无滑滚动圆盘的平衡运动及轨迹控制

第３１卷第１期　２０１０年　２月　河南科技大学学报：自然科学版　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｅｎａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ：Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｖ０１．３１　Ｎｏ．１　Ｆｅｂ．　２０ｌ０　文章编号：１６７２—６８７１（２０１０）０１—００２０—０４　无滑滚动圆盘的平衡运动及轨迹控制　刘延斌，孙小超，张书涛　（河南科技大学机电工程学院，河南洛阳４７１００３）　摘要：研究水平面内无滑滚动圆盘的平衡运动及轨迹跟踪控制，建立了圆盘的无滑纯滚动的非完整约束模型。　从姿态最容易实现稳定控制的角度出发，提出了一种姿态平衡条件，并以此条件为基础运用李亚普诺夫函数　稳定设计理论导出了姿态平衡的速度控制律，同时利用反演控制技术设计了水平面内轨迹的跟踪控制律。最　后通过仿真验证了姿态平衡控制律的有效性以及轨迹跟踪控制的稳定性和快速精确性。　关键词：圆盘；无滑纯滚动；轨迹跟踪；姿态平衡　中图分类号：ＴＨ１１２　＾．ｊＬ．．Ｌ　文献标识码：Ａ　Ｕ　刖再　近年来，非完整轮式移动机器人的控制已成为一个非常有活跃和富有挑战性的研究领域，吸引了众　多研究者的关注，到目前为止，在其运动学、动力学及控制方面已取得了很多突破性的成果，但所研究的　大多数轮式移动机器人在一定运动速度范围内不存在侧向倾倒的问题，即只需进行轨迹控制研究，不必　考虑姿态的控制¨　，而滚动圆盘、独轮车、自行车等这些非完整轮式移动系统恰恰存在侧向不稳定的　问题，因此不但要研究其轨迹控制，还要研究其姿态的控制，对于这类系统目前大多数研究者主要研究　了其轨迹跟踪和给定侧倾角的跟踪问题，而没有系统提出侧向平衡条件　“　。为此，本文以滚动圆盘　为例，建立了圆盘的无滑纯滚动的非完整约束模型，从姿态最容易稳定控制的角度出发，提出了一种侧　向平衡条件，并以此条件为基础运用李亚普诺夫函数稳定设计理论导出了姿态平衡控制律，同时利用反　演控制技术设计了水平面轨迹的稳定跟踪控制律，从而实现了圆盘平衡运动和轨迹跟踪控制。　１　运动学模型　１．１　约束　设系统广义坐标为ｑ＝（　，Ｙ　，Ｔ，　，　），其中：　、Ｙ　为圆盘触地点在　惯性基中　、ｙ轴分量；ｙ为方位角；Ｏｔ为姿态角；　为滚转角。各坐标参数　含义如图１所示，由于圆盘在水平面上只滚不滑，因此可得如下非完整　约束：　１．２　平衡条件　ｒ　圣　＝ｒ￣ｃｏｓｙ，夕　＝ｒ￣ｂｓｉｎｙ，　（１）　式中ｒ为圆盘半径，ｍ。　图１　圆盘坐标参数　首先建立系统的动力学模型，系统的动能为：　１　＝　ｍ　２＋　）＋ｍｒ　ｓｉｎ　０ｃ（圣　ｃ。ｓ　＋ｙ，ｓｉｎ　）＋ｍｒ　ｃ。ｓ　（圣　ｓｉ“７一Ｌｃｏｓｙ）＋　÷　。＋４　＋５　＋（１＋５ｓｉｎ２ｏｔ）　。　系统的势能为：Ｕ＝ｍｇｒｃｏｓａ，然后根据第一类拉氏方程：　ｄ　（　ＯＴ　Ｉ厂　ＯＴ＋瓦ＯＵ＋（　）　Ａ＝　＿『＝　＇２，…，Ⅳ，　＼基金项目：天津自然科学基金项目（０５ＹＦＪＭＪＣ０４９００）　作者简介：刘延斌（１９７１一），男，吉林德惠人，副教授，博士，主要研究方向为机器人运动学、动力学、控制及系统仿真　收稿日期：２００９—０９—１７　第１期　刘延斌等：无滑滚动圆盘的平衡运动及轨迹控制　・２１・　并将式（１）代入得到关于姿态坐标　的运动子系统动力学方程：　÷ｍ１ｍ仅十　．２＆＋Ｆ＝ｒ　，ｒ　，　其中：ｍ为圆盘质量，ｋｇ；７　为姿态调整力矩，Ｎ；　（２），　，＝一　，ｎｒ　ｓｉｎ　ｃ。ｓ　一｛　ｍｒ　ｃ。ｓ　—ｍｇｒｓｉｎ　。　由式（２），若使得圆盘不易倾倒且姿态容易通过调整力矩．ｒ　实现稳定控制，最直接的方法就是使　子系统的耦合项及重力干扰项为零，即：　式（３）即为本文提出的姿态平衡条件。　Ｆ＝０。　（３）　２轨迹跟踪及姿态平衡控制　２．１　任务描述　本文的控制任务是以模型：　≠　ｒ　∞ｃｏｓｙ；　９　“ｙ　（４）　７　Ｏｔ　∞　；　ａ　为被控对象，对所有时间ｔ，找到角速度控制律　（∞　≥０），　和∞　，对于给定的平面参考轨迹　、Ｙ　，　使得ｌｉｍ（　一　）＝０；ｌｉａ（Ｙ　一ｙ　）＝０，ｒ且使圆盘姿态满足平衡条件ｌｉｍＦ：０。　２．