
的值．
，
18．某市为了解疫情过后制造业企业的复工复产情况，随机调查了100家企业，得到这些企业4月份较3月份产值增长率x的频率分布表如表： x的分组 企业数
[﹣0.20，0）
13
[0，0.20） [0.20，0.40） [0.40，0.60） [0.60，0.80]
40
35
8
4
（1）估计制造业企业中产值增长率不低于60%的企业比例及产值负增长的企业比例； （2）求制造业企业产值增长率的平均数与方差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，侧面PAB
⊥底面ABCD，PB＝2，AB＝AC＝PA＝2．
（Ⅰ）求证：BD⊥面PAC；
（Ⅱ）过AC的平面交PD于点M，若VM﹣PAC＝VP﹣ACD，求三棱锥P﹣AMB的体积．
20．设函数f（x）＝a•2x﹣2﹣x（a∈R）．
（1）若函数y＝f（x）的图象关于原点对称，求函数
的零点x0；
（2）若函数h（x）＝f（x）+4x+2﹣x在x∈[0，1]的最大值为﹣2，求实数a的值． 21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC＝c（1+cosA）． （1）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围； （2）若b＝2，且B∈[
，
]，求△ABC面积的最小值．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上的圆C经过点A（3，0），且被y轴截得的弦长为2（1）求当满足
，经过坐标原点O的直线l与圆C交于M，N两点． +2
＝时对应的直线l的方程；
（2）若点P（﹣3，0），直线PM与圆C的另一个交点为R，直线PN与圆C的另一个交点为T，分别记直线l、直线RT的斜率为k1、k2，求证：k1+k2为定值．
参考答案
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，计40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．）
1．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则集合A∩B＝（ ） A．{0}
B．{﹣1，0}
C．{0，1}
D．{﹣1，0，1}
【分析】进行交集的运算即可．
解：A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴A∩B＝{﹣1，0}． 故选：B．
2．某校高一、高二、高三年级各有学生数分别为800、1000、800（单位：人），现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本了解网课学习情况，样本中高一学生的人数为48人，那么此样本的容量n为（ ） A．108
B．96
C．156
D．208
【分析】利用分层抽样性质求解即可．
解：∵高一、高二、高三学生的数量之比依次为800：1000：800＝4：5：4， 现用分层抽样的方法抽出的样本中高一学生有48人， ∴由分层抽样性质，得：解得n＝156． 故选：C．
3．从3名男生，2名女生中任选2人参加抗疫志愿服务活动，则选中的是1男1女的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
＝
，
【分析】分别计算出基本事件总数n，选中的恰好是一男一女包含的基本事件个数m，由此能求出选中的恰好是一男一女的概率
解：从3名男生，2名女生中任选2人参加抗疫志愿服务活动， 基本事件总数n＝C52＝10，
选中的恰好是一男一女包含的基本事件个数m＝C31C21＝6
则选中的恰好是一男一女的概率为p＝＝ 故选：D．
4．若直线x+ay+1＝0与直线ax+4y+2＝0平行，则实数a的值为（ ） A．﹣2
B．0
C．2
D．±2
【分析】由两直线平行时满足的条件，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
解：因为x+ay+1＝0与直线ax+4y+2＝0平行， 所以4﹣a2＝0即a＝2或a＝﹣2，
当a＝2时，x+2y+1＝0与直线2x+4y+2＝0重合，不符合题意， 故a＝﹣2． 故选：A．
5．在疫情冲击下，地摊经济有利于缓解部分失业人群的燃眉之急，2020年5月底中央开始鼓励地摊经济，某地摊的日盈利y（单位：百元）与当天的平均气温x（单位：℃）之间有如下数据：