２控制律设计　冬　ｘｔ　｜　一　对卜式讲行微分得：对上式进行微分得　：　【　＝，，　一），　。　｛　Ｌ　２：了１　ｅ　２＋　１　ｅ则：　，，Ｙ’　一ｒ∞　ｓｔａ‘ｙ。　‘，　一　ｃｏ　；　一　ｓｉｎｙ）。　（５５）　（）　取Ｌｙａｐｕｎ。ｖ函数　＝ｅ　（　一ｒ￣ｃｏｓｙ）＋ｅ　（　一　设计　的虚拟控制量为　，取：ｔＯ）　ｃｏｓｙ　：　＋ｃ　；　／＇ｔＯ　ｓｉｎｙ　＝　＋ｃ２　，　（６）　其中：ｃｌ＞０；ｃ２＞　ｏ有：ｆｒｌ＝一ｃ１　ｅ：一ｃ２ｅ：≤０。　这说明子系统（５）在控制（６）作用下其闭环系统稳定。　由式（６）可得：　＝÷　取Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数Ｖ２＝Ｖ。十　１　２　，丽＝　　…ｃｔａｎ筹豢。　一甜　。　（７）　（８）　设　对虚拟控制量　的跟踪误差为：ｅ　：ｙ　一ｙ，对其微分得：　贝　：ｉ，２＝一ｃ。ｅ：～ｃ２ｅ；＋ｅ　（　一　，）。　＝　＋ｃ３ｅ　；ｃ３＞０，　（９）　取：　有　＝一ｃ。ｅ　一ｃ：ｅ：一Ｃ３ｅ　≤０，这说明子系统（５）、（８）在控制（７）、（９）作用下其闭环系统稳定。　当姿态角ａ与其满足平衡条件的理想值存在偏差时，设平衡偏差为：ｅ，＝Ｆ，对其微分得：　，：　。（１ｏ）　取Ｌｙａｐｕｎ。ｖ函数＇，３＝　＋　ｅ；，贝４：　：一ｃ　ｅ２　一ｃ　ｅ２，一ｃ，ｅ２，＋ｅ，　ＯＦ仅．。　取：　　．一ｃ４（　）　Ｆ；ｃ　＞ｏ，　（１　・２２・　河南科技大学学报：自然科学版　２０１０钲　有：　＝一ｃ。ｅ：一ｃ　一ｃ，ｅ；一ｃ　ｅ；≤０。　这说明子系统（５）、（８）、（１０）在控制（７）、（９）、（１１）作用下其闭环系统稳定，同时也说明在控制　（７）、（９）、（１１）作用下系统（４）可实现所要求的控制任务。　３　控制仿真　本文分别对给定的平面圆轨迹和平面正弦轨迹进行了控制仿真。首先给定圆轨迹：　＝２ｃ　ｏｓ　ｔ；　２。圆盘的运动初始位置为（０，０），初始方位角ｙ。＝一３０。，初始姿态角　。＝０。，地面轨迹跟踪仿真结　果如图２所示，轨迹跟踪误差如图３所示，可以看出，跟踪误差的收敛快速性和稳定性较好，而且稳态误　差接近于零，圆轨迹跟踪过程中圆盘的姿态角如图４所示。　图３　平面圆轨迹跟踪误差　０＿２　，　０．１　’０　—　１　Ｏ　２　４　６　８　１０　１２　时间　图４　圆轨迹跟踪过程中的实际姿态角　图５　圆轨迹跟踪过程中实际姿态角与真值的对比误差　同时，本文为了验证姿态平衡控制律的有效性，将圆轨迹跟踪仿真时得到的实际姿态角与通过对式　（３）数值迭代求解得到的理论值相对比，得到了如图５所示的姿态误差。　然后给定正弦轨迹：　圆盘的运动初始位置为（一１　ｍ，一１　ｍ），初始方位角　。＝一３０。，初始姿态角ｏｌ。＝０。，地面轨迹跟踪　仿真结果如图６所示，轨迹跟踪误差如图７所示，可以看出，跟踪误差的收敛快速性和稳定性较好，而且　稳态误差接近于零。圆轨迹跟踪过程中圆盘的姿态角如图８所示。　时间如　图６平面正弦轨迹跟踪　图７平面正弦轨迹跟踪误差　第１期　刘延斌等：无滑滚动圆盘的平衡运动及轨迹控制　・２３・　喜　（ｏ），Ｄ嫒　酶　时间　０　２　４　６　８　ｌＯ　ｌ２　时间　图８　正弦轨迹跟踪过程中的实际姿态角　圈９　正弦轨迹跟踪过程中实际姿态角与真值的对比误差　同样，将正弦轨迹跟踪仿真时得到的实际姿态角与通过对式（３）数值迭代求解得到的理论值相对　比，得到了如图９所示的姿态误差。　４　结束语　本文建立了圆盘的无滑纯滚动的非完整约束模型，提出了一种容易实现姿态稳定控制的侧向平衡　条件，并以此条件为基础运用李亚普诺夫函数稳定设计理论导出了姿态平衡控制律，然后利用反演控制　技术设计了水平面内轨迹跟踪控制律，仿真结果表明所提出的轨迹跟踪控制律和姿态平衡控制律是合　理有效的。　参考文献：　［１］　王玉华，于双和，杜佳璐，等．不确定非完整移动机器人的自适应模糊控制［Ｊ］．系统仿真学报，２００９，２１（２）：４６９—４７３．　［２］刘磊，向平，王永骥，等．非完整约束下的轮式移动机器人轨迹跟踪［Ｊ］．清华大学学报：自然科学版，２００７，４７　（Ｓ２）：１８８４—１８８９．　［３］　程涛，孙汉旭，贾庆轩，等．非完整控制系统的发展现状及展望［Ｊ］．中国机械工程，２００６，１７（Ｓ）：４３８—４４４．　［４］　王志文，郭戈．一种新的移动机器人路径跟踪控制策略［Ｊ］．兰州理工大学学报，２００６，３２（４）：９０—９２．　［５］　王仲民，马苏常，岳宏．非完整轮式移动机器人轨迹跟踪控制［Ｊ］．合肥工业大学学报，２００５，２８（１２）：１４９３—１４９５．　［６］　柳在鑫，王进戈，朱维兵，等．双圆弧优化算法的足球机器人路径规划［Ｊ］．华侨大学学报：自然科学版，２００８，２９　（２）：１９０—１９３．　［７］　Ｙａｖｉｎ　Ｙ．Ｃｏｎｔｒｏｌ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｍｏｔｉｏｎ　ｏｆ　ａ　Ｄｉｓｋ　Ｒｏｌｌｉｎｇ　ｏｎ　ａ　Ｐｌａｎｅ　Ｃｕｒｖｅ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ　ａｎｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ｗｉｔｈ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００７　（５４）：１３２９—１３４０．　［８］　Ｙａｖｉｎ　Ｙ．Ｃｏｎｔｒｏｌ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｍｏｔｉｏｎ　ｏｆ　ａ　Ｄｉｓｋ　Ｒｏｌｌｉｎｇ　ｏｎ　ａ　Ｃｕｒｖｅ　ｉｎ　Ｒ３［Ｊ］　Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ　ａｎｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ｗｉｔｈ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００５　（５０）：８５５—８６８．　［９］　Ｙａｖｉｎ　Ｙ．Ｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌ　Ｃｏｎｔｒｏｌ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｍｏｔｉｏｎ　ｏｆ　ａ　Ｒｏｌｌｉｎｇ　Ｄｉｓｋ　ｂｙ　Ｕｓｉｎｇ　ａ　Ｒｏｔｏｒ　Ｆｘｅｄ　ｉｎ　ｔｈｅ　Ｄｉｓｋ’Ｓ　Ｐｌａｎｅ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ　ａｎｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ｗｉｔｈ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００５（５０）：１６５９—１６６８．　［１０］　Ｙａｍａｋｉｔａ　Ｍ，Ｕｔａｎｏ　Ａ，Ｓｅｋｉｇｕｃｈｉ　Ｋ．Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ　Ｓｔｕｄｙ　ｏｆ　Ａｕｔｏｍａｔｉｃ　Ｃｏｎｔｒｏｌ　ｏｆ　Ｂｉｃｙｃｌｅ　ｗｉｔｈ　Ｂａｌａｎｃｅｒ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇ　ｏｆ　ｔｈｅ　２００６　Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ　Ｏｎ　Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ　Ｒｏｂｏｔｓ　ａｎｄ　Ｓｙｓｔｅｍｓ．Ｂｅｉｊｉｎｇ，Ｃｈｉｎａ，２００６：５６０６—５６１１．　Ｙａｖｉｎ　Ｙ．Ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ　ａｎｄ　Ｃｏｎｔｒｏｌ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｍｏｔｉｏｎ　ｏｆ　ａ　Ｒｉｄｅｒｌｅｓｓ　Ｂｉｃｙｃｌｅ　Ｒｏｌｌｉｎｇ　ｏｎ　ａ　Ｍｏｖｉｎｇ　Ｐｌａｎｅ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ　ａｎｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ｗｉｔｈ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００７（５４）：１３１９—１３２８．