x/℃ y/百元
20 1
22 3
24 6
21 2
23 3
若y与x具有线性相关关系，则y与x的线性回归方程A．（22，3）
B．（22，5）
C．（24，3）
必过的点为（ ） D．（24，5）
【分析】根据表中数据计算、，得出线性回归方程所过的样本中心点． 解：由表中数据，计算＝×（20+22+24+21+23）＝22， ＝×（1+3+6+2+3）＝3，
所以y与x的线性回归方程必过样本中心点（22，3）． 故选：A．
6．与圆x2+y2+4x﹣4y+7＝0和x2+y2﹣4x﹣10y+13＝0都相切的直线共有（ ） A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
【分析】确定两圆相外切，即可得出结论．
解：圆x2+y2+4x﹣4y+7＝0的圆心为（﹣2，2），半径为1，x2+y2﹣4x﹣10y+13＝0圆心是（2，5），半径为4
故两圆相外切
∴与圆x2+y2+4x﹣4y+7＝0和x2+y2﹣4x﹣10y+13＝0都相切的直线共有3条． 故选：C．
7．若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为（ ）A．π
B．
C．
D．
【分析】设圆锥的底面圆半径为r，高为h，求出圆锥的侧面积和轴截面面积，列方程求得圆锥的高．
解：设圆锥的底面圆半径为r，高为h； 由圆锥的母线长为4，
所以圆锥的侧面积为πr•4＝4πr； 又圆锥的轴截面面积为•2r•h＝rh， 所以4πr＝4rh， 解得h＝π；
所以该圆锥的高为π． 故选：A． 8．设函数f（x）＝
，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）
成立，则实数a的取值范围为（ ） A．（﹣∞，）∪[1，+∞） C．（0，）
B．[，1）
D．（0，）∪（1，+∞）
【分析】根据对数函数的定义，可得a＞0，讨论0＜a＜1和a＞1时的情况得到关于a的不等式解得即可．
解：根据对数函数定义a＞0时，此时y＝﹣ax﹣1为减函数，
①当0＜a＜1时，令g（x）＝loga（x+2），此时需满足g（x）max＞h（x）min， 即loga2＞﹣1＝
，即有＞2，故0＜a＜；
②当a＞1时，此时条件恒成立， 综上a＞1或0＜a＜， 故选：D．
二、多选题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．）
9．设函数f（x）＝sin2x+cos2x，则下列结论正确的是（ ） A．f（x）的最小正周期为π B．y＝f（x）的图象关于直线x＝C．f（x）的最大值为
，0）对称 sin（2x+
），结合正弦函数相关性质逐一进行判断
对称
D．y＝f（x）的图象关于点（【分析】将函数f（x）整理为即可
解：f（x）＝sin2x+cos2x＝故其最小周期T＝令2x+令2x+
＝
sin（2x+），
，故A、C正确；
＝π，最大值为
++
+kπ（k∈Z），则x＝（k∈Z），当k＝0时，x＝（k∈Z），当k＝2时，x＝
，故B正确； ，故D正确．
＝kπ（k∈Z），则x＝﹣
故选：ABCD．
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝acosB+bsinA＝c，则下列结论正确的是（ ） A．tanC＝2 C．b＝
或b＝3
B．A＝
＝absinC，
D．△ABC的面积为6
【分析】由已知a2+b2﹣c2＝absinC，acosB+bsinA＝c，利用余弦定理，正弦定理可求角C，B的三角函数值，进而求b，利用三角形的面积公式即可求其面积． 【解答】解；∵a2+b2﹣c2＝absinC，
∴2abcosC＝absinC，则tanC＝2，故A正确； ∴sinC＝
，cosC＝
．
∵acosB+bsinA＝c，
∴sinAcosB+sinBsinA＝sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
∴sinBsinA＝cosAsinB， 又sinB≠0， ∴sinA＝cosA， ∴A＝
，故B正确；
，
∴sinB＝sin（A+C）＝
∵a＝，则由正弦定理得b＝＝＝3，故C错误；
∴S△ABC＝absinC＝故选：ABD．
11．已知边长为2的菱形ABCD中，则下列结论正确的是（ ） A．AC⊥BD
×＝6，故D正确．
，现沿着BD将菱形折起，使得，
B．二面角A﹣BD﹣C的大小为C．点A到平面BCD的距离为
D．直线AD与平面BCD所成角的正切值为
【分析】取BD中点O，证明BD⊥平面OAC可判断A，根据△OAC的形状判断B，根 据二面角A﹣BD﹣C的大小判断C，计算直线AD与平面BCD所成角的正切值判断D．解：取BD得中点O，连接OA，OC，
由菱形性质可知△ABD和△BCD都是等边三角形， ∴BD⊥OA，BD⊥OC，又OA∩OC＝C， ∴BD⊥平面AOC，
∴BD⊥AC，故选项A正确；
由BD⊥OA，BD⊥OC可知∠AOC为二面角A﹣BD﹣C的平面角， 由AB＝AD＝BC＝CD＝BD＝2可知OA＝OC＝∴∠AOC＝
，故选项B正确；
＝，故选项C正确； ，又AC＝
，
∴A到平面BCD的距离h＝OA•sin∠AOC＝
过A作AM⊥平面BCD，垂足为M，则M为OC的中点，∴OM＝OC＝连接DM，则∠ADM为直线AD与平面BCD所成的角，且AM＝， 故DM＝∴tan∠ADM＝故选：ABC．
＝＝
＝
，
，
，故选项D错误．
fx）12．设函数（是定义在实数集R上周期为2的偶函数，当0≤x≤1时，．若
直线y＝x+a与函数y＝f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值可为（ ） A．﹣
B．0
C．﹣
D．1﹣
【分析】根据函数的奇偶性和周期性作出函数f（x）的图象，利用数形结合即可得到条件关系．
解：∵f（x）是偶函数，且当0≤x≤1时，∴当﹣1≤x≤0时，f（x）＝f（﹣x）＝1﹣
，
，整理得x2+（y﹣1）2＝1
，即（x﹣2）2+（y﹣
又因为f（x）周期为2，故1≤x≤2时，f（x）＝1﹣1）2＝1，
作出函数f（x）在[0，2]上的图象如图，图象表示两段四分之一的圆弧， 则当直线经过点A（1，1）时，满足条件此时1＝1+a，解得a＝0， 当直线y＝x+a与x2+（y﹣1）2＝1相切时，也满足条件， 此时a＜0，且故a＝0或a═1﹣故选：BD．
＝1，解得a＝1﹣
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分，不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
13．已知tanα＝2，则sin2α﹣cos2α＝
．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得所给式子的值． 解：∵tanα＝2，∴sin2α﹣cos2α＝
＝
＝
＝，
故答案为：．
14．古希腊数学家阿基米德的整碑上刻着一个圆柱，此陶柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，如图所示，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现，我们不妨称之为“阿氏球柱体”，若在装满水的阿氏球柱体中放入其内切球（溢出部分水），则“阿氏球桂体”中剩下的水的体积与圆柱体积的比值为
．
【分析】设球的半径为r，计算出两几何体的体积，用圆柱体的体积减去球的体积即可得到“阿氏球柱体”中剩下的水的体积，则答案可求． 解：∵球内切于圆柱，
∴圆柱的底面半径与球的半径相等，不妨设为r，则圆柱的高为2r， ∴V圆柱＝πr2•2r＝2πr3，V球＝
．
∴球与圆柱的体积之比为2：3，即球的体积等于圆柱体积的．
在装满水的阿氏球柱体中放入其内切球，溢出部分水的体积为圆柱体积的， 剩下的水的体积是圆柱体积的，
则“阿氏球柱体”中剩下的水的体积与圆柱体积的比值为． 故答案为：．
15．已知点P在圆C：（x﹣4）2+y2＝4上，点A（6，0），M为AP的中点，O为坐标原点，则tan∠MOA的最大值为
．
【分析】由题意设出P的坐标，利用中点坐标公式求得M的坐标，写出tan∠MOA＝
，然后利用辅助角公式及三角函数的有界性求最值．
解：设P（4+2cosθ，2sinθ）， 又A（6，0），且M为AP的中点， ∴M（5+cosθ，sinθ）， ∴tan∠MOA＝令y＝∴
，
，则sinθ﹣ycosθ＝5y， sin（θ+φ）＝5y，
即sin（θ+φ）＝，（tanφ＝﹣y）．
由，解得．
∴tan∠MOA的最大值为故答案为：
．
．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，圆M为△BCD的内切圆，点P为圆上任意一点，且
，则λ+μ的最大值为
．
【分析】建立如图所示平面直角坐标系，由已知得到A，B，D的坐标，求出圆M的方程，得到P的坐标，再由向量等式可得λ，μ的值，作和后利用三角函数求最值． 解：建立如图所示平面直角坐标系，
由已知得D（3，0），B（0，4），A（3，4）， 设圆M的半径为r，由等面积法可得解得r＝1．
∴圆M的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．
∵点P为圆上任意一点，∴设P（1+cosθ，1+sinθ）， 则由﹣4μ），
，
，得（cosθ﹣2，sinθ﹣3）＝λ（﹣3，0）+μ（0，﹣4）＝（﹣3λ，
，
∴，即．
∴λ+μ＝＝（θ+φ）（tanφ＝）．
．
∴当sin（θ+φ）＝﹣1时，λ+μ取最大值为故答案为：
．
四、解答题（本大题共6小题，计70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
17．已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（
）
，
（1）若|（2）若
|＝|•
|，求角α的值； ＝﹣1，求
的值．
【分析】（1）利用向量的运算性质、同角三角函数基本关系式即可得出； （2）利用数量积运算、同角三角函数基本关系式即可得出． 解：（1）∵∴
化简得：sinα＝cosα，∴tanα＝1． 又故（2）∵
．
， ， ，
．
，
．
∴（cosα﹣3）cosα+sinα（sinα﹣3）＝﹣1， 化简得：两边平方得：∴
，
，
，
故sinα﹣cosα＞0， 而∴
，
，
18．某市为了解疫情过后制造业企业的复工复产情况，随机调查了100家企业，得到这些企业4月份较3月份产值增长率x的频率分布表如表： x的分组
[﹣0.20，0）
[0，0.20） [0.20，0.40） [0.40，0.60） [0.60，0.80]
企业数 13 40 35 8 4
（1）估计制造业企业中产值增长率不低于60%的企业比例及产值负增长的企业比例； （2）求制造业企业产值增长率的平均数与方差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
【分析】（1）直接求出制造业企业中产值增长率不低于60%的企业比例和产值负增长的企业比例即可．
（2）100家制造业企业产值增长率的平均数，然后求解方差即可． 解：（1）制造业企业中产值增长率不低于60%的企业比例为产值负增长的企业比例
，
，
所以制造业企业中产值增长率不低于60%的企业比例4%，产值负增长的企业比例13%．（2）100
家制造业企业产值增长率的平均数为
，
方差
[13×（﹣0.10﹣0.20）2+40×（0.10﹣0.20）2+35×（0.30﹣0.20）2
+8×（0.50﹣0.20）2+4×（0.70﹣0.20）2]＝0.0364．
所以制造业企业产值增长率的平均数为0.20，方差的估计值为0.0364．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，侧面PAB⊥底面ABCD，PB＝2
，AB＝AC＝PA＝2．
（Ⅰ）求证：BD⊥面PAC；
（Ⅱ）过AC的平面交PD于点M，若VM﹣PAC＝VP﹣ACD，求三棱锥P﹣AMB的体积．
【分析】（Ⅰ）由题意，PA2+AB2＝PB2，得到PA⊥AB，再由平面与平面垂直的性质可得PA⊥面ABCD，从而得到PA⊥BD，结合已知条件证明ABCD为菱形，则BD⊥AC．由直线与平面垂直的判定可得BD⊥面PAC；
（Ⅱ）由
求解．
，得M为PB中点，然后利用＝
【解答】（Ⅰ）证明：由题意，PA2+AB2＝PB2， ∴∠BAP＝90°，则PA⊥AB，
又侧面PAB⊥底面ABCD，面PAB∩面ABCD＝AB，PA⊂面PAB， ∴PA⊥面ABCD．
∵BD⊂面ABCD，则PA⊥BD，
又∵∠BCD＝120°，ABCD为平行四边形， 则∠ABC＝60°，又AB＝AC，
则△ABC为等边三角形，可得ABCD为菱形，则BD⊥AC． 又PA∩AC＝A，∴BD⊥面PAC； （Ⅱ）解：由
由（Ⅰ）知，ABCD为菱形， 又AB＝AC＝2，∠BCD＝120°， ∴
又PA⊥面ABCD，且PA＝2， ∴
＝
．
．
，得M为PB中点，
20．设函数f（x）＝a•2x﹣2﹣x（a∈R）．
（1）若函数y＝f（x）的图象关于原点对称，求函数
的零点x0；
（2）若函数h（x）＝f（x）+4x+2﹣x在x∈[0，1]的最大值为﹣2，求实数a的值． 【分析】（1）通过f（﹣x）+f（x）＝0，求出a＝1．得到函数的解析式，利用解析式为0，求解函数的零点即可．
（2）利用换元法通过2x＝t∈[1，2]，h（x）＝t2+at，t∈[1，2]，结合二次函数的性质求解函数的最值，推出结果即可．
解：（1）∵f（x）的图象关于原点对称， ∴f（x）为奇函数， ∴f（﹣x）+f（x）＝0，
﹣﹣
∴a•2x﹣2x+a•2x﹣2x＝0，
﹣
即∴（a﹣1）•（2x+2x）＝0，∴a＝1．
令，
则2•（2x）2+3•（2x）﹣2＝0， ∴（2x+2）•（2•2x﹣1）＝0，又2x＞0， ∴2•2x﹣1即x＝﹣1，
所以函数g（x）的零点为x0＝﹣1．
（2）h（x）＝a•2x﹣2﹣x+4x+2﹣x，x∈[0，1]， 令2x＝t∈[1，2]，h（x）＝t2+at，t∈[1，2]， 对称轴当②当
，
，即a≥﹣3时，hmax（t）＝h（2）＝4+2a＝﹣2，∴a＝﹣3； ，即a＜﹣3时，hmax（t）＝h（1）＝1+a＝﹣2，∴a＝﹣3（舍）；
综上：实数a的值为﹣3．
21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC＝c（1+cosA）． （1）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围； （2）若b＝2，且B∈[
，
]，求△ABC面积的最小值．
【分析】（1）根据正弦定理，以及两角差的正弦公式可得A＝2C，再求出C的范围，即可求出的取值范围；
（2）根据余弦定理和基本不等式可得ac≤角函数的性质即可求出．
解：（1）由正弦定理以及acosC＝c（1+cosA），
，即可得到S△ABC≤，根据三
∴sinAcosC＝sinC（1+cosA），即sin（A﹣C）＝sinC． ∴A﹣C＝C或A﹣C+C＝π，即A＝2C或A＝π（舍）， ∴＝
∵△ABC为锐角三角形，
，
∴A、B、C∈，即，
∴C∈∴cosC∈（
，
， ），
．
故的取值范围为
（2）由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accosB≥2ac﹣2accosB，当且仅当a＝c时取等号， ∴ac≤
，
∴S△ABC＝acsinB≤＝＝，
∵B∈[∴∈[
，，
]， ]， ，
]为增函数， ＝1，
∵y＝tan在[∴y＝tan
≤tan
∴S△ABC的面积的最小值为1．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上的圆C经过点A（3，0），且被y轴截得的弦长为2（1）求当满足
，经过坐标原点O的直线l与圆C交于M，N两点． +2
＝时对应的直线l的方程；
（2）若点P（﹣3，0），直线PM与圆C的另一个交点为R，直线PN与圆C的另一个交点为T，分别记直线l、直线RT的斜率为k1、k2，求证：k1+k2为定值．
【分析】根据题意可得即+r＝3，解得r，及圆心C坐标，进而可得圆C
方程，设直线l方程为：y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），联立圆的方程得关于x的一元二次方程，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2． （1）由向量的运算可得即
，解得k，进而可得直线l的方程．
（2）联立直线lPT方程与圆的方程得关于x的一元二次方程，结合韦达定理可得T点的坐标，同理可得R点坐标，再分析k2与k之间关系，即可得k1与k2之间的关系． 解：因为圆C被y轴截得的弦长为2所以OC＝
，
，
又圆心在x轴上的圆C经过点A（3，0）， 所以OC+r＝3，即
+r＝3，
解得r＝2，所以圆心C（1，0）， 所以圆C方程为（x﹣1）2+y2＝4．
设直线l方程为：y＝k1x，M（x1，y1），N（x2，y2） 联立圆的方程得，（1+k12）x2﹣2x﹣3＝0， x1+x2＝（1）因为
③，x1x2＝
，
④，
所以（x1，y1）+（2x2，2y2）＝（0，0） 即
①﹣③得x2＝﹣，
代入③得x1＝，代入④得，（﹣）（）＝
解得k1＝±，
．
所以直线l的方程为：y＝±
（2）直线lPT方程为：y﹣0＝（x+3），
联立圆的方程得：[1+（）2]x2+[﹣2+6（）2]x+9（）2﹣3＝0，
所以xT+x2＝﹣＝＝，
所以xT＝﹣x2＝﹣x2，
＝﹣x2，
＝，
＝
＝，
yT＝（）＝•＝，
所以T（，），
同理可得R（，），
所以k2＝＝
＝
＝﹣
所以k1+k2＝0，
＝﹣k1，
所以k1+k2＝0为定值．
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